2022年新高考I卷数学真题及答案

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

∣x4},1．若集合M{x

A．{x0x2}

N{x∣3x1}，则MN（1

x23

）C．1D．2C．{x3x16}

）D．x

B．x

1

x163

2．若i(1z)1，则zz（A．2

B．1

CDn，则CB（3．在△ABC中，点D在边AB上，BD2DA．记CAm，

A．3m2n

B．2m3n

C．3m2n

D．2m3n

）4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔0km2；水位为海拔157．0km2，将该水库148．5m时，相应水面的面积为140．5m时，相应水面的面积为180．

在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（72.65）（）93

A．1.010m93

B．1.210m93

C．1.410mD．1.610m

）93

5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（A．16

B．13

C．12

D．23

6．记函数f(x)sinx



π2πb(0)的最小正周期为T．若Tπ，且yf(x)的图像关于点

34

）3π

,2中心对称，则2

A．1B．0.1

πf（2

C．3252

D．3）D．acb

7．设a0.1e,A．abc

1

b，cln0.9，则（9

B．cba

C．cab

8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l33，则该正四棱锥体积的取值范围是（A．18,

）

814

B．

2781

,44

C．

2764

,43

D．[18,27]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知正方体ABCDA1B1C1D1，则（A．直线BC1与DA1所成的角为90C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为4510．已知函数f(x)xx1，则（A．f(x)有两个极值点C．点(0,1)是曲线yf(x)的对称中心3

）B．直线BC1与CA1所成的角为90D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45

）B．f(x)有三个零点D．直线y2x是曲线yf(x)的切线2

11．已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2py(p0)上，过点B(0,1)的直线交C于P，Q两点，则（）B．直线AB与C相切A．C的准线为y1

C．|OP||OQ||OA

2D．|BP||BQ||BA|

2

12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)f(x).若f则（）B．g

3

2x，g(2x)均为偶函数，2

A．f(0)0

1

02

C．f(1)f(4)D．g(1)g(2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1



y268

．(xy)的展开式中xy的系数为________________（用数字作答）x

2

2

2

2

14．写出与圆xy1和(x3)(y4)16都相切的一条直线的方程________________．15．若曲线y(xa)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．x

x2y21

16．已知椭圆C:221(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直ab2

于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|6，则ADE的周长是________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）记Sn为数列an的前n项和，已知a11,（1）求an的通项公式；（2）证明：Sn1

是公差为的等差数列．a3n111

2．a1a2an

18．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若C

cosAsin2B

．

1sinA1cos2B

2

，求B；3

a2b2

（2）求的最小值．2

c

19．（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为AC1的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好病例组对照组4010良好6090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B|A)

与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．P(B|A)P(B|A)P(A|B)P(A|B)

；

P(A|B)P(A|B)（ⅰ）证明：R

（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．n(adbc)2附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)

2PK2kk（12分）21．0.0503.8410.0106.6350.00110.828x2y2

已知点A(2,1)在双曲线C:22直线l交C于P，直线AP,AQ的斜率之和为0．1(a1)上，Q两点，aa1

（1）求l的斜率；（2）若tanPAQ22，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f(x)eax和g(x)axlnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．x

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.ABD10.AC11.BCD12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.-2814.y15.35725x或yx或x1

242444

,40,16.13四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（1）an

nn12

（2）1211

2,annn1nn1

11111111121212∴a1a2annn1n1223

18.（1）π

；6

（2）425．19.（1）2（2）32

2n(adbc)2200(40906010)2=24，20.（1）由已知K

(ab)(cd)(ac)(bd)50150100100

又P(K26.635)=0.01，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i）因为R

P(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)

=，P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以R

P(AB)P(B)P(AB)P(B)

P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(A|B)P(A|B)

；P(A|B)P(A|B)所以R

(ii)R6；21.（1）1；（2）162．9

22.（1）a1

（2）由（1）可得f(x)exx和g(x)xlnx的最小值为1ln11ln1.当b1时，考虑exxb的解的个数、xlnxb的解的个数.设Sxexb，Sxe1，xx11

当x0时，Sx0，当x0时，Sx0，故Sx在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以SxminS01b0，而Sbe

bb0，Sbeb2b，b设ube2b，其中b1，则ube20，故ub在1,上为增函数，故ubu1e20，故Sb0，故Sxexb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.x设Txxlnxb，Tx

x1

，x

当0x1时，T¢x<0，当x1时，Tx0，()故Tx在0,1上为减函数，在1,上为增函数，()b

所以TxminT11b0，而Te

e

b

0，Tebeb2b0，Txxlnxb有两个不同的零点即xlnxb的解的个数为2.当b1，由（1）讨论可得xlnxb、exxb仅有一个零点，当b1时，由（1）讨论可得xlnxb、exxb均无零点，故若存在直线yb与曲线yfx、y=gx有三个不同的交点，()则b1.设h(x)exlnx2x，其中x0，故h(x)e设sxex1，x0，则sxe10，xxx

1

2，x

故sx在0,上为增函数，故sxs00即exx1，所以h(x)x

1

1210，所以h(x)在0,上为增函数，x

1

1223而h(1)e20，h()ee3e30，333

eee

故hx在0,上有且只有一个零点x0，1

x01且：3e

当0xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，当xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，因此若存在直线yb与曲线yfx、y=gx有三个不同的交点，()故bfx0gx01，此时exxb有两个不同的零点x1,x0(x10x0)，此时xlnxb有两个不同的零点x0,x4(0x01x4)，xx

故e1x1b，e0x0b，x4lnx4b0，x0lnx0b0xb

所以x4blnx4即e4x4即e

x4bx4bb0，故x4b为方程exxb的解，同理x0b也为方程exxb的解又e1x1b可化为e1x1b即x1lnx1b0即x1blnx1bb0，x

x

故x1b为方程xlnxb的解，同理x0b也为方程xlnxb的解，所以x1,x0x0b,x4b，而b1，故

x0x4b

即x1x42x0.x1x0b

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.ABD10.AC11.BCD12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.-2814.y15.35725x或yx或x1

242444

,40,16.13四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（1）an

nn12

（2）1211

2,annn1nn1

∴11111111121212a1a2annn1n1223

π

；6

18.（1）（2）425．19.（1）2（2）32

2n(adbc)2200(40906010)2=24，20.（1）由已知K(ab)(cd)(ac)(bd)50150100100又P(K26.635)=0.01，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i）因为RP(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)=，P(B|A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)所以RP(AB)P(B)P(AB)P(B)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(A|B)P(A|B)；P(A|B)P(A|B)

所以R

(ii)R6；21.（1）1；（2）162．9

11

22.（1）a1

（2）由（1）可得f(x)exx和g(x)xlnx的最小值为1ln11ln1.当b1时，考虑exxb的解的个数、xlnxb的解的个数.设Sxexb，Sxe1，xx当x0时，Sx0，当x0时，Sx0，故Sx在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以SxminS01b0，而Sbe

bb0，Sbeb2b，b设ube2b，其中b1，则ube20，故ub在1,上为增函数，故ubu1e20，故Sb0，故Sxexb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.x设Txxlnxb，Tx

x1

，x

当0x1时，T¢x<0，当x1时，Tx0，()故Tx在0,1上为减函数，在1,上为增函数，()b

所以TxminT11b0，而Te

e

b

0，Tebeb2b0，Txxlnxb有两个不同的零点即xlnxb的解的个数为2.当b1，由（1）讨论可得xlnxb、exxb仅有一个零点，当b1时，由（1）讨论可得xlnxb、exxb均无零点，故若存在直线yb与曲线yfx、y=gx有三个不同的交点，()则b1.设h(x)exlnx2x，其中x0，故h(x)e设sxex1，x0，则sxe10，xxx

1

2，x

故sx在0,上为增函数，故sxs00即exx1，所以h(x)x

1

1210，所以h(x)在0,上为增函数，x

1

1223

而h(1)e20，h(3)ee33e330，eee

故hx在0,上有且只有一个零点x0，1

x01且：3e

当0xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，当xx0时，hx0即exxxlnx即fxgx，因此若存在直线yb与曲线yfx、y=gx有三个不同的交点，()故bfx0gx01，此时exxb有两个不同的零点x1,x0(x10x0)，此时xlnxb有两个不同的零点x0,x4(0x01x4)，xx

故e1x1b，e0x0b，x4lnx4b0，x0lnx0b0xb

所以x4blnx4即e4x4即e

x4bx4bb0，故x4b为方程exxb的解，同理x0b也为方程exxb的解又e1x1b可化为e1x1b即x1lnx1b0即x1blnx1bb0，x

x

故x1b为方程xlnxb的解，同理x0b也为方程xlnxb的解，