“双曲线的简单几何性质”教学设计

1.1内容分析

椭圆、双曲线和抛物线都是平面截圆锥得到的图形，统称为圆锥曲线。圆锥曲线是生活中常见的曲线，也是平面内符合某种条件的点的轨迹，如果用综合法来研究它们，是很困难的，而用坐标法就方便得多。坐标法是解析几何的基本方法，它是借助于坐标系，用坐标表示点，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程

f(x,y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。教材在第

七章“直线和圆的方程”初步介绍了坐标法，在第八章“圆锥曲线方程”运用坐标法研究圆锥曲线，一方面系统地研究圆锥曲线的几何性质，一方面进一步展现坐标法。圆锥曲线的定义、方程和几何性质，在生产和科学技术中有广泛应用，同时，这些知识，包括坐标法，是今后进一步学习数学的基础，也是历年高考考查的重要内容。所以圆锥曲线的定义、方程和几何性质，以及坐标法是这一章的重点。

双曲线是一种重要的圆锥曲线，比椭圆和抛物线有更丰富的几何性质。本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）•数学》第二册（上）第八章“圆锥曲线方程”第4小节的内容，是在双曲线的定义和标准方程基础上研究双曲线的性质。双曲线的几何性质揭示了双曲线最基本的特征，其推导过程蕴含了等价转化、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，是训练学生数学思维能力的良好题材。因此，本节课的重点是探究双曲线的几何性质。 【教学重点】探究双曲线的几何性质

1.2学生分析

通过初中对反比例函数的学习，学生对反比例函数的图象，即双曲线，有图形上的感知，但没有形成理性认识。认识到双曲线在生产和科学技术中的广泛应用，以及在高考中的重要地位后，学生较强的求知欲望。通过对第七章“直线和圆的方程”和椭圆的学习，学生对坐标法有较深刻的认识，懂得如何通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，可以按照研究椭圆的几何性质的方法和步骤，推出双曲线的范围、对称性、准线、离心率。因此，学生具备探究双曲线几

x2y2何性质的知识和能力基础。但双曲线的标准方程221(a0,b0)的等价

ab方程|y|ba2|x|1()反映的几何性质是椭圆所没有的。学生缺乏把标准方a|x|x2y2ba2程221(a0,b0)等价转化为|y||x|1()的意识，对“形”与aba|x|“数”的对应关系认识不够深刻，难以把数量关系转化为图形性质，没有极限的观念，难以认识到当|x|逐渐增大时，1(

1

a2)逐渐增大，|x|无限增大，|x|1(a2)接近于1，难以探究出双曲线的渐近线。因此，本节课的难点是探究|x|双曲线的渐近线。

【教学难点】探究双曲线的渐近线

1.3教学目标

1.3.1能积极参与到探究双曲线几何性质的活动中，能恰当地把双曲线标准方程

恒等变形，体会等价转化思想；

1.3.2能运用函数的有关知识，探寻双曲线的渐近线，初步体验极限意义，体会

函数与方程思想；

1.3.3能根据双曲线的方程探求其性质，能准确地把方程的性质转化为曲线的几

何性质，初步感受形与数的对立与统一，建立形与数的关联体验；

1.3.4在探究双曲线几何性质的过程中，能自主探索、交流合作，可以部分地表

达探究过程中的思路，感受成功的喜悦，提高学习兴趣，增强合作意识。

1.4教学媒体：PPT演示文稿，GSP演示课件。 1.5设计思想

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学新课程的基本理念之一。《普通高中数学课程标准(实验)》指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式。美国伊利诺大学的理查德·萨其曼(J.R.Suchman)教授指出：探究是人类最基本的学习方法，探究教学的基本条件是学习材料应具有一定的难度。双

x2y2曲线221(a0,b0)的几何性质的推导，需要先把方程恒等变形为

abca2ca2ba222(xc)y|x|、(xc)y|x|、|y||x|1()，acaca|x|22研究各种方程的代数性质，再根据形与数的对应关系，把方程的代数性质，转化

为相应曲线的几何性质。其中，蕴含许多重要的数学思想方法，对方程的恒等变形能力、数学语言的转化能力等要求很高，颇具探究价值。教科书先给出双曲线的离心率、准线和渐近线，说明这些常数或直线与双曲线的关系，由此定义离心率、准线和渐近线。这样处理，让学生感到唐突，对无缘无故而来的常数或直线，感到迷惑不解，难以接受，也让学生错失了探究的良机。

x2y2为此，本设计以“探究双曲线221(a0,b0)的几何性质，归纳其

ab中蕴含的数学思想和方法”为课堂核心问题。通过学生自主探索和合作交流探讨

x2y2出双曲线221(a0,b0)的几何性质，让学生亲历双曲线几何性质的探

ab求过程，体会其中蕴含的数学思想方法，为学生形成积极主动、勇于探索的学习

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方式和锲而不舍的钻研精神提供平台。通过部分学生展示、交流自己的探究过程和结果，让学生反思、表达自己在探究活动中的思维过程和方法，训练数学表达和交流能力，体验数学的魅力，提高学习数学的兴趣。通过教师的问题引导，让学生反省自己解决问题的思维过程，优化思维品质，训练元认知监控和调节能力，体会根据方程研究曲线性质的方法，感悟等价转化、函数与方程思想和极限观念，感受形与数的对立与统一，建立形与数的关联体验。通过对解决“求双曲线

y2x2x2y21(a0,b0)的几何性质”“求双曲线221(a0,b0)上的点a2b2ab“已知双曲线渐近线，求双曲线方程”“求双曲线的焦点P(x0,y0)到焦点的距离”

到渐近线的距离”等反馈练习，让学生巩固根据方程研究曲线几何性质的方法，掌握双曲线的几何性质，形成方程与其几何性质的关联体验。

x2y2【核心问题】探究双曲线221(a0,b0)的几何性质，归纳其中蕴含

ab的数学思想和方法

1. 教学实施设计

2.1教学环节、学生活动及观测预设设计

教学环节 提出 问题 教师活动 创设问题情境，提出核心问题：探究双曲线x2y21(a0,b0)a2b2学生活动 明确本节课的学习意义及任务 设计意图或预设 通过问题情境，让学生明白本节课学习内容的重要性，激发学生的求知欲；用核心问题调动学生进行有效的探究活动 解决 问题 的几何性质，归纳其中蕴含的思想方法 巡视、引导、收集学生解决问题的方案和探究结果 自主探索双曲线x2y21(a0,b0)a2b2的几何性质，四人小组交流、讨论探究结果和探究过程中用到的数学思想方法 多数学生能按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，探寻双曲线的范围、对称性、准线、离心率；极少数学生能探寻双曲线的渐近线；学生能不自觉地运用等价转化、数形结合、函数与方程的思想方法探究双曲线性质，不能有意识地用这些思想方法调控自己的思维活动 通过集体交流、讨论、评价，确定最佳探究思路和科学的探究结果，得到双曲线的几何性质；学生不能完全表述自己对学生展示的探究思路和结果，作适当点评、矫正、补充，板书双曲线的几何性质 个别学生展示自己的探究思路和结果；其余学生根据展示的思路和结果，进行评价，反思和调整自己的思 3

路和结果 的思路，不能准确表述双曲线的几何性质 归纳 提升 以适当的问题“根据方程研究曲线的几何性质的方步骤有哪些？”“探究双曲线方程过程中用到了哪些重要的数学思想方法”，引导学生归纳方法 在教师引导下，反思、归纳、表达探究过程中所运用的数学思想方法 让学生反省自己解决问题的思维过程，优化思维品质，训练元认知监控和调节能力，体会根据方程研究曲线性质的方法，感悟等价转化、函数与方程思想和极限观念，感受形与数的对立与统一，建立形与数的关联体验 再次体验方法，完善思维，提升巩固；检测前阶段学习效果 反馈 体验 巡视、辅导、引导、完成课堂反馈体验习评价 题 2.2板书设计

§8.4 双曲线的简单几何性质 一、核心问题： x2y2探究双曲线221(a0,b0)的几何性质，归纳其中蕴含的思想方法 ab二、学生活动: 三、归纳提升: 1. 双曲线的几何性质 (1) (2) (3) (4) 范围： 对称性： 准线和离心率 渐近线 2. 根据方程，研究曲线几何性质的步骤 (1) (2) (3) 把方程恒等变形； 研究方程及其等价方程的代数性质； 根据形与数的对应关系，把方程的代数性质转化为曲线的几何性质 3. 思想方法：等价转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、极限的观念 四、反馈体验： 4

2.3教学流程

开始 创设问题情境，提出核心问题 巡视、引导、收集探究方案和结果 自主探究双曲线的几何性质及归纳所用思想方法，小组交流讨论探究思路和结果 实物投影 课件演示 适当点评、矫正、补充，板书 全班展示、交流探究结果 反思、归纳、表达探究过程问题引导 中所运用的数学思想方法 巡视、辅导 引导、评价 反馈体验 布置作业 结束 2. 教后反馈调整 3.1表现反映

在本设计的实施过程中发现，明确核心问题“探究双曲线

x2y2C:221(a0,b0)的几何性质，归纳其中蕴含的数学思想和方法”这一

ab课堂任务后，学生能能积极、主动地参与探究活动，大多数学生能按照研究椭圆

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x2y2几何性质的方法和步骤，通过分析双曲线C的标准方程221(a0,b0)ab的性质，探寻到双曲线C的范围、中心、对称轴、顶点，能自觉地找到推导标准

ca2ca222方程的过程方程(xc)y|x|或(xc)y|x|，根据

acac22“形”与”“数”的对应关系，把过程方程等价转化为|PF1|cd2或aPl1:xac|PF2|c，发现“双曲线上任意一点P(x,y)到焦点F1(c,0)的距离与da2aPl2:xcca2它到直线l1:x的距离的倍” “双曲线上任意一点P(x,y)到焦点F1(c,0)acca2的距离与它到直线l2:x的距离的倍”这一性质，进而像椭圆一样，探寻

acca2到双曲线的准线x和离心率e。由于学生很少经历把简单方程化为复

ac杂方程的过程，缺乏函数思想方法的应用意识，没有学生能把方程

x2y2ba21(a0,b0)等价转化为|y||x|1()，进而通过研究方程22aba|x||y|ba2|x|1()的性质探寻到双曲线C的渐近线。在集体交流、讨论、评a|x|x2y2价过程中，教师把方程221(a0,b0)等价转化为

ab|y|bx|a|ba2C的渐近线yx时，学生惊叹不已。1，(并分析出双曲线)a|x|在归纳提升环节中发现，多数学生能表述根据方程研究曲线几何性质的步骤，能

感受到“等价转化思想”和数形结合思想，却不能感受到“函数与方程的思想”和“极限的观念”。在反馈体验环节中发现，多数学生能顺利完成反馈习题（1）、（2）、（3），只有及少数学生能完成反馈习题（4），这说明教学目标基本达成。 3.2反思改进

在以前教学“双曲线的简单几何性质”，考虑到学生不能借助推导双曲线标

x2y2准方程221(a0,b0)的过程方程

abca2(xc)y|x|或

ac22 6

ca2(xc)y|x|探寻双曲线的离心率和准线，而直接向学生讲授双曲

ac22x2y2y2x2线C:221(a0,b0)和双曲线C1:221(a0,b0)的几何性质，

abab然后，通过大量的习题训练，让学生理解、掌握双曲线的几何性质。这样，虽能让学生自如地应对高考。但通过对《普通高中数学课程标准(实验)》的学习，使自己深刻认识到数学教学应注重培养学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式，注重发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，应重视数学内容的展开方式，努力帮助学生用自己的智慧去获取、发展数学知识，防止把数学学习变成一种“单纯模仿、记忆题型”的活动。认真分析、深入研究双曲线的简单几何性质的推导方法发现，双曲线的简单几何性质具有一定的探究价值，是训练学生学生数学思维能力和发展学生探究能力的良好题材。事实上，在本设计实施过程中，学生表现出饱满的热情、浓厚的探究欲望，学生始终以积极主动的状态参与整个探究活动。这说明本设计具有可行性和可操作性。

心理学的研究表明，学生的探究能力有一定的“阈限”，维果茨基称之为“最近发展区”。如果学生接受的认知任务超过了这个区域，就可能会使探究活动流于形式。为了减少探究的盲目性和空泛性，提高探究的质量和效率，教师应深入了解学生的实际情况，根据具体探究问题的特点，为学生探究活动的顺利进行巧妙搭建“桥梁”，铺平探究活动的“通道”，使“通道”落在学生的“最近发展区”内。在本设计实施过程中，学生没能探寻到双曲线的渐近线，其主要原因是这一任务超过了学生的“阈限”。因此，在以后的教学中，可以向学生提供

x2y2适当的引导性问题，如“对方程221(a0,b0)进行怎样的恒等变形？”

ab“当|x|逐渐增大时，|y|ba2，为学生铺平探究|x|1()有怎样的变化？”a|x|活动的通道。

多数学生不能完成反馈习题（4），主要原因在于学生缺乏“坐标法”这一方法的应用意识，不能自觉地运用“坐标法”解决问题。因此，在以后的教学中加强对学生进行“坐标法”这一解析几何的基本方法的训练。

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附反馈习题：

y2x21的范围、对称中心、对称轴、顶点、焦点、准线、离心(1) 求双曲线

916率和渐近线；

x2y2(2) 已知F1、F2分别是双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，点P双曲

ab线C上，且点P的横坐标为x0，求|PF1|和|PF2|的距离； (3) 已知双曲线C两准线间的距离为

145，其渐近线方程为yx，求双曲线C25的方程；

(4) 证明双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长。

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