高考总复习第二章第6讲对数与对数函数-教案习题

最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及1

其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.

知 识 梳 理

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1) (2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②logaN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n

④loga mMn＝mlogaM(m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式

logaN①换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1)；

a1

②logab＝loga，推广logab·logbc·logcd＝logad. b3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质

图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 性质 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当00，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( ) (3)函数y＝ln

1＋x

与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( ) 1－x

精彩PPT展示

当x>1时，y<0； 当00 在(0，＋∞)上是减函数 a>1 01时，若logax>logbx，则a(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A.a>1，c>1 C.01

B.a>1，0解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以01

3.(必修1P73T3改编)已知a＝23，b＝log23，c＝log13，则( )

－

11

2

A.a>b>c C.c>b>a

2

B.a>c>b D.c>a>b

1

解析 ∵01. ∴c>a>b. 答案 D

2

4.(2015·浙江卷)计算：log22＝________；2log23＋log43＝________. 211解析 log22＝log22－log22＝2－1＝－2；

2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log23＝33. 1

答案 －2 33

3

5.若loga4<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.

333

解析 当01时，loga444解得a>1.

3

答案 0，4∪(1，＋∞)



考点一 对数的运算

11

【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于( ) A.10

B.10

C.20

D.100

11

(2)计算：lg4－lg 25÷100－2＝________.

解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111

则a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

25解得m＝10.

1－

(2)原式＝(lg 2－lg 5)×1002＝lg22×52×10＝lg 102×10＝－2×10＝－20.



－2

2

1

答案 (1)A (2)－20

规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

2x，x≥4，

【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则

f（x＋1），x<4，f(2＋log23)的值为( ) A.24

B.16

C.12

D.8

51－1

(2)(2015·安徽卷)lg2＋2lg 2－2＝________.



解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.

51(2)lg2＋2lg 2－2＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.

答案 (1)A (2)－1

考点二 对数函数的图象及应用

【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )

－1

log2x，x>0，

(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0

3，x≤0，有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.

答案 (1)B (2)a>1

规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

1

(2)当02

2

B.，1 2

C.(1，2) D.(2，2)

解析 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B； 又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D. 10x

1

0又当x＝2时，42＝2，即函数y＝4x的图象过点2，2.把点



21

2，2代入y＝logax，得a＝2.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，2

则需21时，不符合题意，舍去. 2

所以实数a的取值范围是，1.

2答案 (1)C (2)B

考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小

【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0B.logcacb

解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确. ∵y＝logcx是减函数，得logcalg clg c

logac＝lg a，logbc＝lg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.而a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴logac与logbc的大小不能确定. 答案 B

命题角度二 解对数不等式

【例3－2】 若loga(a2＋1)1

B.0，2 

D.(0，1)∪(1，＋∞)

解析 由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a， 又loga(a2＋1)同时2a>1，∴a>2.综上，a∈2，1.

答案 C

命题角度三 对数型函数的性质 【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax， 则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a， 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立. 3

∴3－2a>0.∴a<2. 3

又a>0且a≠1，∴a∈(0，1)∪1，2.

(2)t(x)＝3－ax，∵a>0， ∴函数t(x)为减函数.

∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)， 3－2a>0，

∴即log（3－a）＝1，a

3

a<2，3a＝2.

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.

【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A.a>c>b

B.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b

(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析 (1)a＝log32log22＝1， 所以，c最大.

由1log23>log25，即a>b，

所以c>a>b.

(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由成立，

则f(x)min＝loga(8－2a)>1， 解之得13.

若01在区间[1，2]上恒成立， 则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0. ∴a>4，且a<4，故不存在.

综上可知，实数a的取值范围是

81，3.

答案 (1)D (2)

81，3

[思想方法]

1.对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或00； 当a>1且01时，logab<0.

f(x)>1在区间[1，2]上恒2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]

1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.

2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；

当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A

2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( ) A.a＝bB.a＝b>c D.a>b>c

3

解析 因为a＝log23＋log23＝log233＝2log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log323.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，1x

y＝3＝3，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项



－x

C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B. 答案 B

log2x，x>0，1

4.已知函数f(x)＝－x则f(f(1))＋flog32的值是( )

3＋1，x≤0，

A.5 B.3 C.－1

7

D.2 解析 由题意可知f(1)＝log21＝0， f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，

11

flog32＝3－log32＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3， 

1

所以f(f(1))＋flog32＝5.



答案 A

5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则( ) A.(a－1)(b－1)<0

B.(a－1)(a－b)>0

C.(b－1)(b－a)<0

解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1. b

由logab>1得logaa>0.

bb

∴a>1，且a>1或0a>1或00. 答案 D 二、填空题

D.(b－1)(b－a)>0

2

6.设f(x)＝log1－x＋a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.

解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1， ∴f(x)＝lg

1＋x

，定义域为(－1，1). 1－x

1＋x

<1，∴－1由f(x)<0，可得0<答案 (－1，0)

17.设函数f(x)满足f(x)＝1＋f2log2x，则f(2)＝________.



11111

解析 由已知得f2＝1－f2·log22，则f2＝2，则f(x)＝1＋2·log2x，故f(2)



13

＝1＋2·log22＝2. 3答案 2

－x＋6，x≤2，

8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，

3＋logax，x>2则实数a的取值范围是________.

a＞1，

解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以

3＋loga2≥4，解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2]. 答案 (1，2] 三、解答题

9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； 3

(2)求f(x)在区间0，2上的最大值.

解 (1)∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a>0，a≠1)， ∴a＝2.

1＋x>0，

由得－1＜x＜3， 3－x>0，

∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

3

故函数f(x)在0，2上的最大值是f(1)＝log24＝2.



10.(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，1

f(x)＝log2x.

(1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2.

1

解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log2(－x). 1

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log2(－x)， 所以函数f(x)的解析式为



f(x)＝0，x＝0，

1log2（－x），x<0.

1

(2)因为f(4)＝log24＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).

1

log2x，x>0，

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－5能力提升题组 (建议用时：20分钟)

1a＋b

，r＝(f(a)＋11.(2017·长沙质检)设f(x)＝ln x，022f(b))，则下列关系式中正确的是( ) A.q＝r

p

B.p＝rq

a＋b

解析 ∵0ab， 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数， a＋b

>f(ab)，即q>p. ∴f

2

11

又r＝2(f(a)＋f(b))＝2(ln a＋ln b)＝lnab＝p， 故p＝r12.已知函数f(x)＝ln________.

ab

解析 由题意可知ln＋ln＝0，

1－a1－b

baba

即ln1－a×1－b＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)

1－a1－b121

＝－a＋a＝－a－2＋4，



2

x

，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是1－x

12111

又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜2，故0＜－a－2＋4＜4. 1

答案 0，4



5

13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝2，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

15解析 ∵logab＋logba＝logab＋logb＝2，

a1

∴logab＝2或2.

∵a>b>1，∴logab∴logab＝2，∴a＝b2.

∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2， ∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4. 答案 4 2

1

14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最1

小值是－8，求a的值.

1

解 由题意知f(x)＝2(logax＋1)(logax＋2) 1＝2(log2ax＋3logax＋2) 3211

＝2logax＋2－8. 

13当f(x)取最小值－8时，logax＝－2. 又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1). ∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得. 3111

若2loga2＋2－8＝1，则a＝2－3， 

13

此时f(x)取得最小值时，x＝(2－3)－2＝2∉[2，8]，舍去. 3111

若2loga8＋2－8＝1，则a＝2， 

22

12

此时f(x)取得最小值时，x＝2＝22∈[2，8]，

1

符合题意，∴a＝2.

－

3