运用圆锥曲线第二定义解题

圆锥曲线第二定义：动点M与定点F的距离和它到直线的距离的比为e，则当01时，动点M的轨迹是双曲线。

一般来说，凡与圆锥曲线上点、焦点、准线、离心率有关的问题，经常考虑第二定义，因而，运用圆锥曲线第二定义解题是最基本、最一般的方法，且圆锥曲线第二定义具有丰富的解题功能，在解题中不仅起到简捷明快的作用，而且能优化解题，下面举例加以说明。

一、求轨迹方程

例1、 求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为解：由题意，知椭圆在y轴的右侧，如图1所示，设p(x,y)为椭圆的左顶点，F(x0,y0)为椭圆的左焦点，由椭圆第二定义有：

1的椭圆的左顶点的轨迹方程。 2|PF|e dxx130 即x0x

2x23F(x,y)

2又∵点M（1，2）在椭圆上，即有

|MF|e d'32x)(2y)212 ， 简化得

1231(x1)2(y2)2 243122故，所求椭圆的左顶点的轨迹方程为(x1)(y2)

24(1

二、求最值问题

1y21上的动点，F是右焦点，当|PA||PF|取例2、已知定点A（3，2），P是双曲线x232最小值时，求P点的坐标。

分析：本题若按照常规方法建立目标函数，再求最值，则极其繁琐。观察焦半径的系数与离心率的关系，借助于第二定义转化，并结合平面几何知识求解则相对容易许多。

a1,b3 c2 e2

|PF|1设P到右准线的距离为d，则d, |PF|d

221|PF||PF||PA|d,这个问题转化为在双曲线上求一点P，使P

2解：

到点A的距离与到右准线的距离和和最小。如图2

即直线PA垂直于准线时合题意。

1

21,2) 35121|PA||PF|的最小值为，且P(,2)

223x2y21，例3、已知椭圆

3627此时P(过焦点不垂直于x轴和弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，求|NF|：|AB|的值。

解：如图3，由A、B向准线引垂线AA’，BB’，由A向BB’作垂线AD，D为垂足，则RtNFCRtABD

11|AB||AF|(|BF||AF|)|NF||FC|22 ① |AB||BD||BB'||AA'||BB'||AA'||BF||BF|e|BB'| e 由定义知

|BB'|同理 |AF|e|AA'| ②

|NF|1e 由①②得

|AB|21a236,b227 c3,e

2|NF|1 ∴

|AB|4

三、求弦长

例4、斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。

解：如图4，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到抛物线准线x1的距离|AA’|，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AA'|x11，同理，于|BF||BB'|x21|AB||AF||BF|x1x22

是

得

由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为yx1①

将方程①代入抛物线方程y4x，得

2x26x10

x1x26

于是|AB|=6+2=8

四、求范围

x2y21的右焦点F为焦点，右准线为准线的椭圆，截直线ykx3所得例5、以双曲线32

的弦恰被x轴所平分，求k的取值范围。

x2y21得a23,b21,c24 解：由双曲线方程33∴椭圆的焦点为F2(2,0)，右准线为x

2(x2)2y2设椭圆上任意一点P(x,y),离心率为e，则e

3x2922222即(1e)x(3e4)xy4e0

4ykx3由 922222(1e)x(3e4)xy4e042y3922(y3)22(3e4)y4e0 得(1e)k2k4又因截得的弦恰被x轴所平分

43e2(1e2)(6)k2∴关于y的方程的两根之和为零，即[]0 222kk(1e)k6(e21)2(32k)2e∴k 即 243e3(2k)2(32k)21 又∵0e1，∴03(2k)3∴k0

2x2y2例6、已知双曲线221，左右焦点分别为F1,F2，左准线为l，若双曲线左支上存在一点

abP，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项，求离心率e的取值范围。

2解：由题意有|PF1||PF2|d

|PF1||PF2|e，即|PF2|e|PF1|① d|PF1|再由双曲线第一定义知|PF2||PF1|2a②

2a2ae,|PF2|由①②有|PF1| e1e12a2ae2c 在PF1F2中有|PF，∴||PF|2c12e1e1c2由e，从而得e2e10

a∴12e12 又∵e1

故e的范围为(1,12]

由双曲线的第二定义可知

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