第１９卷２００８年ｌ２月 第４期 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮＧＸＩ广西工学院学报 ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｄｅｃ．１９ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２ｏｏ８ 文章编号１００４．６４１０（２００８）０４．００７２—４０ 广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与矩阵的秩 曾文建 ，郭艳凤２，张明俊２ （１．福建信息职业技术学院，福建福州３５０００７；２．广西ｍ学院信息与计算科学系，广西柳州５４５００６） 摘要：主要研究了广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的性质。运用递推关系，证得广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的几个性质，进而得到由连 续Ｔｎ×ｒ个广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的ｋ次方所组成的；ｒｎ行ｒ列矩阵ｏＬ ，．当优，，． ５时，矩阵Ｄ４埘 ，的秩为５． 关键词：广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列；递推关系；矩阵；秩 中图分类号：０ｌ５６．４ 文献标识码：Ａ ０ 引言 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列是一典型的递推关系的数列，它一直受到广大数学工作者和爱好者的关注。如今，Ｆｉ— ｂｏｎａｃｃｉ数列及其推广几乎渗透到数学的各个分支，并且在物理、生物等自然科学中起着重要作用。广义Ｆｉ． ｂｏｎａｃｅｉ数列形式多样［１，２］，而把广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与矩阵联系起来，一直受到人们的青睐。 本文主要讨论广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，其定义［３］： 对任实数ａ，ｂ（ａ，ｂ都不为０），有 ＋１＝ａＦ．＋ｂＦ．＋１，称数列为广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，其通项公式为［ 】： ＝ 一（口 ＋ ），其中 ： ， ： ． ￣／ａ ＋４６ 二 文献［５］讨论常义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数所组成的矩阵的秩的性质，本文把其推广到广义，进一步讨论了由连续 ｍ×ｒ个广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的ｋ次方所组成的矩阵Ｄ ，，当ｋ＝１，２，３时的性质，在此基础上，本文又进一步 讨论由连续的个ｍ×ｒ广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的４次方所组成的矩阵Ｏ＂ｍ ，，当ｍ，ｒ ５时，其秩为５． １ 引理证明 引理１ Ｆ ２一ａ４Ｆ ｌ一６ Ｆ ＝２ａｂＦ．＋１ ［２Ｆ ２一ａｂＦ．＋ｌ ］． 证明：左边＝（ ＋１＋ ） 一口 Ｆ １一ｂ Ｆ ＝４ａｂＦ，，＋１ （ａＦ．＋１＋ ） 一２ａ ｂ Ｆ ｌＦ ， 化简得证。 模仿引理１方法，易得下列引理。 引理２ Ｆ ３一（ａ ＋６） Ｆ １一（ａｂ） Ｆ４＝２ａｂ（ａ ＋６） ＋１ ［２ ＋３一（ａ ＋ｂ）ａｂＦ．＋１ ］． 弓Ｉ理３ Ｆ ４一［（ａ ＋２ｂ）ａ］ Ｆ ｌ一［（ａ ＋ｂ）ｂ］ Ｆ ＝２ａｂ（ａ ＋２６）（口 ＋６） 十ｌ ［２Ｆ ４一（ａ ＋２６）（盘 ＋ｂ）ａｂＦ．＋ｌ ］． 引理４对连续的六个Ｆ数，有 Ｆ ５一（口 ＋３ａ ｂ＋ｂ）Ｆ， ４一（ａ ＋５ａ ｂ＋７ａ ｂ ＋２ｂ。）６Ｆ ３ ＋（ａ ＋５ａ ｂ＋７ａ ｂ ＋２ｂ。）６ Ｆ， ２＋（口 ＋３ａ ｂ＋ｂ）ｂ Ｆ， １＝ｂｌ０Ｆ ． 证明：设Ｆ ５＋ＡＦ ４＋ＢＦ ３＋ＣＦ ２＋ＤＦ １＝ＥＦ ，把 ＋５， ＋４， ＋１， 收稿日期：２００８—１０—２９ 基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．１０３６１００７）；广西工学院硕士基金（Ｎｏ．０８１６２０８）资助。 作者简介：曾文建（１９６４一），男，福建莆田人，福建信息职业技术学院讲师。 第４期 曾文建等：广义Ｆｉｂｏｎａｏｆｉ数列与矩阵的秩 用 ＋３， ＋２代入整理并比较两边对应项的系数，得到方程组，并解方程组可得 Ａ＝一（口 ＋３ａ ｂ＋ｂ），Ｂ＝一（口 ＋５ａ ｂ＋７ａ ｂ ＋２ｂ ）６， Ｃ＝（口 ＋５ａ ｂ＋７ａ ｂ ＋２ｂ。）６３，Ｄ＝（口 ＋３ａ ｂ＋ｂ）ｂ６，Ｅ＝ｂ１０．定理得证． 引理５对连续的四个Ｆ数，有Ｆ ３一（口 ＋６）Ｆ ２一（ａ ＋６） ｌ＝一６ Ｆ ． 证明：左边＝（ａＦ．＋２＋ｂＦ．＋１） 一（口 ＋ｂ）Ｆ ２一（口 ｂ＋ｂ２）Ｆ １＝一６（ ＋２一 ＋１） ＝一６ Ｆ ． ２广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的性质 性质１髓 ＋ 一 ＋ ＋，一 ＝一（一６） Ｆ，一 ，ｒ三三＝ｍ． 证明：左边 南 （０／ｎ＋＂／ｒ＋，一 一口 ＋，＋ 口时 ｑｎ＋ ） 寿 ～ ）（ａ，ｌ一 ）（口ｒ一一￣ｒ－ｍ）一（－ｂ） … 由性质１，只要取，ｚ＝ｒ， ＝１，ｒ取ｒ＋１易得 性质２ Ｆ ２，＋１一Ｆ２』１，＋１＝一（一ｂ）ｒＦｌＦｒ． ３一类广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ矩阵的秩 定义 由连续７＂ｔ／＇×ｒ个广义Ｆ数 ＋ｌ， ＋２，…， ＋ ，的ｋ次方所组成的ｍ行，－列矩阵 Ｆ Ｆ ｒ Ｆ ｒ“ Ｆ ｒ＋２ Ｆ ２ｒ 碟（ 一１）ｒ＋ｌ硪（ ）ｒ＋２… ， 称ｋ为次广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列矩阵，记为０４ ，． 定理 当ｍ，ｒ ５时，矩阵ｏ２ ，的秩为５． 证明：对ｏ２ ，的一个五阶子式 Ｆ ４＋１ Ｆ ４＋２ Ｆ ３ Ｆ ４ Ｆ ５ Ｆ ，＋１ Ｆ ，＋２ Ｆ ４＋ ＋３ Ｆ４＋，＋４ Ｆ ４＋，＋５ Ｍ５＝ Ｆ ２，＋１ Ｆ ２，＋２ Ｆ ２ ＋３ Ｆ ２，＋４ Ｆ ２，＋１ Ｆ ＋３ｒｎ Ｆ ｝３ｒ＋２ Ｆ：＋３ｒ＋３ Ｆ 十３ｒ＋４ Ｆ ｝３ｒ＋５ Ｆ ｝４ｒＨ Ｆ ｝４ｒ＋２ Ｆ ＋４ｒ｝３ Ｆ ＋４ｒ々４ Ｆ ＋４ｒ＋５ 由引理４得 Ｆ４ Ｆ ４＋１ Ｆ ２ Ｆ４＋３ Ｆ ４ Ｆ ４＋Ｆ ４＋，＋１ Ｆ ，＋２ Ｆ ，＋３ Ｆ ４＋，，＋４ Ｍ５＝ｂ１０ Ｆ ４＋２Ｆ ４＋２，＋１ Ｆ ２ｒ＋２ Ｆ ４＋２，＋３ ｅ．４２，ｒ＋４ Ｆ ３ｒ Ｆ ４＋３，＋１ Ｆ ３，＋２ Ｆ ４＋３，＋３ Ｆ ４＋３，＋４ Ｆ ４，Ｆ ４，＋１ Ｆ ４，＋２ Ｆ ４＋４，＋３ Ｆ ４，＋４ 重复这一过程，则 ０ １ 口４ （口２＋ｂ）４ ａ４（口２＋ｂ）４ Ｆｒ＂Ｖ４￣１ Ｆ ２ Ｆ２＋３ Ｆ ４ Ｍ５＝（ｂｔ０） Ｆ Ｆ ＋１ Ｆ ＋２ Ｆ？ｒ＋３ Ｖ２ｒ＋４ Ｆ Ｆ ＋ｌ Ｆｔｒ＋２ Ｆ ＋３ Ｆ２ｒ＋４ Ｖ２ｒ Ｆ｛ Ｆ｛ｔ吨 Ｆ２ｒ Ｆ｛ ７４ 广西工学院学报 第１９卷 由引理１，２、３，并令口，＝２Ｆｒ＋ｌＦ０２一口６Ｆ ｌ Ｆ，，ｂ，＝２Ｆ，＋ｌＦ０３一（口 ＋６） 工１ Ｆｒ， ｃ，＝２Ｆ，＋１Ｆ２＋４一（口 ＋２ｂ）（ａ ＋ｂ）ａｂＦ２＋１ Ｆ，，ｄ＝８ａ。ｂ （口 ＋２ｂ）（ａ ＋６） 隅Ｊ１３ 弋４，， Ｆ 口ｒ ｂ， Ｃ Ｍ５＝一（ｂｌｏ） ｄ Ｆ ｆ ａ２ｒ ６２ｒ Ｃ２ｒ Ｆ ａ３ｒ ６３ｒ Ｃ３ｒ ｖ２． ａ４ｒ ６４ｒ Ｃ４ｒ 由引理５得， ｅ２ ａ， ｂ， 一２ｂ。Ｆ １ 口２，ｂ２，一２ｂ。Ｆ ＋１ Ｍ５：一（ｂｌＯ） ｄ Ｆ￡ｎ３，ｂ３，一２ｂ 聪＋ｌ ｅ２．ａ４ ｂ４，一２ｂ。ｅ？ｒ＋ｌ 将第３列提取～２ｂ３，并把Ｆｒ＋２＝ ＋１＋ ，Ｆ，＋３＝（口 ＋ｂ）Ｆｒ＋１＋ａｂＦ，．，代入第２、３列第１行中（第２、 ３，４行作类似的变换，以下不再说明）并令 ，＝３口 ＋１ Ｆｒ＋２６ Ｆｒ＋１ ， ＝３ａｂ（ａ 十６） ＋１ Ｆ，＋２口 ６ Ｆ，＋１ ，化简得 Ｆ Ｆ ｌ Ｍ５＝一（ｂｌｏ） ｄ（一２ｂ。） “２ ２， 十１ Ｆ ｚ‘３， ３，Ｆ ＋１ Ｆ０ Ｕ４， ４，Ｆ０＋１ 第２列乘一口 加到第３列得 Ｆ ＦｒｎＦｊ Ｆ １ Ｆ， Ｆ冉１ Ｍ５＝１２ａｂ ０ ｄ Ｆ丢Ｆ２ｒＨＦ丢 ＋１Ｆ２， ＋Ｉ Ｆ Ｆ３ｒ＋ｌＦ Ｆ ＋ｌＦ３， Ｆ ＋１ Ｆ２ｒ Ｆ４ｒ＋１Ｆ０ Ｆ “Ｆ４ｒ Ｆ ＋１ Ｆｊ Ｆｒ＋１Ｆ Ｆ １ Ｆｒ Ｆ １ 令Ｐ＝ Ｆ２，＋１ ＋１Ｆ２， ＋１ ，Ｆ 第１列乘一ａ３，第２列乘一 。，第３列乘一口 ｂ加到第４列， Ｆ３ｒ＋ｌＦ Ｆ ＋１Ｆ３， Ｆ ＋１ Ｖ２． Ｆ４ｒ＋１Ｆ弓 Ｆ。＋１Ｆ４， ．酩＋１ 并把Ｆ，＋１ ＝ ＋６Ｆ，一１代人第２、３列中，化简得 Ｆ互１ 三１ Ｆ Ｆｒ Ｆ 一Ｐ＝ｂ６，－ ｌ Ｆ２ 一ｌ Ｆ 一１ Ｆ３ 一１ Ｆ Ｆ３ Ｆ 聪一１ Ｆ 量 一Ｌ Ｆ －１ ｖ２． 重复这一过程得 Ｆ０ Ｆ１Ｆ Ｆ Ｆｏ Ｆ｝ Ｆ ＦｒＨＦ Ｐ＝ｂ６ｒ Ｆ １ Ｆ， Ｆ ｌ Ｆ ＦｒＨＦｒ Ｆ２＋Ｌ Ｆ ｒ Ｆ２ｒ＋ｌＦ Ｆ ＋ｌＦ２， Ｆ Ｆ Ｆ２ｒ＋ｌ Ｆ２，Ｆ丢＋ｌ Ｆ Ｆ３，＋１ Ｆ３ Ｆ ＋１ Ｆ Ｆ３ｒ＋ｌＦ Ｆ ＋１Ｆ３ Ｆ 把Ｆｒ＋１＝ ＋ 一１代入第２，３列中， 化简得 第４期 曾文建等：广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与矩阵的秩 ７５ ＦＷｒ一１ Ｆ Ｐ＝一ｂ６ ３，（一ｂ ） Ｆ２’Ｆ２ｒ＿ｌ Ｆ丢 Ｆ３ ３，一１ Ｆ 重复这一过程得 Ｆ Ｆ Ｆｏ Ｆ Ｐ＝一ｂ６ ＾，（一ｂ３） Ｆ Ｆｒ＋ｔＦｒ Ｆ２＋１ Ｆ Ｆ２ｒ＋ｌ Ｆ２，Ｆ ＋ｌ Ｐ＝（一１） ６ ｒＦ ３，（ ２，＋１一Ｆ，＋１ Ｆ２，），由性质１化简得Ｐ＝ｂｌＯｒＦ 扣３，． 所以Ｍ５＝９６ａ ｂ 。（ （ｎ ＋２ｂ）（ａ ＋６） Ｆ４Ｆ２３￣＂ ，≠Ｏ，则Ｏ＇ｍ ，，则的秩不小于５． 若，一＝５或ｍ＝５，则Ｄ ，的秩为５．若ｒ＞５且 ＞５，则由引理４，将Ｄ ，第６列到第ｒ列全部 化为０，从而得Ｏ＇ｍ ，的秩为５． 随着ｋ的增大，计算将越来越复杂，以后的研究将探讨对所有的正整数都有此结论。 参考文雎艰艰 献： ［１］吴振奎．斐波那契数列［Ｍ］．长春：辽宁出版社，１９８７． ［２］李桂贞．一些包含广义高阶Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ—Ｌｕｃａｓ数的恒等式［Ｊ］．洛阳师范学院学报，２００５，（５）：１１～１３． ［３】乐茂华．广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的多重性［Ｊ］．怀化师专学报，２００２，（２）：１～２． ［４】焦忠武，张延军，窦丽娜．广义Ｆｉｂｏｎａｅｃｉ数列［Ｊ］．延安大学学报（自然科学版），１９９６，（４）：５３－－５６． ［５］陈逢明，许珊珊，曾灿波．矩阵初等理论在Ｆｉｈｏｎａｃｃｉ数列研究中的应用［Ｊ］．Ｉ￣ｔ）ｔｌ理工学院学报（自然科学版），２００７，（３）： ２５～２９． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ＺＥＮＧ Ｗｅｎ－ｊｉａｎ ，ＧＵＯ Ｙａｎ－ｆｅｎｇ２，ＺＨＡＮＧ Ｍｉｎｇ－ｊｕｎｚ （１．Ｆｕｊｉａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｚｈｏｕ ３５０００７，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ ５４５００６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ．Ｓｅｖｅｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ— ｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｎｖｅｒｔ ×ｒ ｍａｔｒｉｘ ×，ｍａｄｅ ｕｐ ｏｆ志一ｔｈ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｅｅｉ．Ｉｆ ｍ，ｒ ５，ｔｈｅ ｒａｎｋ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ×ｒ ｉｓ ５． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ；ｍａｔｒｉｘ；ｒａｎｋ