人教A版选修1-1教案：3.2立体几何中的向量方法第1课时(含答案)

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。 （3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.

【教学重点】：

平面的法向量.

【教学难点】：

用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.

【教学过程设计】： 教学环节 一、复习引入 二、探究新知 教学活动 1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？ 2． 什么叫直线的方向向量？ 3． 回顾平面向量基本定理。 一、点、直线、平面的位置的向量表示 1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？ 如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示．称向量OP为点的位置向量。 ● 设计意图 为探索新知识做准备. 要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。 P O ● 基点 2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？ l a P A APa(R)如图，点A和a 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。 3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ P 联系平面向量基本O 定理来理解。 b  OPxayb(x、yR) 如图，点O和a、b 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出 学生记住法向量的内的任意一点P. 概念。 4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的 位置吗？ 法向量：若a，则 a 叫做平面 的法向量。 通过对对称轴不同作法的探讨，拓展学生的思维. A  让学生对每一种关系都进行探究，找如图，过点A，以a为法向量的平面是完全确定的. 到相应的向量关系二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系 和运算公式。 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面,的法向量分别为u,v. 探究1：平行关系 1,线线平行: l//ma//bab 2,线面平行: l//auau0 3,面面平行: //u//vuv 探究2：垂直关系 1,线线垂直:  lmabab0 2,线面垂直:  la//uau 3,面面垂直:  uvuv0 a● a● 三、练习巩固 1．设直线l，m的方向向量分别为a,b，根据下列条件判断l，m的位置巩固知识，培养技能. 关系：  (1)a(2,1,2),b(6,3,6) (2)a(1,2,2),b(2,3,2)(3)a(0,0,1),b(0,0,3)答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。 2.设平面,的法向量分别为u,v，根据下列条件判断平面,的位置关系： (1)u(2,2,5),v(6,4,4)(2)u(1,2,2),v(2,4,4)(3)u(2,3,5),v(3,1,4) 答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为四、训练与提高 292247。 引导学生进行应用. AB(2,1,4)，AD(4,2,0)，AP(1,2,1) （1）求证：AP是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积． （1）证明：∵APAB(1,2,1)(2,1,4)0， 对法向量作理解. APAD(1,2,1)(4,2,0)0， ∴APAB，APAD，又ABADA，AP平面ABCD， ∴AP是平面ABCD的法向量． （2）|AB|(2)2(1)2(4)221，|AD|42220225， 巩固以往知识，培养运算技能. 1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果∴ABAD(2,1,4)(4,2,0)6， ∴cos(AB,AD)63105， 1052125932， 10535∴sinBAD1∴S五、小结 ABCD|AB||AD|sinBAD86． 反思归纳 1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 六、作业 A，预习课本105～110的例题。 B，书面作业: 1， 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5), 求平面ABC的一个单位法向量。2，若两个平面 ,的法向量分别是

u(1,0,1),v(1,1,0),求这两个平面所成的锐二面角的度数的大小。.练习与测试：

（基础题）

1，与两点

解：向量

和

所成向量同方向的单位向量是 。

，它的模

则所求单位向量为 。

点坐标。

2，从点

解：设

点坐标为

沿向量 的方向取长为6的线段 ，求

，由题设有 ；

由 可得

，于是所求坐标为

。则

。

3，设直线l，m的方向向量分别为a(1,2,3),b(3,0,1)，判断l，m的位置关系。 解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。

4，设平面,的法向量分别为u(1,3,6),v(2,6,12)，判断平面,的位置关系。 解：易知所给二法向量平行，故平面,平行。

（中等题）

5，已知空间四点坐标分别为A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的单位法向量。

解：

设平面AEF的法向量为则有

为平面AEF的单位法向量。

6，如图所示建立坐标系，有

分别求平面SAB与平面SDC的法向量，并求出它们夹角的余弦。

解：因为y轴平面SAB，所以平面SAB的法向量为

设平面SDC的法向量为，

由

小课堂：如何培养学生的自主学习能力？

自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。在小学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。如何培养中学生的自主学习能力？ 01学习内容的自主性

1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。 2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。 4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。 6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。 8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。 9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。 10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。 12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。 02时间管理

13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。 16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。 18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。 19、作业总是在自己规定的时间内完成。 20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。 03 学习策略

21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。 22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。 24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。 25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。 27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。 29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。 30、常对学过的知识进行分类、比较。 31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。 33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。 34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。 36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。 38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。 04学习过程的自主性

39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。 40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。 42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。 43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。 44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。 05学习结果的评价与强化

46、做完作业后，自己认真检查一遍。 47、常让同学提问自己学过的知识。 48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。 49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。 51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。 52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。 53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。 54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。 06学习环境的控制

55、总给自己树立一个学习的榜样。 56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。 58、自己到书店选择适合自己的参考书。 59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。