导数的综合应用教学设计(正式版)

学校：葫芦岛市绥中一高中 姓名：王娣

一、教材分析

我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。 二、学情分析

根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标 知识与技能：

通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。 过程与方法：

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。 情感、态度与价值观：

通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。 四、教学重点、难点

教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。 教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。 五、学法与教法 学法与教学用具

学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3处理）。

（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（如课前热身题的处理）。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例题的处理）。

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教学用具：电脑、多媒体。

教法：根据学生实际状况，采用分层学导式教学法。。 六、教学过程

本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块

【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材）

1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。 【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。 2.课前热身：

a（1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线 （1，1）处的切线互相垂直，则 = ， yx在点b3y2312x，5（2）函数 在 0,3上的最大值和最小值分别为

x3x2【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。

（2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。这是导数运用过程中最常用的。

（3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。 【典例示范】

例一：已知函数 f(x)xlnx（1）求f(x)的最小值。

都有 f(x)ax，求实数1（2）若对所有x 1a的取值范围。

解析：需先求出定义域 且f(x)=lnx+1,令f(x)''10，则x>,e

110,则00,可知g(x)在1,+单调递增，所以g(x)g(1)=1,得a1'2

【注】在求最值之前须讨论函数的定义域，利用分离变量的方法解决恒成立问题。这也是本节课的重点。

【注】当某区间只有一个极大（小）值时，该值就是最大（小)值

a(x,x1),b(1x,t)若函数 例二：已知向量 (1,1)上是增函f(x)ab在区间

数，求t的取值范围。 解析：

2f'(x)3x2xt0'22由f(x)在(-1,1)上单调递增，可知 f(x)0恒成立，即

211(1,1)t3x2x令 g(x)3(x) 移项有 只须求g(x)在

gmax(1)5的最大值 .

t523【注】本题引导学生用两种方法来解答，在方法二中应用了数型结合的思想。

可知f(x)=x(1-x)+t(x+1)=-x+x+tx+t,由于f(x)在(-1,1)上为增函数，则在(-1,1)上'2232f(x)0恒成立，'即f(x)3x+2x+t0,由二次函数根的分布可得【注】启发学生探求另一种方法 【知识小结】

1. 已知函数在某个区间的增（减）性，利用导数将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正（或负）的问题。

2. 利用求导来证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.

【考点测评】 1.已知函数

f(x)kx3(k1)xk1322(1)若f(x)单调减区间为(0,4）,求k的值

(2)若x>1时,求证: 2x31x'2解析:（1）由题可知 (x)3kfx6(k1)x0解集为（0，4）则0，4为

'22(k1) f(x)3kx6(k1)x的两根，由韦达定理得得4，k=4

1kg(x)2x3（2））构造函数 x2''x11x(x),因为x1,则(x)0得g(x)为 gg22xxxx 1增函数，所以g(x)g(1)0,可证g(x)2x30x 3

yxaxb函数图象上任意两点的连线的斜率都小于1， 2. 已知 则实数a的取值范围.

'22解析：即k , y3x2ax13x2ax10对任意 xR324a120 恒成立,由二次函数图象的性质可知

3a3 解得 2【注】通过本题启发学生对近两年辽宁高考题进行分析。 【高考赏析】

1.已知函数 f(x)(a1)lnxax1（2010年辽宁高考） （I）讨论函数 f(x) 的单调性

2|f(x1)f(x2)4|x1x2|求a的取（II）设a<－1.如果对任意x1,x2∈(0,＋∞)，

值范围。

2.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)lnx,a>1 （2009年辽宁高考） （1）讨论函数 f(x) 的单调性

（2）证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0.+∞) x1≠x2, f(x1)f(x2)1【注】要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法，要认识导数应用的本质， 认真梳理知识，夯实基础，善于利用等价，转化数行结合等数学思想。

【注】本题由学生课外完成，并思考运用导数解决函数最值问题时，要注意什么问题，有哪些常用方法，在高考中的地位。本题主要是运用列表法确定函数的单调区间，判断函数的极值点，再运用二次函数和一元二次不等式的方法来解决问题。 【后记】

在教学过程中，抓住导函数与原函数的图象的关系，帮助学生理解导数的概念、应用。同时，加强学生对函数，特别是高次函数的单调性、极值、最值问题的解决，运用导数求解显得简捷，思路清晰。在教学过程中，还切实加强了对知识的小结和提练，便于学生对重点知识进行重点掌握。因此，在教学过程中，抓住导数的这一优势，展开分析，取得预期效果。

我们注意在备课的过程中，强调抓住教材而不脱离教材，以教材为蓝本，紧扣高考大纲要求，在备课过程中，抓住重点，突破难点，紧扣关键，构建导数的知识网络，实现导数知识的巩固运用。由于教学重点是对教材而言的，教学难点是对学习的主体而言

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x1x2的，教学关键是对学生学习构建知识体系而言的，只有把握好了导数的实质，内化为 为自己心目中的知识点，从而有利于更好地提高学生运用知识的能力。

总之，导数作为工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数单调性，极值以及切线问题，在应用过程中要加强对基础知识的理解，重点掌握利用分离变量法，数型结合来解决恒成立问题。利用导数来证明不等式，也是近年高考中出现的一种热点题型，关键是构造函数的思想，依据函数的单调性，进而求最值，这一方法应用非常广泛。 5