第十一章 三角形 章末复习〔陈丽〕
一、思维导图
例1 如图,在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长. 【知识点】三角形的中线 【数学思想】方程思想
【思路点拨】根据中线的定义知CD=BD.结合三角形周长公式知AC-AB=5cm，又AC+AB=11cm.易求AC的长度.
【解题过程】解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，∴CD=BD. ∵C△ADC-C△ABD=3 ∴AC-AB=3 又∵AB+AC=13，
∴AC=8cm.即AC的长度是8cm.
例2 如图,在△ABC中，D、E分别是BC上两点，∠B=∠EAC,∠ADC=∠DAC. 试证明: AD平分∠BAE.
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【知识点】三角形的外角
【思路点拨】要证明AD平分∠BAE只需证明∠BAD=∠DAE即可，根据三角形的外角等于不相邻内角的和，那么∠ADC=∠B+∠BAD又
∠DAC=∠EAC+∠DAE，那么根据题目的条件:∠B=∠EAC，∠ADC=∠DAC可以求得∠BAD=∠DAE. 【解题过程】
证明：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠DAC=∠EAC+∠DAE. ∠ADC=∠DAC，∠B=∠EAC， ∴∠BAD=∠DAE，即AD平分∠BAE.
例3 假设一个多边形外角和与内角和相等，那么这个多边形是 边形. 【知识点】多边形的内角和公式与多边形的外角和定理 【数学思想】方程思想
【思路点拨】抓住多边形的内角和与多边形的外角和的相等关系列方程，然后解方程可求出多边形的边数.
【解题过程】解：设这个多边形的边数是n，那么(n-2)·180°=360°,解得n=4，故这个多边形为四边形.
章末检测题〔总分值150分〕
一、选择题〔本大题12个题，每题4分，共48分。在每题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求.〕
1．以下每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A.1，2，1 B.2，5，6 C.1，2，3 D.1，4，2 【知识点】三角形的三边关系
【思路点拨】利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边依次判断 【解题过程】2+5>6，6-2<5成立，应选B.
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2.关于三角形的高，中线，角平分线的说法正确的选项是〔 〕
A.角平分线是射线，其余的是线段 B.高是直线，其余的是线段 C.高是直线，角平分线是射线，中线是线段 D.都是线段 【知识点】三角形的三线
【思路点拨】三角形的三线都是线段 【解题过程】依据三线的定义，D °，那么这个多边形是( ) A.七边形 B.六边形 【知识点】多边形的内角和 【数学思想】方程思想
【思路点拨】利用多边形的内角和公式及多边形每个内角相等
【解题过程】设这个多边形是n边形，由题意得(n-2)×180°=108°×n，解得n=5.应选C.
4.:如图，AD是∠BAC的角平分线，AE是∠CAF角平分线，假设∠DAC=20°，问∠EAC等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
C.五边形 D.四边形
【知识点】角平分线，邻补角，余角
【思路点拨】由角平分线及邻补角知∠DAE=90°，又∠DAC=20°，得出∠EAC 【解题过程】解：∵AD是∠BAC的角平分线，AE是∠CAF角平分线 ∴∠DAC+∠EAC= (∠BAC+∠CAF)=∵∠DAC=20° ∴∠EAC=70°应选B
5.如图,AB∥CD,∠A=45°，∠C=28°，那么∠AEC的大小为( ) A.17°
B.62°
C.63° D.73°
1×180°=90° 2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
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【知识点】三角形的外角
【思路点拨】由平行线的性质得出∠ABC=∠C=28°，再利用三角形外角性质即得 【解题过程】解： ∵AB∥CD ∴∠ABC=∠C=28°
∴∠AEC=∠A+∠ABC=45°+28°=73°应选D
6.等腰三角形的两边长分别为4、9，那么它的周长为〔 〕
A．22 B．17 C．17或22 D．13 【知识点】等腰三角形的定义，三角形三边的关系 【数学思想】方程思想，分类讨论思想
【思路点拨】由等腰三角形的定义得腰为4或9，由三边关系4不能做腰 【解题过程】由于4+4=8<9，所以9是腰4是底，所以周长为9+9+4=22，应选A 7．以下图形不具有稳定性的是〔 〕
【知识点】三角形的稳定性 【思路点拨】是否构成三角形
【解题过程】B、C、D中均构成三角形具有稳定性，应选A
8．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为( )． A．钝角三角形 C．直角三角形
B．锐角三角形 D．以上都不对
【知识点】三角形的分类
【思路点拨】判定三角形中是否具有直角或钝角
【解题过程】解：∵外角小于和它相邻的内角，且外角+它相邻的内角=180° ∴它相邻的内角>90°应选A
9．如图，在△ABC中，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，那
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么以下说法中不正确的选项是〔 〕
A．AC是△ABC和△ABE的高 B．DE，DC都是 △BCD的高 C．DE是△DBE和△ABE的高 D．AD，CD都是 △ACD的高
【知识点】三角形的高
【思路点拨】注意三角形高的定义，直角三角形两直角边都可做高 【解题过程】DE不是△ABE的高，应选C 10．如下图，x的值为〔 〕
A．45° B．50° C．55° D．70°
【知识点】多边形外角和是360° 【数学思想】方程思想
【思路点拨】利用105°，60°找到相邻外角为75°，120°再利用多边形外角和是360°
【解题过程】由题知105°，60°的相邻外角分别为75°，120°，所以75°+120° +x+2x=360°，所以x=55°应选C
△ABC的三边长分别为a，b，c化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是( ) A.2a
B.-2b C.2a+2b D.2b-2c
【知识点】三角形三边的大小关系
【思路点拨】两边和大于第三边，两边差小于第三边
【解题过程】解：∵a+b>c，∴a+b-c>0 ∵b-a-c=b-〔a+c〕<0 ∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c+b-a-c=2b-2c应选D
12.给出以下命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三
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条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 【知识点】三角形的相关概念
【思路点拨】准确描述三角形概念和三线的定义
【解题过程】不在同一直线上三条线段首位顺次相接组成的图形叫三角形，故①错，三角形的角平分线是线段，故③错，三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形直角顶点，故④错，所以正确的有② ⑤ ⑥，应选C 二、填空题〔本大题6个小题，每题4分，共24分.〕
13.△ABC三边长分别为a，b，c ，a=b+1，b=c+1 ，a+b+c=12 cm ，那么a= cm ，b= cm，c= cm. 【知识点】三角形的周长 【数学思想】方程思想，整体思想
【思路点拨】把a ，b 都用 c表示出来，三边相加即可 【解题过程】解：∵ a=b+1 , b=c+1 ∴a=c+1+1=c+2
∴c+2+c+1+c=12，∴c=3，a=5， b=4
14.任何一个凸多边形的外角中，能否有3个以上〔不包括3个〕的钝角？____〔填“能〞或“不能〞〕． 【知识点】多边形的外角和
【思路点拨】多边形的外角和为360°
【解题过程】如果外角中有3个以上的钝角，那么多边形外角和大于360°，故填“不能〞
D.4个
15.假设三角形三个内角度数的比为2 : 3 : 4，那么相应的外角比是____ . 【知识点】三角形的内角和 【数学思想】方程思想
【思路点拨】由比例算出内角，再得出相应外角，算出比例
【解题过程】设内角度数为2x，3x，4x，那么2x+3x+4x=180° ，所以x=20 那么三个内角分别为40°，60°，80°，所以三个外角分别为140°，120°，
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100°所以外角比为7 : 6 : 5
16.如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，那么∠3=____
【知识点】三角形的外角和等于不相邻内角和
【思路点拨】利用三角形的外角和等于不相邻内角和将∠3转化为∠B 【解题过程】
∵∠APC=∠3+∠2=∠B+∠1，且∠1=∠2 ∴∠3=∠B=60°
17.如图,小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
【知识点】多边形外角和
【思路点拨】回到原处即转过360°
【解题过程】因为他第一次回到出发地A点，所以转过30°，又转30°，所以一共转了12次，每次走10米，故一共走了120米.
α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形〞，其中α称为“特征角〞．如果一个“特征三角形〞的“特征角〞为100°，那么这个“特征三角形〞的最小内角的度数为 . 【知识点】运算定义，三角形内角和 【思路点拨】根据定义进展运算
【解题过程】由题知三角形特征角α=100°，那么β=1α=50°，根据三角形2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
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内角和等于180°，可得另一个内角为180°-100°-50°=30°故填30° 三、解答题〔本大题8个小题，共78分.〕
19.(7分〕假设三角形的一个内角是另一个角的6倍,而这两个角的和比第三个角大44°.求这个三角形的三个内角. 【知识点】三角形内角和 【数学思想】方程思想
【思路点拨】设一个角为x，把其余两个角用x表示出来即可
【解题过程】解：设另一个角为x度,那么一个内角为6x度,第3个内角是(7x-44)度，由题得x+(7x-44)+6x=180，∴14x=224，x=16， ∴6x=96，7x-44=68，即三内角分别为16°，68°，96°.
20.〔7分〕如果两个多边形的边数之比为1 ：2，这两个多边形的内角之和为1440°，请你确定这两个多边形的边数． 【知识点】多边形内角和公式，两个多边形边数的关系 【数学思想】方程思想
【思路点拨】多边形内角和的表示
【解题过程】解：设其中一个多边形的边数为n，那么另一个多边形的边数为2n,根据题意得：
〔n-2〕•180°+〔2n-2〕•180°=1440° 解得n=4． ∴ 2n=8
故这两个多边形的边数分别为4，8
21.〔10分〕如图,△ABC中，∠B=52°，∠C=62°，AD是∠BAC的角平分线，求∠BAC和∠ADC的度数.
【知识点】三角形的内角和，三角形外角与不相邻内角和的关系
【思路点拨】利用三角形的内角和求出∠BAC，再由外角与不相邻内角和求出 ∠ADC 【解题过程】
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∵∠B=52°，∠C=62°，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-52°-62°=66°. 又∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=
1∠BAC=33°， 2∴∠ADC=∠B+∠BAD=85°.
22.〔10分〕等腰三角形两边长分别为a和b，且满足︱a-1︱+(2a+3b-11)2=0，求这个等腰三角形的周长. 【知识点】三角形三边的关系 【数学思想】方程思想，分类讨论思想
【思路点拨】非负数的和为零，那么每个都为零
【解题过程】因为︱a-1︱≥0，(2a+3b-11)2≥0，又︱a-1︱+(2a+3b-11)2=0， 所以a-1=0，2a+3b-11=0，解得 a=1，b=3，当a=1为腰时，三边为 1，1，3，不构成三角形，当b=3为腰时，三边为3，3，1，此时周长为3+3+1=7. 23.〔10分〕图中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.
【知识点】三角形的外角定理 【思路点拨】构造三角形的外角 【解题过程】利用三角形的外角定理可得 ∠1=∠A+∠D，
∠BOE=∠1+∠C=∠A+∠D+∠C， 在△OBE中，
∵∠BOE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
24.〔10分〕如图，在四边形ABDE中，∠B、∠D的平分线交于点C,试探究∠A、∠E、∠C之间的关系.
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【知识点】多边形内角和，角平分线，三角形内角和 【思路点拨】角的整体代入 【解题过程】
∵∠ABD+∠BDE=360°-(∠A+∠E)， ∴∠DBC+∠BDC=180°-
1(∠A+∠E)， 2∵∠C=180°-(∠DBC+∠BDC)， ∴∠C=
1(∠A+∠E). 225.〔12分〕如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠BAF=110°， ∠ABC=120°，∠DEF=100°，求其他几个内角的度数.
【知识点】三角形外角等于不相邻的两内角和，平行线的性质 【思路点拨】做辅助线，利用平行线的性质
【解题过程】延长AB，DC交于点M，延长AF，DE交于点N，
∵AF∥CD，∴∠BAF+∠M=180°，
∵∠BAF=110°，∠ABC=120°，∠ABC=∠M+∠BCM， ∴∠M=70°，∠BCM=50°， ∴∠BCD=180°-50°=130°，
同理得∠AFE=180°-∠NFE=180°-[100°-(180°-110°)]=150°， 而∠BAF+∠M=∠CDE+∠M=180°，所以∠CDE=∠BAF=110°.
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26.〔12分〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O． 〔1〕假设∠ABC=45°，∠ACB=55°，那么∠BOC 的度数是 ； 〔2〕假设∠A=80°，求∠BOC 的度数；
〔3〕假设∠A=α，∠BOC=β，请猜测α与β之间的数量关系，并说明理由．
【知识点】三角形内角和，角平分线性质 【数学思想】类比，从特殊到一般的思想 【思路点拨】从特殊到一般
【解题过程】解：〔1〕∵∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O， ∴∠DBC=11∠ABC，∠ECB=∠ACB，又∠ABC=45°，∠ACB=55°， 22∴∠DBC°，∠ECB°，
∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ECB=180°°°=130°， 故答案为：130° 〔2〕∵∠A=80°
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°
又∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O 11∠ABC，∠ECB=∠ACB 221∴∠DBC+∠ECB=〔∠ABC+∠ACB〕=50° 2∴∠DBC=那么∠BOC=180°-〔∠DBC+∠ECB〕=180°-50°=130° 〔3〕β=90+1α 2理由如下：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O 11∠ABC,∠OCB=∠ACB 221111∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=〔180°-α〕=90°-α 2222∴∠OBC=下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
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∴β=180°-〔∠OBC+∠OCB〕=180°-〔90°-11α〕=90°+α． 22下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
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