大学物理01质点运动学习题解答

一 选择题

1． 下列说法中，正确的是：（ ）

A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度； B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率；

C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零；

D. 一物体具有沿x轴正方向的加速度而有沿x轴负方向的速度。 解：答案是D。

2. 长度不变的杆AB，其端点A以v0匀速沿y轴向下滑动，B点沿x轴移动，则B点的速率为：（ ）

A. v0 sin B. v0 cos C. v0 tan D. v0 / cos 解：答案是C。

简要提示：设B点的坐标为x，A点的坐标为y，杆的长度为l，则

x2y2l2

对上式两边关于时间求导：2xdydydxdx2y0，因v，v0，所以 dtdtdtdt2xv2yv0 = 0 即 v=v0 y /x =v0tan

所以答案是C。 3. 如图示，路灯距地面高为H，行人身高为h，若人以匀速v背向路灯行走，

灯

y A v0 人头 H h v 影

θ v B x

s

选择题3图

选择题2图

则人头影子移动的速度u为（ ）

HhHhHv B. v C. v D. v HHhHh解：答案是B 。 A.

简要提示：设人头影子到灯杆的距离为x，则

xshH，xs， xHHhudxHdsHv dtHhdtHh所以答案是B 。

4. 某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向．

D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ( ) 解：答案是D

5. 一物体从某一确定高度以v0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt，那么它的运动时间是：（ ）

vv0v-v0A. t B. t C.

g2gvt2v02gvt2v02 D.

2g解：答案是C 。

22gt，tvt2v0简要提示： vtyvt2v0/g

所以答案是C 。

6. 在做自由落体运动的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到：( )

A. 球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落； B. 球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落； C. 球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里； D. 球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里； 解：答案是B。

y 提示：升降机内的人与球之间没有加速度。

7. 某人在由北向南行驶，速率为36 km  h–1的汽车上，

v  –1

测得风从西边吹来，大小为10 m  s，则实际风速大小和方x o 向为：（ ）

A. 0

v0 v B. 14.14 m  s–1，西南风

选择题7图 C. 10 m  s–1，西南风

D. 14.14 m  s–1，西北风 解：答案是D。

简要提示：如图所示，由题意可知，已知牵连速率v0为36 km  h–1（即10 m

 s–1），而相对速率v 为10 m  s–1，所以绝对速率v 为14.14 m  s–1，方向指向东南。所以答案是D。

二 填空题

1一质点在空间三坐标上的运动方程分别为 x=Acost， y=Asint，z=ht/2，式中A、h、均为大于零的常数，则质点在x和y轴上的分运动是__________________________，在z轴上的分运动是______________，在xy平面内的运动轨迹为__________________，在x、y、z空间内的运动轨道为______________________。

解：答案为：谐振动； 匀速直线运动； 以O为圆心半径为A的圆； 以z为轴线的螺旋线。

2. 一质点运动的加速度为a2ti3t2j，初始速度与初始位移均为零，则该质点的运动方程为 ，2秒时该质点的速度为 。

11解：答案为：rt3it4j；v(4i8j)ms-1

34简要提示：已知质点运动的加速度，可得

质点的速度为 vv0adtt2it3j

11运动方程为 rr0vdtt3it4j

34所以，2秒时质点的速度为： v(4i8j)ms-1

3. 两辆车A 和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出

发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x 与行驶时间 t 的函数关系式：

xA4tt2，xB2t22t3 (SI)，则：

(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________； (2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________； (3) 出发后，B 车相对A 车速度为零的时刻是__________________． 解：答案为：（1）A ；（2）t = 1.19 s ；（3）t = 0.67 s

简要提示： （1）两车的速度分别为

vAdxA42t dtvBdxB4t6t2 dt可得：t = 0时 vAvB ，即刚开始时A车行驶在前面。 (2) 由xAxB，可得t = 1.19 s (3) 由vAvB，可得 t = 0.67 s

4. 一质点以初速v0，抛射角为0作斜抛运动 ，则到达最高处的速度大小为_____，切向加速度大小为______，法向加速度大小为_______，合加速度大小为_______。

解：答案为：v0cos0； 0； g； g。

5. 一质点从静止出发沿半径为3 m的圆周运动，切向加速度大小为3 m  s–2，则经过 s后它的总加速度恰好与半径成45°角。在此时间内质点经过的路程为 m，角位移为 rad，在1s末总加速度大小为 m  s–2

解：答案为：1s； 1.5 m； 0.5 rad； 4.2 m  s–2。

v2(aτt)2简要提示：(1) a n= a ，an，tRRR1 s a(2) s1aτt21.5m 2ss20.5rad 2RR(3) v2(aτt)23ms2， (4) 1s末，anRR2 aaτ2an32ms24.2ms2

6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g，则一天的时间应

为 小时。（地球半径R = 6.410 6m）

解：答案为：1.41小时。 简要提示：由：2Rg，g， RT22R5075s1.41h g7. 一列车以5.66 m  s–2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m  s–2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m  s–2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g。列车的加速度，即牵连加速度a0，大小为a0 = 5.66 m  s–2，a0 所以小球的相对加速度a 为

30 aga0

g a

2得a 的大小为： ag2a011.3ms2

与竖直方向的夹角为sin1(a0/a)30

三 计算题

1. 半径为R的轮子在水平面上以角速度作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点运动的轨迹的矢量方程为r(RtRsint)i(RRcost)j，其中i、j分别为x，y直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。当为常数时，找出速度为零的点。

xRtRsint解：质点运动的参数方程为

yRRcostvxdydxRRcost，vyRsint dtdtvvx2vy2(RRcost)2(Rsint)2R(1cost)2sin2tv2Rsint 2axdvydvx2Rsint，ay2Rcost dtdtaax2ay22R

由以上速度公式，可得：当t=2n，n为整数时，v = 0，代入参数方程可

得 y0

即: 轮子与水平面的接触点（y = 0）的速度始终为0。

2. 一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向、大小与船速平方成正比的加速度，即dv/dt=kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0ekx。

dvdvdvdxdv解：已知： kv2 分离变量：vdtdtdxdtdxdvdv得： vkv2 dx

dxkvxvdv两边积分 dx

0v0kv11v得： x(lnvlnv0)ln

kkv0 vv0ekx

3. 一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动，设运动过程中质点

受到的加速度a = −kx 2，求质点运动的最大距离。

解：已知：x0 = 0，v0和a = −kx 2，运用分离变量，得：

vdvkx2 vdvkx2dx dx两边积分： 得：

vv0vdv kx2dx

0x122(vv0)kx3/3 22当v = 0时，质点运动的距离最大，即：xmax(3v0/2k)1/3

4. 如图所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为r，连杆AB长为l。AB的一端用销子在A处与曲柄OA相连，另一端以销子在B处与活塞相连。当曲柄以匀角速度绕轴O旋转时，通过连杆将

计算题4图

带动B处活塞在气缸内往复运动，试求活塞的运动方程。 解：建立坐标如图，以O为原点，水平向左为x的正方向，并取曲柄A端处在x轴的P点时为初始时刻。由图可得活塞B的运动方程为：

xORRBrcostl2r2sin2t

5. 距河岸(可看成直线) 500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 n =1 r/min 转动．当光束与岸边成60°角时，求光束沿岸边移动的速率v 。

解：如图所示，建立坐标系，当探照灯转动到与岸边成 角，再经过d t 时

o x 间，光束沿岸边的位移：

dxrd/sinldt/sin

其中2n。所以，光束沿岸边的速率为：

2l r dvdxl/sin269.8m/s dt6. 一战士在倾角为 的山坡底部O点处，以与斜面成β角的初速度v0投掷手榴弹，欲使弹恰好垂直落入斜面上端P点处的碉堡内，若不计空气阻力，试求投掷角。

解：如图所示，P的水平和竖直速度分别为： vxv0cos(), vyv0sin() gt, vy0。 要使落入点的速度垂直于斜面，必须有：

vxtan，即： vyv0cos()tan，

v0sin()gtv0 P(x,y)

vx

 O   vy v

得到：

v0cos()v0sin() （1）

tan)tgt2/2yv0sin(tan，得到 又因 xv0cos()tv0sin()gt/2v0cos()tan （2）

将（1）式代入（2）式，整理后得到

1sin()cos()(2tan)

tangt利用三角函数展开式，整理简化上式得到

1 2tan7. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标， 已知v0 = 150 m  s–1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？

解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P，

y 则有

tanyxtan30°

由轨迹方程 yxtan60°gx2v0222v0 s 60° 30° o P y x x

cos60°联立解得

2v02cos260°x(tan60°tan30°)1326m

gyxtan30°765.6m

y1531.2m

sin30°8. 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，设t0时质点位于极轴上，其角速度为12 t 2。(1) 求在t = 2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，角位置值为多少？(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：(1) 已知12 t 2，所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：

sx2y2或san2r144rt4230.4ms2 aτrd/dt24rt4.8ms2

其角位置为： 0dt423rad32rad

0222(2) 由aan，即： aτ2 aτa/2，可得： 3aτ2an3(24rt)2(144rt4)2， 解得：t30.29 s3

所以： 0dt4t31.16rad

0t(3) 由aτan，可得 24rt144rt4， 所以t0.55s

9. 一升降机以加速度a0 = 1.22 m  s–2上升，当上升速度为 2.44 m  s–1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求

（1） 螺帽从天花板落到底面所需时间；

（2） 螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。 解：（1）以升降机为参照系，螺帽作初速为零，加速度为a1的竖直向下的匀变速直线运动 a1a0g1.229.811.02(ms2) 向下运动方程 yy0 t12a1t0 22y022.740.71(s) a111.02（2）以地面为参照系，螺帽作初速为2.44m  s1、加速度为g的竖直上抛运

动方程为

1yy0v0tgt2

2螺帽相对于升降机外固定柱子的移动距离

yy0v0t121gt2.440.719.80.7120.74(m)， 22负号表示为下降。

10. 飞机A以vA=1000km  h–1的速率相对于地面向南飞行，同时另一架飞机B以vB=800km  h–1的速率相对于地面向东偏南30方向飞行。求A机相对于B机的速度和B机相对于A机的速度。

y 解： 如图所示，已知飞机A的绝对速度vA和飞机B的牵连速度vB ，所以飞机A相对于

vBx x 飞机B的相对速度vAB为：

vABvAvB

vBy vB 所以 vABxvBxvBcos300693kmh1

vAByvAvByvAvBsin300600kmh1因此，相对速度vAB的大小为：

vA vAB 21vABv2 ABxvABy917kmh方向为向西偏南角，的大小为：tan1vAByvABx41

同样的方法，可以求得飞机A相对于飞机B的相对速度vBA的大小也为917km 

h–1(或254.6m  s–1)，而方向为向东偏北41。

11. 某人以4km  h–1的速度向东行进时，感觉风从正北吹来。如果将速度增加一倍，则感觉风从东北吹来。求相对于地面的风速和风向。 解：如图所示，设相对于地面的

v0 2v0

风速大小为v，方向为向东偏南

角。则：v1vsinv2cosv0vcosv2sin2v0v0v0

v2 v1

v 由已知45，可得：

vcostan21，

v2sin即：45。

相对地面的风速为：vv0/cos2v05.7kmh1

大学物理1-1测试题（第三，四章）

一、 简答题(每题5分,共20分)

(1) 请写出质点系动量定理的内容（文字及数学形式），并说出系统动量守恒的条件？

答：作用于系统的合外力所产生的冲量等于系统动量的增量，t0Fdtpp0；系统动量守恒的条件是体系所受合外力为零（如果系统内力远大于外力，也可近似认为其是守恒）。

(2) 什么是保守力？保守力与势能之间有何关系？

答：保守力是指做功只与初末位置有关，与质点运动路径无关的力；保守力做功等于体系势能增量的负值（或势能的减小量）。

(3) 简述功能原理（文字及数学形式），并说出系统机械能守恒的条件？

in答：外力及内部非保守力做功之和等于体系机械能的增量，WexWncEE0，此

t即功能原理；当外力与内部非保守力做功之和为零时，体系的机械能守恒。

(4) 简述刚体定轴转动的角动量定理（文字及数学形式）,并说出系统角动量守恒的条件？

答：当刚体做定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体对该定轴的角动量关于时间的变化率，即M为零。

二、 选择题(每题4分,共20分)

（1）对质点系有以下几种说法：①质点系总动量的改变与内力无关；②质点系

dLd(J)；角动量守恒的条件是体系所外力矩之和dtdt总动能的改变与内力无关；③质点系机械能的改变与保守内力无关。下列对上述说法判断正确的是（ C ）

（A）只有①是正确的 (B) ①、②是正确的 (C) ①、③是正确的 （D）②、③是正确的

（2）有两个倾角不同,高度相同,质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的小球从这两个斜面的顶点,由静止开始下滑,则( D ) （A）小球到达斜面底端时的动量相等 （B）小球到达斜面底端时的动能相等

（C）小球、斜面、地球组成的系统,机械能不守恒 （D）小球和斜面组成的系统在水平方向上动量守恒

（3）关于力矩有以下几种说法，其中正确的是：（ B ）

（A） 内力矩会改变刚体对某个定轴的动量矩（角动量） （B） 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 （C） 角速度的方向一定与外力矩的方向相同

（D） 质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们

的角加速度一定相等

（4）一均匀细棒可绕其一端在竖直平面内作无摩擦的定轴转动。使棒从水平位置由静止开始下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，则（ A ）

（A）角速度从小到大，角加速度从大到小 （B）角速度从小到大，角加速度从小到大

(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大

（5）一花样滑冰者，开始自转时，其动能为E0。然后他将手臂收回，转动惯量减少为原来的1/3，此时他的角速度变为，动能变为E.则有关系：( D )

（A）30,EE0 （B）03,E3E0 （C）30,EE0 （D）30,E3E0

三、 填空题(每空3分,共30分)

（1）一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时物体位于原点且速度为零。若物体在力F=3+4t（N）下运动了３秒，则在这段时间力对物体的冲量为 27 (kg.m/s) ,物体的速度增为v= 2.7 (m/s) 。 （2）质量为0.02kg的子弹，以200m/s的速率打入一固定的

墙壁内，设子弹所受阻力F与其进入墙壁的深度x的关系如

图所示，则该子弹能进入墙壁的深度为 0.21m ；此过程F中

所做的功为 400J 。

（3）在光滑的水平面上静止地放着质量为M的木块，一颗质量为m的子弹以速度v水平地嵌入木块，则木块的速度变为V＝ 系统机械能损失ΔE=

1Mm2v 。

2Mmmv ，整个过程中Mm（4）一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0，设它所受的阻力矩与转动角速度成正比，即Mk（k为正的常数），若它的角速度从0变为

02，则所需的时间为 JIn2 ；整个过程中阻力矩做功为 k32J0 。 8（5）光滑的水平桌面上有长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点、垂直于杆长方向的竖直轴自由转动，起初杆静止在光滑桌面上。有一质量为m的小球沿桌面正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速度v运动过来，发生完全非弹性碰撞后粘在一起转动。这一系统在碰撞后转动的角速度为

3v1 ;整个过程中系统机械能损失为 mv2 。 4L8四、 计算题(每题10分,共30分)

1． 如图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2，弹簧劲度系数为k。问在A板上需加多

大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。

解：选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有

F1 ＝P1 ＋F (1)

当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得

1212ky1mgy1ky2mgy2 22式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移．因为F1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1

＝m1g,上式可写为

F1 -F2 ＝2P1 (2)

由式(1)、(2)可得

F ＝P1 ＋F2 (3)

当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得

F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g

应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．

2．质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？

解:圆盘对水平面的压力为N = mg，

压在水平面上的面积为S = πR2，压强为p = N/S = mg/πR2． 当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元， 其面积为dS = rdθdr，

对水平面的压力为dN = pdS = prdrdθ， 所受的摩擦力为df = μdN = μprdrdθ，

其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为dM = rdf = μpr2drdθ， 总力矩为

M20ω0 O R

R01322πpRmgRprdrd33．

212由于圆盘的转动惯量为JmR，有

2角加速度大小为

M4g

J3R负号表示其方向与角速度的方向相反．

根据转动公式ω2 = ω02 + 2θ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为

220230R8g

转过的圈数为

n320R216g

3．如图所示，一根质量为M，长为L均匀细棒OB可绕光滑转轴O在竖直平面内转动。现使棒从静止由水平位置绕O转动，求：① 细棒对O轴的转动惯量I。② 棒转到图中θ角时的角速度ω和角加速度β，端点B处的速度v及加速度a。解:转动惯量：ILLM0l2dm0Ll2dl13ML2 角速度：转动过程中机械能守恒1I2Mg(122Lsin)

于是3gLsin 角加速度：Mg(1LcosMrI12)3gcos

3ML22L速度：vL3gLsin 加速度：切向加速度a3L2gcos 法向加速度anL23gsin

合加速度a9g2cos29g24sin2