第一部分 内容提要
一、数值解的一般概念
常微分方程初值问题法得出准确解
在一列离散点
。数值解的特征是步进式，即
是由
等若干点处的近似值
在
的数值解是指通过一定的近似方
上的近似值点的近似值
的信息给出的递推公式。若
，则称为步法；
称为单步法
依赖于前面步的值。
利用算法计算出
在，则称
的精确解借助某种
为该方法的局部截断误差。如果一个算，则称该方法是与微分方程的精确解之差
阶的；而利用数值解
称为整体
法的局部截断误差是
得到的
截断误差，即是该数值方法的误差。
对于固定的
，取
，用某种算法得到
，如有
=0，则称该方法是收敛的。注意，因是固定的，随着
，数值解的步数
。
，稳定性
在实际计算时由于舍入误差不可避免，实际得到数值解是即研究过模型方程
是否随着计算步骤
的增加而增加。通常所提的稳定性是通
有舍入误差时，在以后
来讨论的。若当某一步
的计算中误差不会逐步扩大，则称这种稳定性为绝对稳定性。
二、简单单步法及其收敛性、稳定性
Euler法
的局部截断误差为
，整体截断误差为
1 / 6
，即一阶收敛。对于模型问题法是数值稳定的。
隐式Euler法稳定：即对任意步长
梯形法条件稳定的。
改进Euler法正方法：
——Euler法预测 ——梯形法校正
，当时，Euler
的误差与Euler法相同，但是无条件
，隐式Euler法都是稳定的。
的误差比Euler法高一阶，也是无
是一种预测－校
它保持了梯形法的误差阶数，但不是无条件稳定的。
三、龙格-库塔方法 龙格-库塔类算法采用区间的平均斜率，一般形式为
内若干点的斜率的加权平均来近似整个区间
如经典的4级4阶<局部截断误差为）Runge-Kutta公式为
2 / 6
<1）
四、线性多步法
线性步法具有一般形式
<2）
为隐式公式；
为显式公式。构造多步法公式有基于数值积分和
Taylor展开两种途径。多步法<2）的局部截断误差为
利用原微分方程后，成为
因此利用Taylor公式，分别对<2）中的待定参数
和
和
作Taylor展开，可确定线性多步
，使它达到最高阶精度<或指定精度）。
预测－校正格式：不论单步法还是多步法，隐式公式比显式公式的稳定性好，但隐式公式的计算比较困难。预测－校正格式是用显式公式进行预测，再用隐式公式进行校正。
五、高阶方程和一阶常微分方程组
所有应用于一阶常微分方程初值问题的数值方法都可以直接推广到一阶常 微分方程组，只需把公式中的未知函数改为向量形式。 高阶方程总可以降为一阶方程组，进而用数值方法求解。
第二部分 例题精选
一、对初值问题
，
，用梯形公式求解，求数值解
3 / 6
的表达式<写
成步长的函数），并证明数值解的收敛性。
分析：微分方程用数值方法离散后即变成差分方程，单步法导出的差分方程通常是关于数值解序列
的一个递推公式，因此问题变为已知数列首项和递推
公式求数列通项公式，收敛性即是数列极限。 解：梯形公式于是梯形公式的解
对本问题
即
由于，易得
显然初值问题的准确解为对于固定的点而数值解为令
固定，上式对
，准确解在该点的值为
取极限得：
这证明了数值解的收敛性。
二、用隐式单步法<该方法也属于隐式Runge-Kutta方法）
求解微分方程初值问题，时，试推出其绝对稳定区间。
分析：将格式应用于所给方程可导出误差传播方程，从而求出绝对稳定区间 解：记舍入误差为
。该隐式单步法应用于方程
4 / 6
时
从而误差传播方程为
解不等式得
。
故，该方法应用到所给方程的绝对稳定区间为
三、用Taylor展开原理构造形如
的两步法，试确定系数主项。
分析：本题考察构造多步法的方法；二阶精度即局部截断误差为解：由多步法局部截断误差的定义
将
，
和
分别在点
展开得：
。
使方法具有二阶精度，并推导其局部截断误差
将此三式代入局部截断误差(3>式，我们有
要使方法具有二阶精度，必需
5 / 6
解得
。
此时 四、取
，所以局部截断误差主项为。
，试用Euler法求解初值问题。
分析：先将二阶方程写为一阶方程组，再用Euler法求解。 解：引进
，并记向量函数
，则原二阶方程变为一阶方程组
，它满足初值条件
将Euler法
应用到该方程组得：
。
即，用Euler法求得原二阶方程的数值解为
。
6 / 6
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容