高等数学中有理分式定积分解法总结

高等数学中有理分式定积分解法

总结(总6页)

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由十个例题掌握有理分式定积解法

【摘要】 当被积函数为两多项式的商

P(x)的有理函数时，解法各种各样、不Q(x)易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结

【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商

Px称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多Qx项式Px 与分母多项式Qx之间无公因式，当分子多项式Px的次数小与分母多项式Qx，称有理式为真分式，否则称为假分式.

1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.

3x42x2例1.1 dxx212x4x23dx 例 23x2x21x2x1解 原式dx2x12x2x213x2x22 3xdx2dx解 原式dx

x1x2112 3x2dx12dx1x2x1 2xdx32dx2dx

x1x112 3xdxdx2dx23x1 x4arctanxxC 33 xxarctanxC总结：解被积函数为假分式的有理函数

时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：

x21dx1dx 2x21x12

对于真分式

Px，若分母可分解为两个多项式乘积Qx=Q1xQ2x，Qx且Q1x，Q2x无公因式，则可拆分成两个真分式之和：

P2xPxP1x，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若Q1xQxQ1xQ2x或Q2x再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、

P1xxak、

P2xx2pxql等三类函数，则多项式的积分容易求的

2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分

(axb)mdx 类型一 kcx例 x1x23dx

x33x23x1解 原式=dx 2x11 =xdx3dx3dx2dx

xx11 =x23x3InxC

2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算

类型二 例 x2cxkaxbmdx

x23dx

解 令x+2=t,则xt2，有dxdt

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2 原式=t2t3dx =t24t4t3dt =1tdt411t2dt4t3dt =Int+4t-2t2+C =Inx24x22x22C总结：当被积函数形如时cxkax，将其用换元法转换为(axb)mbmdxcxkdx，再按照后者解法求解

类型三

Pxax2bxcldx

例2.3.1 x3x22x22dx 原式=x3dtx1212 设 x-1=tant,x=tant+1,dx=set2tdt 上式=1+tant32set2t settdt =tan3t3tan2t3tant1set2tdt =sin3tcos1t3sintcost3sin2tcos2tdt =-1cos2t costdcost+34sin2tdtdtcos2tdt =-Incost+12cos2t+2t+2sintcost tant=x-1,cost=1x1,sint=x121x12 1 上式=112x2Inx22x22

2x24x42arctanx1x22x2C 4

例2.3.2 x1dx x22x312x222 =2 dxx2x3111 =2 dx22x3-2dx 22x2x3x121x1 = Inx22x3-2arttan+C 22总结：当被积函数分母含有ax2+bx+c时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如ax2bx+c时，l可将其变形为T2x+1或者是1-T2x,然后利用三角函数恒等变形sin2x+cos2x=1和1+tan2x=set2x将T2x降次，便于计算 . 3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分

例3.1 2x+3dx2x3x102x+3解法1 2dxx3x101 =2dx23x10x3x10 =Inx23x10+C解法2 2x+3dx2x3x102x+32x+3AB 2==+x3x10x+5x2x5x2ABx5B2A11 =x5x2x5x211 原式=dxx5x2 =Inx23x10+C

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总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.

x2dx2 例 2x1xx1

x2原式=2dx2x1xx1112x1122dx =d2x1-22x1xx1 111112 =d2x12dxx1dx22x12xx1213x24111 =In2x1-Inx2x1+arctanx+C 223

总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例 

=x3x3dx 2x1x1x1x12dx1x22dxx2x1x112x211dxdx 22 x1x2x111112dx22x1dxdx22x2x1x1x1Inx11Cx1x16

总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项

除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sinxdx.例如被

sinx1cosx积函数中含有naxb或naxb1x时用换元法将根号去掉，例：dx，cxdx1xdx13x1. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在

被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松

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