2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（2）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）函数𝑦=√4−𝑥2的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（ ） A．{x|1＜x≤2} 2．（5分）已知复数𝑧=A．√5 B．{x|﹣2≤x≤2}
C．{x|﹣2＜x＜3}
D．{x|1＜x＜3}
5𝑖
+5𝑖，则|z|＝（ ） 2−𝑖B．5√2 C．3√2
𝑥2𝑚
D．2√5
3．（5分）已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆A．2
B．
√6 3
+y2＝1的离心率为（ ）
D．
√2或√3 2
→
C．
√6或2 3
4．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则𝐴𝐶⋅𝐴𝐸=（ ） A．
3+√3 3
→
B．
2
9
C．√3 D．9
5．（5分）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是（ ） A．甲和丁
6．（5分）函数𝑓(𝑥)=(
B．甲和丙
C．乙和丙
D．乙和丁
𝑥−1𝑥
)𝑒的部分图象大致是（ ） 𝑥+1A． B．
C． D．
23
7．（5分）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答第1页（共19页）
正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A．
1320
B．
9
20
𝜋
C． 5
1
D．
1
20
8．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)，则下列关于函数f（x）的说法，不正确的是（ ） A．f（x）的图象关于𝑥=−12对称 B．f（x）在[0，π]上有2个零点 C．f（x）在区间(3，6)上单调递减 D．函数f（x）图象向右平移
𝜋11𝜋6
𝜋
5𝜋
𝜋
个单位，所得图象对应的函数为奇函数
𝜋3
9．（5分）将函数y＝sin（4x+3）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x=−12 𝜋
B．x=16 𝜋
C．x=4
𝜋
D．x=2
𝜋
𝑥2𝑦210．（5分）已知直线y＝a与双曲线𝐶：2−2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的一条渐近线交于点P，
𝑎𝑏
双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|𝑃𝐴2|=A．√2 B．
√10 3
√52|𝐴1𝐴2|，则双曲线C的离心率为（ ）
√10 3
C．2 或D．
√10或√2 3
11．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，已知点E在PA上，PA，PB，PC两两垂直，PA＝4，PE＝3EA，正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，则α截球O所得截面面积的最小值为（ ） A．π
B．2π
C．3π
D．4π
𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥，𝑥＞012．（5分）已知函数f（x）={的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y3
𝑥2+2𝑥，𝑥≤0＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ） A．(2，1)
1
B．(2，4)
13
C．(3，1)
1
D．(2，2)
1
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）二项式(2𝑥−𝑥)9的展开式中的常数项是 ．
√14．（5分）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3是a2与a6的等比中项，S3
＝3，则S9的值为 ．
第2页（共19页）
11
2
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2＝0（m∈R）被圆（x﹣2）+（y+1）2
＝4截得的所有弦中弦长的最小值为 ．
16．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2，则f（−√3）＝ ；不等式f（1﹣2x）＜f（3）的解集是 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，AB中点为F，AC＝3，BD＝2，∠BCD＝90°，沿BD将△BCD折起，使C至C'位置，如图（2）．
（1）求证：AC'⊥BD；
（2）当平面BC′D⊥平面ABD时，求直线AC与平面C'DF所成角的正弦值．
18．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C−sinAsinC＝sin2B．
（1）求sinB的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为√2，求△ABC的周长．
19．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结
第3页（共19页）
2
3
论不要求证明）
20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：
𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
=1(𝑎＞𝑏＞0)过点𝑃(1，)，F（﹣1，
3
20）为椭圆C的一个焦点，抛物线D：y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于A，B两点，且|𝐴𝐵|=3 （1）求椭圆C及抛物线方程
（2）若直线l：y＝x+t与抛物线D交于M，N两点，点W满足𝑂𝑊=𝑂𝑀+𝑂𝑁，求证：点W在定直线上
21．（12分）已知函数f（x）＝aex（a∈R），g（x）=𝑥+1． （1）求函数g（x）的极值；
（2）当a≥𝑒时，求证：f（x）≥g（x）． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
𝑥=2+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{（α为参数），以
𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+
𝜋
)=3，且曲线C1与C2恰有一个公共点． 61
𝑙𝑛𝑥
→
→
→
4√6（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足∠𝐴𝑂𝐵=，求△AOB面积的最大值． 五．解答题（共1小题）
23．已知a＞0，函数f（x）＝|x﹣a|．
（1）若a＝2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣f（x+2a），且存在x0∈R使得𝑔(𝑥0)≥𝑎2−2𝑎成立，求实数a的取值范围．
𝜋
4
第4页（共19页）
2020年宁夏高考数学（理科）模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）函数𝑦=√4−𝑥2的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（ ） A．{x|1＜x≤2}
B．{x|﹣2≤x≤2}
C．{x|﹣2＜x＜3}
D．{x|1＜x＜3}
【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，log2（x+1）＞1，可得x＞1，即B＝{x|x＞1}， 则A∩B＝{x|1＜x≤2}， 故选：A．
2．（5分）已知复数𝑧=A．√5 【解答】解：∵𝑧=
5𝑖
+5𝑖，则|z|＝（ ） 2−𝑖B．5√2 C．3√2 D．2√5
5𝑖5𝑖(2+𝑖)+5𝑖=+5𝑖=−1+7𝑖， 2−𝑖5∴|𝑧|=√(−1)2+72=5√2． 故选：B．
3．（5分）已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆A．2
B．
√6 3
𝑥2𝑚
+y2＝1的离心率为（ ）
D．
√2或√3 2
C．
√6或2 3
【解答】解：∵实数1，m，9成等比数列，∴m2＝9，即m＝±3， ∵m＞0，∴m＝3，椭圆的方程为∴离心率为𝑒=𝑎=故选：B．
4．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则𝐴𝐶⋅𝐴𝐸=（ ） A．
3+√3 3
→
→
𝑥23
+𝑦2=1，∴a=√3，b＝1，c=√2
𝑐√2=3， √3√6B．
2
9
C．√3 D．9
【解答】解：如图所示，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°， ∴𝐴𝐵•𝐴𝐷=2×2×cos60°＝2；又E为BC中点， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐵+2𝐴𝐷，且𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐷，
1→
∴𝐴𝐶•𝐴𝐸=（𝐴𝐵+𝐴𝐷）（𝐴𝐵+2𝐴𝐷） •
第5页（共19页）
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1
→→→→
→
→
→
→
=𝐴𝐵2+𝐴𝐵•𝐴𝐷+𝐴𝐷2=4+×2+×4＝9． 故选：D．
32123212
5．（5分）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是（ ） A．甲和丁
B．甲和丙
C．乙和丙
D．乙和丁
【解答】解：由题意，可知： ∵乙、丁的预测是一样的，
∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立，
②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖．
∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：D．
第6页（共19页）
6．（5分）函数𝑓(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥的部分图象大致是（ ）
𝑥−1
A． B．
C． D．
【解答】解：当x→﹣∞时，𝑒𝑥→0+，D；
𝑥−12
=1−→1+，所以f（x）→0+，排除C，𝑥+1𝑥+1因为x→+∞时，𝑒𝑥→+∞，𝑥+1=1−𝑥+1→1+，所以f（x）→+∞，因此排除B， 故选：A．
7．（5分）已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答32
𝑥−12
正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A．
1320
B．
9
20
C． 5
1
D．
1
20
【解答】解：甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题， 每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，
32
在三人中至少有两人解答正确的概率为：
2
p1=𝐶3(3)2(3)+(3)3=27，
21220
三人中有两人解答正确且甲解答不正确的概率为： p2=()2()=
2
3134， 27∴在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率：
𝑝1p=𝑝2=2720=5． 1
274
故选：C．
8．（5分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)，则下列关于函数f（x）的说法，不正确的是（ ）
第7页（共19页）
𝜋
A．f（x）的图象关于𝑥=−
𝜋
对称 12
B．f（x）在[0，π]上有2个零点 C．f（x）在区间(3，6)上单调递减 D．函数f（x）图象向右平移
11𝜋6
𝜋
5𝜋
个单位，所得图象对应的函数为奇函数
𝜋
【解答】解：函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)，
在A中，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−)的对称轴方程满足2x−整理得x=
𝜋3𝜋𝜋
=k𝜋+，k∈z， 32𝑘𝜋5𝜋𝜋
+，k∈Z，当k＝﹣1时，对称轴为x=−，故A正确； 21212𝜋
3在B中，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−)在[0，π]上有2个零点，故B正确； 在C中，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)的增区间满足： −2+2𝑘𝜋≤2𝑥−3≤2+2𝑘𝜋，k∈Z， 解得−
𝜋5𝜋+𝑘𝜋≤𝑥≤+𝑘𝜋，k∈Z， 1212𝜋3
5𝜋5
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
∴f（x）在区间（，）上单调递增，故C错误；
𝜋
11𝜋6
在D中，函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)图象向右平移得到的函数为f（x）＝sin[2（x−
个单位，
11𝜋𝜋
）−]＝2sin（2x﹣4π）＝2sin2x， 63所得图象对应的函数为奇函数，故D正确． 故选：C．
9．（5分）将函数y＝sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个
3
𝜋
3𝜋
单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x=−
𝜋 12B．x=
𝜋 16𝜋3C．x=
𝜋4D．x=
𝜋2【解答】解：将函数y＝sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y＝sin（2x+3）的图象；
再向右平移个单位，可得函数y＝sin（2x−3）的图象．
3𝜋
𝜋
𝜋
令2x−3=kπ+2，求得x=2+12，k∈Z，
第8页（共19页）
𝜋𝜋𝑘𝜋5𝜋
再令k＝﹣1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为x=−故选：A．
10．（5分）已知直线y＝a与双曲线𝐶：𝜋
， 12𝑥2𝑦2
−=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的一条渐近线交于点P，𝑎2𝑏2√5双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|𝑃𝐴2|=A．√2 √10B． 3
2|𝐴1𝐴2|，则双曲线C的离心率为（ ）
𝑥2𝑦2
【解答】解：双曲线𝐶：2−2𝑎𝑏
√5√10D．或√2
3
𝑎2𝑏
=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的一条渐近线：y=𝑎𝑥，则P（，a），
𝑏𝑎2
𝑎
√10C．2 或
3
因为|𝑃𝐴2|=2|𝐴1𝐴2|，所以（−a）2+a2＝5a2，可得（−1）2＝4，
𝑏𝑏
√10𝑏
所以=3，从而e=√1+2=，
𝑎𝑏
2
𝑎3双曲线的渐近线为：y=−𝑎x， 则p（−
𝑎𝑏
𝑎√5𝑎2𝑎2
，a），|𝑃𝐴2|=|𝐴1𝐴2|，所以（−−a）2+a2＝5a2，可得（+1）2＝4， 𝑏2𝑏𝑏
𝑏
所以=1，可得e=√2． 则双曲线C的离心率为：√2或故选：D．
11．（5分）正三棱锥P﹣ABC中，已知点E在PA上，PA，PB，PC两两垂直，PA＝4，PE＝3EA，正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，则α截球O所得截面面积的最小值为（ ） A．π
【解答】解：如图，
∵三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴𝑅=2√3，
过O作OH⊥PA，H为垂足，𝑂𝐻=2√2，在Rt△OHE中，𝑂𝐻=2√2，𝐻𝐸=1，∴OE＝3，
当OE垂直截面α时，截面圆半径最小，有𝑟2=𝑅2−𝑂𝐸2=(2√3)2−32=3， ∴α截球O所得截面面积的最小值S＝πr2＝3π． 故选：C．
第9页（共19页）
√10． 3
B．2π C．3π D．4π
12．（5分）已知函数f（x）={
𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥，𝑥＞0
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y32
𝑥+2𝑥，𝑥≤0
＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（ ） A．(，1)
12B．(，)
1234C．(，1)
13D．(，2)
12【解答】解：∵函数f（x）={
𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥，𝑥＞0
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线32
𝑥+2𝑥，𝑥≤0
y＝﹣1的对称点在y＝kx﹣1的图象上，
而函数y＝kx﹣1关于直线y＝﹣1的对称图象为y＝﹣kx﹣1，
𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥，𝑥＞0
∴f（x）={的图象与y＝﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点， 3
𝑥2+𝑥，𝑥≤0
2𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥，𝑥＞0
作函数f（x）={的图象与y＝﹣kx﹣1的图象如下， 32
𝑥+2𝑥，𝑥≤0易知直线y＝﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），
设直线AC与y＝xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x）， y′＝lnx﹣1， 故lnx﹣1=
𝑥𝑙𝑛𝑥−2𝑥+1
， 𝑥解得，x＝1； 故kAC＝﹣1；
设直线AB与y＝x2+x相切于点B（x，x2+x）， y′＝2x+2，
3
3𝑥2+2𝑥+1
故2x+2=，
𝑥32323
解得，x＝﹣1；
第10页（共19页）
故kAB＝﹣2+=−； 故﹣1＜﹣k＜−， 故＜k＜1；
21
123212故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
21119
13．（5分）二项式(𝑥−)的展开式中的常数项是 ．
2√𝑥2𝑟
【解答】解：二项式(2𝑥−𝑥)9的展开式的通项是𝑇𝑟+1=𝐶9(2𝑥)9−𝑟(−𝑥)𝑟=
√√𝑟
𝐶9(−1)𝑟()9−𝑟𝑥9−2𝑟，
11111
23
令9−2𝑟=0，解得r＝6． 故二项式(𝑥−故答案为：
21212191216)的展开式中的常数项是𝑇7=𝐶9(−1)6()9−6=．
22√𝑥3
14．（5分）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3是a2与a6的等比中项，S3
＝3，则S9的值为 63 ．
【解答】解：公差d不为零的等差数列{an}，若a3是a2与a6的等比中项， 可得a2a6＝a32，即（a1+d）（a1+5d）＝（a1+2d）2， 化为d＝﹣2a1，
又S3＝3，可得3a1+3d＝3，解得a1＝﹣1，d＝2，
第11页（共19页）
则S9＝9a1+36d＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．
2
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2＝0（m∈R）被圆（x﹣2）+（y+1）2
＝4截得的所有弦中弦长的最小值为 2√2 ．
【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2＝0过定点I（3，﹣2）， 圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r＝2． 如图，
∵|CI|=√(3−2)2+(−2+1)2=√2，
∴直线mx﹣y﹣3m﹣2＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的所有弦中弦长的最小值为2√𝑟2−(√2)2=2√2． 故答案为：2√2．
16．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2，则f（−√3）＝ ﹣3 ；不等式f（1﹣2x）＜f（3）的解集是 {x|x＞﹣1} ． 【解答】解：由f（x）为奇函数且x≥0时，f（x）＝x2， 可得，f（−√3）＝﹣f（√3）＝﹣3，
因为≥0时，f（x）＝x2单调递增，根据奇函数的对称性可知，f（x）在R上单调递增， 故由式f（1﹣2x）＜f（3）可得，1﹣2x＜3， 解可得，x＞﹣1．
故答案为：﹣3，{x|x＞﹣1}．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，AB中点为F，AC＝3，BD＝2，∠BCD＝90°，沿BD将△BCD折起，使C至C'位置，如图（2）．
第12页（共19页）
（1）求证：AC'⊥BD；
（2）当平面BC′D⊥平面ABD时，求直线AC与平面C'DF所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E， 将△BCD沿BD折起，使C到C′，则C′E⊥BD，AE⊥BD， ∵C′E∩AE＝E，∴BD⊥平面AC′E， ∵AC′⊂平面AC′E，∴AC′⊥BD．
（2）解：由平面BC′D⊥平面ABD，C′E⊥BD，得C′E⊥平面ABD， ∵AE⊥BD，∴以E为原点，EA，EB，EC′为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵∠BCD＝90°，∴∠BC′D＝90°，BD＝2，E是BD中点，∴C′E＝1， ∵AC＝3，CE＝C′E＝1，∴AE＝2，
∴C′（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（1，，0），
2
→
→
→
1
𝐴𝐶′=（﹣2，0，1），𝐶′𝐷=（0，﹣1，﹣1），𝐶′𝐹=（1，，−1），
2
1
设平面C′DF的一个法向量𝑚=（x，y，z），
𝑚⋅𝐶′𝐷=−𝑦−𝑧=0→则{→→，取z＝2，则𝑚=（3，﹣2，2）， 1
𝑚⋅𝐶′𝐹=𝑥+𝑦−𝑧=0
2→
→
→
cos＜𝑚，𝐴𝐶′＞=
→
→
𝑚⋅𝐴𝐶′|𝑚|⋅|𝐴𝐶′|
→→→→
=
−44√85=−，
85√17⋅√54√85． 85
∴直线AC与平面C'DF所成角的正弦值为
18．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C−3sinAsinC＝
第13页（共19页）
2
sin2B．
（1）求sinB的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为√2，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）因为sin2A+sin2C−3sinAsinC＝sin2B． 由正弦定理可得，𝑎2+𝑐2−𝑏2=3𝑎𝑐， 由余弦定理可得，cosB=， 故sinB=3；
（2）∵S△ABC=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=6𝑎𝑐=√2， 所以ac＝3，
因为𝑎2+𝑐2−𝑏2=3𝑎𝑐，
所以(𝑎+𝑐)2=4+𝑎𝑐=4+8＝12， 所以a+c+b＝2+2√3．
19．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）
8
321
√52
2
132√2第14页（共19页）
【解答】解：（I）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为
220
=0.1，
在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；
（II）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，
记其中测试成绩在70分以上的人数为X，选出的8名男生中随机抽取2人，则X＝0，1，2，
则P（X＝0）=P（X＝1）=P（X＝2）=
， 2=𝐶81411
𝐶5𝐶3152=28， 𝐶82𝐶33=， 228𝐶8
𝐶52
5
X的分布列如下：
x p
5
15
0
53
1
2
14
3
1528
3
28
故E（X）＝0⋅14+1⋅28+2⋅28=4， （III）m的最小值为4．
20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：
𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
=1(𝑎＞𝑏＞0)过点𝑃(1，2)，F（﹣1，
3
0）为椭圆C的一个焦点，抛物线D：y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于A，B两点，且|𝐴𝐵|=3 （1）求椭圆C及抛物线方程
（2）若直线l：y＝x+t与抛物线D交于M，N两点，点W满足𝑂𝑊=𝑂𝑀+𝑂𝑁，求证：
第15页（共19页）
→
→
→
4√6
点W在定直线上
19
3+2=12【解答】解：（1）由于点𝑃(1，2)，F（﹣1，0）为椭圆C的一个焦点；则{𝑎； 4𝑏
𝑐=1
∵a2＝b2+c2；
19
+2=12∴{𝑎； 4𝑏
𝑎2=𝑏2+1
2
∴{𝑎2=4； 𝑏=3
∴椭圆C的标准方程为：
𝑥24
+
𝑦23
=1．．
又由于抛物线D：y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于A，B两点，即A，B两点关于x轴对称；
∴A（x0，y0），B（x0，﹣y0）； ∵|𝐴𝐵|=3； ∴𝑦0=3，
∵A，B两点在椭圆上， ∴
𝑥024
2√64√6+
2
89
=1；
∴𝑥0=3； ∴𝐴(，2
32√622√6)，𝐵(，−)； 333由于A，B两点在抛物线上，代入可以得出p＝2； ∴抛物线的标准方程为：y2＝4x； （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）
𝑦2=4𝑥
由于直线l：y＝x+t与抛物线D交于M，N两点，联立：{，
𝑥=𝑦−𝑡∴y2﹣4y+4t＝0， 𝑦+𝑦2=4∴{1； 𝑦1𝑦2=4𝑡
∴x1+x2＝y1+y2﹣2t＝4﹣2t； ∵点W满足𝑂𝑊=𝑂𝑀+𝑂𝑁，
∴𝑂𝑊=(𝑥1+𝑥2，𝑦1+𝑦2)=(4−2𝑡，4)，
第16页（共19页）
→
→
→
→
∴W（4﹣2t，4）
∴点W在定直线x﹣y+2t＝0上；
21．（12分）已知函数f（x）＝aex（a∈R），g（x）=（1）求函数g（x）的极值；
（2）当a≥𝑒时，求证：f（x）≥g（x）． 【解答】解：（1）由𝑔(𝑥)=
𝑙𝑛𝑥1−𝑙𝑛𝑥
+1，得𝑔′(𝑥)=，定义域为（0，+∞）． 𝑥𝑥21
𝑙𝑛𝑥
+1． 𝑥令g′（x）＝0，解得x＝e， 列表如下：
x g′（x） g（x）
（0，e）
+ 单调递增
e 0 极大值
1
+1，无极小值． 𝑒 （e，+∞）
﹣ 单调递减
结合表格可知函数g（x）的极大值为g（e）=
证明：（2）要证明f（x）≥g（x），即证aex≥𝑥+1，而定义域为（0，+∞）， 所以只要证axex﹣lnx﹣x≥0，
又因为a≥𝑒，所以axex﹣lnx﹣x≥𝑒𝑥𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−𝑥， 所以只要证明𝑥𝑒𝑥−lnx﹣x≥0．
𝑒11
1
𝑙𝑛𝑥
令F（x）=𝑒𝑥𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−𝑥，则𝐹′(𝑥)=(𝑥−1)(𝑒𝑥−1−𝑥)， 记h（x）=𝑒𝑥−1−𝑥，则h（x）在（0，+∞）单调递增且h（1）＝0， 所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0，从而F′（x）＜0； 当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，
从而F′（x）＞0，即F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，F（x）≥F（1）＝0．
所以当a≥𝑒时，f（x）≥g（x）．
四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
𝑥=2+𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{（α为参数），以
𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼
第17页（共19页）
11
1
1
坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+
𝜋
)=3，且曲线C1与C2恰有一个公共点． 6（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足∠𝐴𝑂𝐵=，求△AOB面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝3， 可得C2的直角坐标方程为：x+√3𝑦−6＝0，即曲线C2为直线． 曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆． 因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|=圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x＝0， 所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+4），（ρ1＞0，ρ2＞0）， S△AOB=2|OA||OB|sin＝4（
1+𝑐𝑜𝑠2𝜃
21
𝜋4
𝑠𝑖𝑛2𝜃2
𝜋
|2−6|
=2， 2𝜋6𝜋4=
√2𝜋
ρ1ρ2＝4√2cosθcos（θ+4）＝4（cos2θ﹣sinθcosθ） 4
𝜋4−）＝2+2√2cos（2θ+），
所以△AOB面积的最大值为2+2√2． 五．解答题（共1小题）
23．已知a＞0，函数f（x）＝|x﹣a|．
（1）若a＝2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣f（x+2a），且存在x0∈R使得𝑔(𝑥0)≥𝑎2−2𝑎成立，求实数a的取值范围．
1−2𝑥，𝑥＜−1
【解答】解：（1）当a＝2时，𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥+3)=|𝑥−2|+|𝑥+1|={3，−1≤𝑥＜2，
2𝑥−1，𝑥≥2
当x＜﹣1时，由1﹣2x≤5，解得﹣2≤x＜﹣1； 当﹣1≤x＜2时，由3≤5，解得﹣1≤x＜2； 当x≥2时，由2x﹣1≤5，解得2≤x≤3； 综上可知，原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}； （2）g（x）＝f（x）﹣f（x+2a）＝|x﹣a|﹣|x+a|， 存在x0∈R使得𝑔(𝑥0)≥𝑎2−2𝑎成立，
第18页（共19页）
等价于𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥≥𝑎2−2𝑎；
又因为|x﹣a|﹣|x+a|≤|x﹣a﹣x﹣a|＝2a， 所以2a≥a2﹣2a，即a2﹣4a≤0，
解得0≤a≤4，结合a＞0，所以实数a的取值范围为（0，4]．
第19页（共19页）
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