1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三
个角的大小.
2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直
角，最少有两个锐角.
3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度
数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．
外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析
类型一：三角形内角和定理的应用
1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其
最大内角的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三：
【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．75° C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。
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类型二：利用三角形外角性质证明角不等
2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，
CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三：
【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三角形内角和定理及外角性质的综合应用
3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
举一反三：
【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
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类型四：及角平分线相关的综合问题 Ｄ．
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________； （5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．
4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点
举一反三：
【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE及CF交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80
【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，
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如果∠A＝50°，求∠D.
【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____. 【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。56
类型五：及高线相关的综合问题
5．如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE
平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.
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举一反三：
【变式1】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【变式2】如图15, △ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．
【变式3】如图16，在△ABC，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA
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的度数.
类型六：及平行线相关的综合问题
6．已知：如图17, AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于
点E、F，∠BEF的平分线及∠DFE平分线相交于点P，求证：∠P=90°.
举一反三：
【变式1】如图18，AB∥CD，∠A＝96°，∠B＝∠BCA，则∠BCD＝________.
【变式2】如图19，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 37°，求∠F的度数.
【变式3】如图20，△ABC中，AD是角平分线，∠B= 45°，∠C= 63°，DE∥AC，求∠ADE.
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类型七：用三角形角的关系解决实际问题
7．一种工件如图21所示，它要求∠BDC等于140°，
小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝22°，∠C＝26°后就下结论说此工件不合格，这是为什么呢？
举一反三：
【变式】某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如下图的同一高度定出了两个开挖点Ｐ和Ｑ，然后在左边定出开挖的方向线ＡＰ，为了准确定出右边开挖的方向线ＢＱ，测量人员取一个在点Ａ、Ｐ、Ｑ可以同时看到的点Ｏ，测得∠Ａ＝25°，∠AOC＝100°，那么∠QBO应等于多少度才能确保ＢＱ及ＡＰ在同一条直线上？
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选择题
1.如果三角形的三个内角的度数比是1：3：5，则它是（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.如图，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（ ）.
A.30° B.40° C.50° D.60°
（第
2
题）
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（第3题）
3.李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻 璃，那么最省事的办法是（ ）.
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
4.已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，则这个三角形各内角的度数分别为（ ）.
A.60°，90°，75° B.35°，40°，105° C.48°，32°，38° D.40°，50°，90°
5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
6.设∠1，∠2，∠3是某三角形的三个内角，则∠1+∠2， ∠2+∠3 ，∠3+∠1 中 （ ）.
A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角
C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 7.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ）. A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形
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C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
8.如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（ ）.
A.120° B.115° C.110° D.105° 9. 如图所示,在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（ ）.
A.∠BDC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5－∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4
（第8题） （第9题） （第10题）
10.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，若∠1=∠2，则∠EDC的度数为（ ）
A.40° B.30° C.20° D.10° 11.（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）
A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或
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70°，40° D．以上都不对
12.（2010安徽）如图，直线∥，∠1=55°，∠2=65°，则∠3为：（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65° 填空题
13.三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20°，则此三角形的最小内角的度数是________.
14.在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B ＜∠C，则此三角形是_____三角形.
15. 如图所示，已知三角形一个内角为40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_________.
16.在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点D，若∠BDC=155°，则∠A=______.
17.如果一个三角形的各内角及一个外角的和是300°，则及这个外角相邻的内角度数是____.
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18.一个三角形三个外角之比为2︰3︰4，则这个三角形三个内角之比为_________.
19.如图所示，∠ABC及∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线及∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC及∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.
（第19题） （第20题）
20.如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=________.
21.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________.
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（第21题）
（第22题）
22.如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若∠ADE=158°，则∠DEF=_____. 解答题
23.如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，求∠1+∠2的度数.
（第23题） （第24题）
24.已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．
25.如图，在△ABC中，∠A=36°，点E是BC延长线上一点，∠
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DBA=∠ABC，∠DCA=∠ACE，求∠D的度数.
（第
25
题）
（第26题）
26.如图，AB∥CD，∠A=45°，添一个条件_________，求∠C的度数. 能力提升
27.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°， 求∠DAC的度数.
（第27题） （第28题）
28.如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=32°，∠D=28°，求∠P的度数.
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29.已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E． 求证：∠EBC＜∠ACE．
（第
29
题）
（第30题）
30.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C＞∠B)，试证明：∠EAD=(∠C－∠B).
综合探究：
31.如图所示，在△ABC中，∠A=，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P， 且∠P=，试探求下列各图中及的关系，并加以说明.
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32.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠.
（1）当点A落在四边形BCDE内部时，∠A、∠1、∠2的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； （2）当点A落在四边形BCDE外部时，∠A、∠1、∠2的度数之间又有怎样的数量关系？
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