疑难点击 ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ 筝形蝴蝶定理的解析几何简单证法 陕西安康学院数学系（７２５０００） 赵临龙 １９９０年中国数学竞赛，出现了筝形蝴蝶定理的命 题．［ 则 ＋ 一 １十 １． 【命题１】如图１，在筝形ＡＢＣＤ中，ＡＢ—ＡＤ，ＢＣ ＝ＤＣ，过ＡＣ、ＢＤ的交点。引直线ＥＦ、ＧＨ分别交ＡＢ、 ＣＤ于Ｅ、Ｆ及交ＤＡ、ＢＣ于Ｇ、Ｈ．ＥＨ、ＧＦ分别交ＢＤ 显然，当６一一 时， ＋ｚ。一Ｏ．即命题１获得证明． 我们不仅简单证明了命题１，还给出命题１的推广： 【命题２】如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ， 于Ｐ、Ｑ，贝０ ＯＰ＝０Ｑ． 分析：这是我们中国在欧氏几何研究中，给出的有 影响的成果．但竞赛时选手多数都是利用解析几何方法 求解： 如图１，以ＢＤ为 轴，以ＡＣ为Ｙ轴建立直角坐标 系，由直线方程ＧＯＨ和直线方程ＡＤ求得交点Ｇ，由直 线方程ＥＯＦ和直线方程ＣＤ求得交点Ｆ，由直线方程 ＧＦ和 轴求得交点Ｑ的横坐标 。；同理，可求得交点Ｐ 的横坐标ｚ ，由 ＋ 一Ｏ，证得命题． 其过程非常繁琐．现在给出 ， 一种简单的解析几何证明方法． 证明：如图１，仍以ＢＤ为ｚ 轴，以ＡＣ为ｙ轴建立直角坐标 日 系，记坐标Ａ（０，ａ）、Ｂ（ｂ，０）、 ． ／ Ｃ（Ｏ，ｃ）、Ｄ（ ，０），其中 一一 ． Ｃ 现将直线方程对ＡＢ和 图１ ＡＤ，看成退化的二次曲线，其方程为： （导＋ 一１）（ ＋ 一１）一０． （１） ０ 以 ａ 又将直线方程对ＣＢ和ＣＤ，看成退化的二次曲线， 其方程为： （ ＋ 一１） ｘ＋ｙ ～１）一ｏ． （２） 则筝形ＡＢｃＤ的方程为：｝ ｘ＋２１）（ｄ＋＂。ｆａ－一 １）Ｊ＋Ｊ（詈＋ ～１）（ ＋ 一１）ｆ一０． （３） 现取直线对ＥＯＦ和ＧＯＨ的方程为： （ｙ－－ｋ１．７２）（ｙ－－ｋ２ｚ）一０． （４） 则由直线对（４）和筝形（３）构成的交点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ坐 标满足方程： １（ｙ—ｋ ｚ）（ 一忌ｚｚ）＋｛（ ｘ＋ｙ一１）（ｄ＋２—１）Ｉ ｎａ＋Ｊ（吾＋詈一１）（号＋ 一１）Ｉ一０． （５） 此时，对于特殊的 ，（５）表示直线对ＥＨ和ＧＦ的 方程．若取ｙ＝Ｏ，则点Ｐ和Ｑ的横坐标ｚ ，‘满足方程： Ｉｋ ｋｚ ＋２１（ 一１）（号一１）Ｉ一０（６≤ｚ≤ ）． 于是，由方程 志 志 一 ） ＋２（ ＋ ） 一２一ｏ， 得到～侣 ：Ｘｐ＋ 一—— 车２（吉＋ ） Ｉｋ 忌ｚ一 ，ｚ ＝＝＝—＿＿一２ ｋｚ一 １ 二 ， ＢＤ垂直相交于点０，过点０引直线ＥＦ、ＧＨ分别交 ＡＢ、ＣＤ于Ｅ、Ｆ及交ＤＡ、ＢＣ于Ｇ、Ｈ．ＥＨ、ＧＦ分别交 ＢＤ于Ｐ、Ｑ，若记ＢＯ＝ｂ，ＯＤ＝ｄ，ＰＯ＝ ，ＯＱ＝Ｙ，则÷ ＋ 一 ｌ ｑ １÷ ． 这种方法，对其他的蝴蝶定理变形题也非常有效． 【命题３１（２００３，北京）ｌ＿２ 如图２，椭圆的长轴Ａ Ａ 与ｚ轴平行，短轴Ｂ Ｂ 在Ｙ轴上，中心为Ｍ（Ｏ，ｒ）（６＞ｒ ＞Ｏ），直线 —ｋ ．７２和Ｙ—ｋ２ｘ交椭圆分别于Ｃ（ ，Ｙ ）、 Ｄ（ｘ２，Ｙ２）和Ｇ（ｘ３，ｙ３）、Ｈ（ｘ４，Ｙ４）（其中Ｙ２＞Ｏ， ４＞０）． ＣＨ、ＤＧ分别交．７２轴于点Ｐ、Ｑ求证：Ｊ ＯＰ Ｉ—ｌ ＯＱｆ（不 考虑ＣＨ、ＧＤ垂直于 轴的情形）． 证明：如图２，知椭圆方程，： ＋ 一１． 现将直线对ＣＤ和ＧＨ视为退化的二次曲线ｇ： （ 一是１ｚ）（ 一是２ｚ）一０． 在二次曲线束方程ｈ： ＋ 日 Ｂ ／／ ： １＋ （ｙ一志 ）（ 一 ．＼ＰＩ、 ／，ｏ ＼ ／ 是 ｚ）一Ｏ（ 为参数）中，令 一０， Ｃ Ｇ 曰． 则另一对退化直线对ＣＨ和ＧＤ 在ｚ轴上的坐标 ，Ｘｑ满足方程： 图２ ＋ａｋ 是ｚ）ｚ ＋ 一１—０． 于是，由 十 一０，得ｌＯＰｌ—ｆＯＱ Ｊ． 显然，双曲线方程 ２一 一１也适用． 参考文献 Ｅ１３赵临龙．射影观点下的蝴蝶定理ＥＪ－）．湖南教院 学报，１９９８（２）． Ｅ２－１ｍ志江．浅析２００３年北京数学科高考试题ＥＪ］． 中学数学教学参考，２００３（９）． （此文为陕西普通本科高等学校教学改革研究项目 （０９ＢＹ７０）：安康学院重点项目（２００８ａｋｘｙ０２９）；安康学院 重点扶持学科建设项目（ＡＺＸＺ０１０７）部分成果） （责任编辑金铃） ３１ Ｅ－ｍａｉｌ．ｚ ｘｃｋｌｋ＠ｌ６３・ｃｏｍ