福州高级中学高三(数学理科)模拟试卷

高

注意事项：

数学(理科)模拟试卷

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1,x2,,xn的标准差

s1[(x1x)2(x2x)2…(xnx)2]，其中x为样本平均数. n

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A{x|ylg(4x),xZ}，则

A．iA B．iA C．iA D．iA 2．已知倾斜角为的直线l与直线2xy10垂直，则tan2的值为

A.

23244342 B. C. D. 5433x3．“a2”是 “函数f(x)ax2有零点”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方

形；③圆；④椭圆．其中正确的是

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

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5．若f(x)2cos(x)m,对任意实数t都有f(t实数m的值等于

)f(t),且f()1.则

486．已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则BA(BCCF)的值为

A.

A．1 B．3 C．－3或1 D．－1或3

3333 B. C. D.

24227．已知f(x)为定义在(,)上的可导函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，且

e为自然对数的底，则

A. f(1)ef(0),f(2012)eB. f(1)ef(0),f(2012)eC. f(1)ef(0),f(2012)eD. f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0) f(0) f(0) f(0)

2012201220128．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数

字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为

13112A. B. C. D. 62012015

x2y29．已知点P是双曲线221(a0,b0)右支上一点F1,F2分别是双曲线的左、 ab右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIF1F22成立，则双曲线的离心率为 D．2

A．5 B．4 C．3

5.10．设xR,记不超过x的最大整数为x，如22，令xxx2.53，，

515151则，，，三个数构成的数列（ ） 222A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列

C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

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第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。 11．计算

10x2dx的值等于 ★★★ ．

12．如右图所示的算法流程图中，输出S的值为 ★★★ ．

xy413．点P的坐标(x,y)满足yx，过点P的直线l与圆

x1C:x2y214相交于A、B 两点，则AB的最小值是 ★★★ ．

14．近年来，随着以煤炭为主的能 频率/组距160/3源消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加，我国许多大城市灰霾现象 120/3100/3频发，造成灰霾天气的“元凶”之一

80/3是空气中的pm2.5（直径小于等于 60/3（第14题图）

2.5微米的颗粒物）.右图是某市某 40/324小时平均浓度

月（按30天计）根据对“pm2.5” 20/3pm2.5(毫克/立方米)(毫克/立方米)

00.0650.0700.0750.0800.0850.0900.0950.1000.10524小时平均浓度值测试的结果画成

的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标．

15．歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如

1（m，m1(n1)n为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

1111111＝＋()()＋┅ m1234234(n1)222333n1m1＋(111)＋┅ 234(n1)(n1)(n1)写出你对此问题的研究结论： ★★★ ． （用数学符号表示）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）

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设函数f(x)cosxxx1(sincos) 4442（1）求函数yf(x)取最值时x的取值集合；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满(2ac)cosBbcosC求函数f(A)的取值范围．

17．（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,…,8，其中ξ5为标准A，ξ3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.

（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

该行业规定产品的等级系数ξ7的为一等品，等级系数5ξ7的为二等品，等级系数3ξ5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；

（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：

1,y2,4.3557，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的7频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，ADDCCB1,ABC60，四边形

ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1. （1）求证：BC平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为

(90)，试求cos的取值范围.

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19．（本小题满分13分） 已知函数f(x)2lnxx2.

(1) 求函数yf(x)在,2上的最大值.

2(2)如果函数g(x)f(x)ax的图像与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)，且

10x1x2.yg/(x)是yg(x)的导函数，若正常数p,q满足pq1,qp.

/求证：g(px1qx2)0.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限.

（1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；

2（2）若FA1AP,BF2FA，求21的值.

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14 分，如果多做，则按所做的前两题计分. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M2a，其中aR，若点P(1,2)在矩阵M的变换下得到点P(4,0)， 21（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为sin2，圆M的参数方程为42第 5 页 共 13 页

x2cosy22sin（其中为参数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2x3x42a

（Ⅰ）若a1，求不等式的解集；

（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围.

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高三数学(理科)模拟试卷参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）

1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

1111． 12．52 13．4 14．27 15．＝1 m1(n1)3n1m1三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）

16．（本小题满分13分） 解：(1) f(x)cos(sinx4xxcos) 44xx1cosxxx12-1=1(sinx+cosx) 2 +f(x)=cossin+cos2-=4442222222sinf(x)=

2xsin(+) „„„4分 224当

x+=k(kZ)时，f(x)取最值 242此时x取值的集合：xx2k（kZ） „„„6分 2（2）(2a-c)cosB=Bcosc (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA „„„8分

2conA=1 B=

2x2 f(A)= sin(+) 0224334

2A71 17．（本小题满分13分）

解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件 „„„3分 ∴样本中一等品的频率为

60.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为300.2 „„„4分

9二等品的频率为0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3； „„„5分

3015三等品的频率为0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．„„6分

30（2）∵X的可能取值为：1,2,4，

用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）

可得P(X1)0.5,P(X2)0.3,P(X4)0.2 „„„9分 ∴可得X的分布列：

X P(X) 1 0.5 2 0.3 4 0.2 „„„11分

其数学期望EX10.520.340.21.9(元) „„„13分

18．（本小题满分13分） 解：（I）证明：在梯形ABCD中， ∵ AB//CD,ADDCCB1， ∠ABC＝60，∴ AB2

∴ AC2AB2BC22ABBCcos60o3∴ AB2AC2BC2

∴ BC⊥AC

∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCDAC,BC平面ABCD ∴ BC⊥平面ACFE „„„„„„„6分

（II）由（I）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM(03)，则C(0,0,0),A(3,0,0)，B0,1,0,M,0,1

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∴ AB3,1,0,BM,1,1 设n1x,y,z为平面MAB的一个法向量，

n1AB03xy0由得 xyz0n1BM0 取x1，则n11,3,3，„„„„8分 ∵ n21,0,0是平面FCB的一个法向量

|n1n2|∴ cos|n1||n2|131321132„11分

4 ∵ 03 ∴ 当0时，cos有最小值127， 7 当3时，cos有最大值。 ∴ cos19．（本小题满分13分）

71,„„„„„„„13分 722(1x)(1x)2解：(1)由f(x)2lnxx得到：f(x)， x x[,2]，故f(x)0在x1有唯一的极值点，f()2ln212121， 4f(2)2ln24，f(x)极大值f(1)1，

且知f(2)f()f(1)，所以最大值为f(1)1． „„„„„4分

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12

(2)g(x)22xa，又f(x)ax0有两个不等的实根x1,x2， x22(lnx1lnx2)2lnx1x1ax10a(x1x2) „„„„6分 则，两式相减得到:2xx122lnx2x2ax20于是g(px1qx2)2(lnx1lnx2)22(px1qx2)[(x1x2)] px1qx2x1x22(lnx1lnx2)2(2p1)(x2x1) px1qx2x1x22p1,x2x10，(2p1)(x2x1)0„„„„„„„8分

要证：g(px1qx2)0，只需证：2(lnx1lnx2)20 px1qx2x1x2x2x1x1ln0 ① 只需证：px1qx2x2令x11tt,0t1，只需证：u(t)lnt0在0t1上恒成立， x2ptq2q2p(t1)(t2)11p 又∵u(t)t(ptq)2t(ptq)2qq2q21∵pq1,q，则1,21，于是由t1可知t10，t20 2ppp故知u(t)0u(t)在t(0,1)上为增函数，

x2x1xln10pxqx2x2则u(t)u(1)0，从而知1，即①成立，从而原不等式成立.„13分

20．（本小题满分14分） 解：（1）由已知F（p,0），设A（x1,y1），则 2第 10 页 共 13 页

圆心坐标为(2x1py1p2x1,)，圆心到y轴的距离为. „„„„„ 2分

442圆的半径为|FA|1pp2x1(x1)， „„„„„4分 2224∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。 „„„„„ 5分

1. 设P（0，y0），B（x2,y2），由FA1AP,BF2FA，得10,20.

(x1p,y1)1(x1,y0y1), „„„„„6分 2(ppx2,y2)2(x1,y1). „„„„„ 7分 22p1x1① 2∴x1ppx22(x1)② 22y22y1③ „„„„„10分

∵y22px2,y12px1 将③变形为y22y1，

∴x22x1. „„„„„11分 将x22x1代入②，整理得x1代入①得

2222222p22 „„„„„„12分

1211. „„„„„13分 2即211. „„„„14分

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21．（本小题满分14分） （1）选修4-2：矩阵与变换 解：（1）解：（Ⅰ）由2a142=0， ∴22a4a3. „„„„3分 21（Ⅱ）由（Ⅰ）知M23，则矩阵M的特征多项式为 21f()2231(2)(1)6234 „„„„5分

令f()0，得矩阵M的特征值为1与4. 当1时， (2)x3y0xy0

2x(1)y01∴矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为; „„„„6分

1当4时， (2)x3y02x3y0

2x(1)y0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为. „„„„7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系. „„„„1分

322sin 422sincos2,sincos1. „„„„2分 22 22所以，该直线的直角坐标方程为：xy10. „„„„3分 （Ⅱ）圆M的普通方程为：x(y2)4 „„„„4分 圆心M(0,2)到直线xy10的距离d021232. „„„„5分 2第 12 页 共 13 页

所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为（3）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）2|x3||x4|2，

32 „„„„7分 2.2 ① 若x4，则3x102，x4，舍去．

② 若3x4，则x22，3x4．

8③ 若x3，则103x2，x3． „„„„3分

3综上，不等式的解集为{x|83x4}． （Ⅱ）设f(x)2|x3||x4|，则

3x f(x)10,x4x2,3x4，f(x)1 103x,x3 2a1，a12．

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„„„„4分

„„„„6分

„„„„7分