2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量

_

72uuuruuur___________

【答案】 解析：

17BCAP(ACAB)(AQQP)(ACAB)AQ(ACAB)(ABAC)22A P B

Q C

2.已知OA1,OB3,OAOB0，点C在AOB内，AOC30o.

B C uuuruuuruuurm设OCmOAnOB(m,nR)，则等于

nO

A

【答案】3

uuuruuuruuur[解析]：法一：建立坐标系，设C(x,y)则由OCmOAnOB(m,nR)得

xmym(x,y)m(1,0)n(0,3)而AOC300故tan300

x3ny3nuuuruuuruuur法二：OCmOAnOB(m,nR)两边同乘OA或OB得

OCOAmOCOCOB3nOC3mm2两式相除得3 n133n23.在△ABC中，若AB•ACAB•CB4，则边AB的长等于22

解析：AB•ACAB•CB4AB(ACCB)8AB8

uuuruuuruuur4.已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若APABAC,则的取值范

2围是___________(,1)

A 23G B

解析：

P PG

C

APAGGP2AG'GP' 31(ABAC)t(mGBnGC)(其中0t1,mn1) 3111=(ABAC)t[m(ABCB)n(ACBC)] 33311212=(1mt)AB(1nt)AC，则t(,1) 33333uuur2uuur2uuur2uuur25.已知O为ABC所在平面内一点，满足OABCOBCA uuur2uuur2OCAB，则点O是ABC的心垂心

uuur2uuur2uuur2uuur2解析：OABCOBCA(OAOB)(OAOB)(BCCA)(BCCA)0 BA2OC0，可知OCAB，其余同理

6.设点O是△ABC的外心，AB＝c，AC＝b，b12c21则·的取值

-,2范围 14A O B 解析：

C

b12c21c22bb200b2

7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，

CA33，若ABAEACAF2，则EF与BC的夹角的余弦值等于_____

2 3解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为ABAEACAF2，所以

AB(ABBE)AC(ABBF)2，即ABABBEACABACBF2。因为AB1，

33136ACAB3311，BEBF，所以1BF(ACAB)12，即BFBC2。

23312设EF与BC的夹角为θ，则有|BF||BC|cosθ2，即3cosθ=2，所以cosθ

3228.已知向量,,满足||1,||||,()()0.若对每一确定的,||的最大值和最小值分别为m,n,则对任意,mn的最小值是

C D

urururrurururururrurruruur1 2解析：数形结合.A

B

AB,AC,BC,AD,

CD,BDCDBD，点D在以BC为直径的圆上运动，mn就是BC，而

1ACBC,AB12BC1BC（A,B,C共线时取等号）和9题相同.

29.已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)(b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b，m+n的最小值为_________． 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8

10.设e1,e2是夹角为600的两个单位向量，已知OMe1,ONe2，OPxOMyON，若则实数xy取值的集合为_____________{1} PMN是以M为直角顶点的直角三角形，解析：画图解即可

11.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上正半轴上滑动，则OBOC的最大值为________2

y D 解析：O A 32C B x (OAAB)(ODDC)sin21

12.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200。如图所示，点C在以若OCxOAyOB，其BO为圆心的圆弧AB上变动，的最大值是___2 解析：

C中x,yR，则xyOA13)则 22【研究】如果要得到x,y满足的准确条件，则建系，OA(1,0),OB(,OC(x1313211y,y)，则满足(xy)2(y)1xy2xy1，且xy,y0 222222【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中x、yR，则(x1)2y2的最大值为2 解析：建系，利用坐标法是可以得到x,y最准确的满足条件，如OA(1,0),OB(0,1)

OC(x,y)，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足x2y21(x0,y0)

13.在平行四边形ABCD中，已知AB2,AD1,DAB60，点M为AB的中点，点P在

1BC与CD上运动（包括端点），则AP•DM的取值范围是[,1]

2解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时，APABBP，则

11APDMABDMBPDM1BP[,1]；同理，当P在CD上时，

221111APDMDM[,]

2222uuuuruuur14.在周长为16的PMN中，MN6，则PMPN的取值范围是7，16 uuuuruuur解析：PMPNa2b2c2a2b236abcosab32ab，因ab10，故

2ab2uuuuruuurab2ab()25，PMPN32ab7，或者用消元的方法

2uuuuruuur2aba(10a)(a5)2525，当ab5时取等号，故PMPN

32ab7；同时ab610a6a8，当a8时ab16，故ab16，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur15.已知|OA|4,|OB|6,OCxOAyOB,且x2y1，AOB是钝角，若f(t)|OAtOB|的

uuur6111最小值为23，则|OC|的最小值是

37另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决

解析：OCxOAyOB'C,A,B'共线，用几

uuuruuurf(t)|OAtOB|的最小值为23根据几何意uuurOB的距离，易得AOB120，要使|OC|最

0A C O

B’ B

何图形解）义即为A到小，则

OCAB'，利用面积法可求得

16.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上

uuuruuuruuur1ACDEAP的任意一点，设向量，则的最小值为

21解析：坐标法解，AC(1,1),DE(,1),AP(cos,sin)

2uuuruuuruuur由ACDEAP得

2sin2cos1cos12cossin， 23sin12cossinf'()2sin2cos31sin1sin31，令f(),[0,]，

2cossin2cossin2cossin222sincos110，故最小值为，最小值为 f(0)f()(2cossin)22217.已知P为边长为1的等边ABC所在平面内一点，且满足CPCB2CA，则

PAPB=________3

P A 解析：如图

B

C CPCB2CABP2CA，PAPB=

18.已知向量M={aa=(1,2)+(3,4)R}，N={aa=(-2,2)+(4,5)R}，则MN=________(46,62)

1324'解析：15

2425'19.等腰直角三角形ABC中，A90，AB2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，

uuuuruuur1点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PMPN时，

2AM______3 MBB 解析：PMPN(PAAM)(PAAN)

20.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥则uuuruuuruuuruuurCACDCACEE D C A

AB，AB＝1,

2 的最大值是27解析：

21.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足

1OP(1)OA(1)OB(12)OC(R且0),则

3P的轨迹一定通过ABC的

______________重心

解析：设重心为G，OPOG(OAOB2OC)GP(CACB)332CD 3CG，故C,G,P三点共线

22.已知点O为ABC的外心，且AC4,AB2,则AO•BC6 解析：AOBCAO(ACAB)4RcosCAO2RcosBAO4R212R6 RR23.设D是ABC边BC延长线上一点，记ADAB(1)AC ，若关于x的方程

2sin2x(1)sinx10在[0,2)上恰有两解，则实数的取值范围是____

4或221

解析：令tsinx则2t2(1)t10在(1,1)上恰有一解，数形结合知

f(1)f(1)04或2，或者0221

又ADAB(1)ACCDCB0 所以4或221

uuuruuuruuurAB24.O是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:OPOAuuur2

ABSinABC,0,,则动点

uuur2ACSinACBuuurACP的轨迹一定通过ABC的______心内心

解析：设高为AD，则AP(ABABAC1显然成立

ACAD)uuuruuuruuuruuuruuuruuur25.已知O为坐标原点，OPx,y，OAa,0，OB0,a，OC3,4，记PA、PB、uuur

PC中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是_____726, 解析：不妨设PAPB，即yx，此时Mmax{PA,PC},当a取遍一切实数时，点A在

x轴上滑动，而到点C的距离等于到x轴距离的点的轨迹是以C为焦点，x轴为准线的

C A 抛物线，其方程为(x3)28(y2),它交直线yx于点

P(726,726)，显然此时PAPC，而A为PAx的垂足时M最小，即最小是

726

法2：对于某个固定的a,到M的最大值显然可以趋向，M最小值呢？实际上就是当P为ABC外心时，此时PAPBPCM的最小值，因为当P不是外心时，

a225a225PA,PB,PC至少有一个会变大，这样M就变大.解得外心坐标为P(,),要

2a142a14a225aa726 使得PAPBPC最小，则圆与坐标轴相切，此时

2a14uuruuuruuur26.已知ABC中，I为内心，AC2,BC3,AB4,且AIxAByAC，则xy的值为

_________.,

解析：延长AI交BC于点I',则AIAI'ABBCABAC

27.设G是ABC的重心，且(56sinA)GA(40sinB)GB(35sinC)GC0，则角B的大小为__________60°

解析：由重心性质知56sinA40sinB35sinC56a40b35c，下面用余弦定理即可求解

233223132328.平面内两个非零向量,，满足1，且与的夹角为1350，则的取值范围是_________(0,2]

13解析：数形结合。利用正弦定理得，，(0,)

4sin450sin329.在ABC中，AB1,AC2，O为ABC外接圆的圆心，则AOBC____

2A D

O

解析：B

30.△ABC内接于以O

uuuruuuruuurE

C AO(ACAB)2(AOADAOAE)2(AD

uuuruuuruuurr为圆心的圆，且3OA4OB5OC0．则C．135 r2222解析：3OA4OB5OC09OA16OB24OAOB25OC

31.在△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A 的任意一条直径，记T＝BP•CQ,则T的最大值为．22

C

P A

解析：

0B

设BC,AQ的夹角为，注意到由余弦定理知

Q

CAB60，故BP•CQ

uuuruuur32.如图，在ΔABC中，ADAB，BC3BD，

uuuruuuruuurAD1，则ACAD=____________3

33.已知点O为△ABC内一点，且＋2＋3＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1

法一：延长OB,OC至B’,C’，使得OB'2OB,OC'3OC，则O为AB'C'重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，

34.△ABC的三个顶点，AB2ABACABCBBCCA,则ABC为_________________三角形.直角三角形

解：注意到ABACABCBAB,故BCCA0

35.平面上的向量PA,PB满足PAPB4，且PAPB0,若向量PCPAPB ，则PC的最大值为___________

21164解析：两边平方后知PC(43PB)PC，即P,A重合时.

993136.已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y),满足

2222213230OPOM1,0OPON1.则OPOQ的最大值为

0x2y1解析：即已知求2x3y最大值问题，线性规划问题.

0y137、在△ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，AHBC于H，M为AH

uuuuruuuruuur的中点，若AMABBC，则.

解析：AHABBC，两边同数乘BC得3；两边同数乘AB得863 解方程组得,

38.如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，ABEF2，CACB3，

uuuruuuruuuruuuruuur若ABAEACAF7，则EFuuur1与BC的夹角的余弦值等于_．

121216233解析：39题类似，EFBC236，下面求 ((ABAFAEAC)7[AB(ABBF)(ABBE)AC]= =7[4EFBC2]，解方程得EFBC2

39.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若ABAEACAF2，

uuuruuur则EF与BC的夹角等于；

uuuruuuruuuruuur12解析：解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。

3uuuruuuruuuruuuruuuruuurEF与BC的夹角EF与BC的夹角∵BEBF，

∴ABAEACAFuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1(ACAB)BFACAB

而在等腰△ABC中，作底边的高CD，则在Rt△ACD

uuuruuur设EF与BC的夹角为uuuruuur11中由已知边长可得cosCAB2，

24。

uuur∴1|BC||BF|cos|AC||AB|cosCAB2， 从而cos1，又0，∴。

23uuur40.如图，已知Rt△BCD的一条直角边BC与等腰

uuuvuuuvuuuvAB2，CBD30，ADmABnAC，

oBRt△ABC的斜边BC重合，若

D则mn＝.-1

uuuvuuuvuuuv解析：ADmABnAC两边分别同乘AB,AC分别得到

AC41.在ABC中，若I是其内一点，满足aIAbIBcIC0，求证：I为内心 证明：aIAb(IAAB)c(IAAC)0(abc)IAbc(ABAC) cbabcABACABACIA，注意到,是单位向量，则I在角平分线上，同理可得I是bccbcb内心.

uuuruuuruuurruuuruuuruuur42.已知向量OA,OB,OC满足条件：OAOBOC0，且OAOBOC=2，点P是ABC内一动点，则ABAPBCBPCACP18.

43.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O

OCmOAnOB外的点D，若，则mn的取值范围是（-1,0）

解析：设ODOC(1)

OCmOAnOBODmOAnOB，由于A,B,D共线

44.如图，APmABnAC，点P在阴影区域内（不含边界），则 m,n满足的条件是___________mn1，m0,n0 C P B

A

解析：设AP与BC交与点P'，APAP'(1)

AP'1(mABnAC)，mn1

π中，DA，

645.在△ABC则B等于

是BC边上任意一点（D与B、Cuuur2uuur2uuuruuur不重合），且|AB||AD|BDDC，

5 12uuur2uuur2uuuruuur解析：|AB||AD|BDDC(ABAD)DBBDDC(ABAC)DC0

说明AD是BC边中垂线，得AB=AC

46.在RtABC中，C90，ACBC2,D是ABC内切圆圆心，设P是⊙D外的三角形ABC区域内的动点，若CPCACB，则点(,)所在区域的面积为

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