2003高考数学试题(江苏)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的. 1．如果函数yax2bxa的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为

bbbbOaOaOaOa(A) (B) (C)

D．－8 D．－

(D) （ ）

2．抛物线yax2的准线方程是y=2，则a的值为

A．

1 8B．－

1 8C．8

3．已知x(

A．

2,0),cosx7 244,则tan2x 5724B．－ C．

247（ ）

24 72x1,x0,4．设函数f(x)若f(x0)1,则x0的取值范围是 12x0.x,（ ）

A．（－1，1） C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） B．（－1，+∞）

D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA(ABAC),[0,),|AB||AC|则P的轨迹一定通过△ABC的 A．外心 B．内心 6．函数yln（ ）

C．重心

D．垂心

（ ）

x1,x(1,)的反函数为 x1

ex1,x(0,) A．yxe1ex1,x(,0) C．yxe1ex1,x(0,) B．yxe1ex1,x(,0) D．yxe1

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）

a3A．

3a3B．

4a3C．

6a3D．

1228．设a0,f(x)axbxc,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,4]，则P

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到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为

A．[0, C．[0,|（ ）

1] aB．[0,1] 2ab|] 2aD．[0,|b1|] 2a

9．已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为

（ ） A．1

B．

1的等差数列，则 |m－n|= 43 83 4C．

1 2D．

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标

为2，则此双曲线的方程是 3 （ ）

x2y21 A．34x2y21 B．43x2y21 C．52x2y21 D．2511．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角

为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ ）

A．(,1)

13B．(,)

1233C．(,)

2152D．(,)

225312．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π

B．4π

C． 33π

D．6π

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．(x219)展开式中x9的系数是 2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分

层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜

色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）

16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD. ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）

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18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sin(x)(0,0)上R上的偶函数，其图象关于点M(上是单调函数，求和ω的值.

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1

C1

与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离. B1 D A1 E G C

K B

F 20．（本小题满分12分） A 已知常数a0，向量c(0,a),i(1,0).经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以

3,0)对称，且在区间[0,]42i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.

若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）已知a0,n为正整数. （Ⅰ）设y(xa)n,证明yn(xa)n1；

（Ⅱ）设fn(x)xn(xa)n,对任意na,证明fn1(n1)(n1)fn(n). 22．（本小题满分14分）

设a0,如图，已知直线l:yax及曲线C：yx2，C上的点Q1的横坐标为a1

（0a1a）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn1，再从点Pn1作直线平行于y

轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列an. （Ⅰ）试求an1与an的关系，并求an的通项公式；

y n11 （Ⅱ）当a1,a1时，证明(akak1)ak2； 232k1c r2 r1 Q1 O Q3 Q2 l （Ⅲ）当a=1时，证明

1(aa)a. kk1k23k1na1a2a3x ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．21 14．6,30,10 15．120 16．①④

2三、解答题

17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （Ⅰ）P(A)0.90,P(B)P(C)0.95， P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05220.100.050.950.100.0520.012 解法二：三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.9520.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为

1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分 解：由

f(x)是偶函数,得f(x)f(x),

即sin(x)sin(x),所以cossinxcossinx对任意x都成立,且0,所以得cos0.▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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依题设0,所以解得2.33x)f(x),44333取x0,得f()sin()cos,4424333f()sin()cos,442433cos0,又0,得k,k1,2,3,,4422(2k1),k0,1,2,.322当k0时,,f(x)sin(x)在[0,]上是减函数;3322由f(x)的图象关于点M对称,得f(当k1时,2,f(x)sin(2x当k0时,)在[0,]上是减函数;2210,f(x)sin(x)在[0,]上不是单调函数; 3222所以,综合得或2.319．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中1EF2FGFDFD2,EF1,FD3.3126于是ED2,EG.33FCCD2,AB22,A1B23,EB3.sinEBGEG612.EB3332.3

A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VAAED1VDAA1E

EDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，

则SAEDhSA1ABED

又SA1AE1116 SA1ABA1AAB2,SAEDAEED.2422h22622626

.即A1到平面AED的距离为.33解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，

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则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a2a1,,).33322GEBDa20.解得a1.33

aa2CE(,,),BD(0,2a,1).333241BA1(2,2,2),BG(,,).333cosA1BGBA1BG14/37.3|BA1||BG|2312137A1B与平面ABD所成角是arccos.3（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA1ED(0,0,2)(1,1,0)0,ED平面AA1E,又ED平面AED.（Ⅰ）当a

2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2（Ⅱ）当0a211a11a时，方程①表示椭圆，焦点E(a2,)和F(a2,) 2222222（Ⅲ）当a2时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(aa21))和F(0,1(aa21))为合乎题意的两个定点. 22222n（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为(xa)nk(a)nkxk， Cnk0所以ykC(a)knk0nnkxk1k1nkk1xn(xa)n1. nCn1(a)k0

n

（Ⅱ）对函数

fn(x)xn(xa)n求导数:

fn(x)nxn1n(xa)n1,所以fn(n)n[nn1(na)n1].当xa0时,fn(x)0.当xa时,fn(x)xn(xa)n是关于x的增函数.因此,当na时,(n1)n(n1a)nnn(na)n∴

fn1(n1)(n1)[(n1)n(n1a)n](n1)(nn(na)n)

(n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).

即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

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（Ⅰ）解：∵Qn(an1,an),Pn1(∴an11221214an,an),Qn1(an,2an). aaa1212112211222an, ∴anan1(an2)()an2 aaaaa112221122223()12(an)()an2 3aaa2n2n1n1an1an111n1()122a12()21a12a(1)2， ∴ana(1)2.

aaaa （Ⅱ）证明：由a=1知an1∵当k∴

n2an, ∵a1, ∴a21211,a3. 4161时,ak2a3k1. 16(ak1ak1)ak21n11(akak1)(a1an1). 16k11632 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ana12,

kk1n1因此

(ak1nkak1)ak2(a12k1nk1a12)a122n1(a1ia1i1)a12i2

i12n13a1a151 (1a1)aa(1a1)a = .321a31aai1111213i121

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