河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中考试(理数)

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中考试

数学（理科）

说明： 1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)满分150分，考试时间120分钟．

2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中．

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．设集合M{mZ|3m2}，N{nN|1n3},MN（ ） A．01，，，，，，2 ，，2 D．101 B．101 C．012．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，

验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3．复数z13bi,z212i,若为（ ） A．0

B．z1是实数，则实数b的值 z23 C．6 D．－6 24．某程序框图如图所示，若输出的S57，则判断框内应 填入（ ）

A．k4? B．k5? C．k6? D．k7?

x“x1”5．已知命题p：对任意xR，总有20；命题q：是

“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A．pq B．pq C．pq D．pq 6．等差数列an的前n项和为Sn，若公差d2，

S321，则当Sn取最大值时，n的值为（ ）

A．10 B．9 C．6 D．5 7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

1

x2y308．设x,y 满足约束条件2x3y40，若目标函数zaxby（其中a0,b0）

y0的最大值为3，则ab的最大值为（ ） A．1 B．2

C．3

D．4

29．已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4x)，且当x2时其导函数

f(x)满足x2f(x)0,若2a4则（ ）

A．f(2a)f(3)f(log2a) C．f(log2a)f(3)f(2a)

B．f(3)f(log2a)f(2a) D．f(log2a)f(2a)f(3)

10．在三棱锥ABCD中，ABAC1,DBDC2,ADBC3,则三棱锥

ABCD的外接球的表面积为（ ）

A． B． 4 C． 7 D． 9

x2y21的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A0,23，当APF的周长11．已知椭圆95最大时，APF的面积为（ ） A．

1121113213 B． C． D． 4444212．已知函数fxx2xsinx1x2017在2016,2018上的最大值为M,

最小值m，则Mm（ ）

A．2017 B．2018 C．4034 D．4036

第II卷 （非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

6213．二项式(x)展开式中x项的系数为 ．

14．设x,yR，向量ax,1，b1,y，c2,4，且ac，b//c，则

ab= ．

15．若将函数

1x个单位长4度，平移后的图像关于点,0对称，则函数gxcosx在,上的最小值

226fxsin2x3cos2x0的图像向左平移

是 ．

2

22n,an1n16．数列an满足ann2，若an为等比数列，则首项a1的取值范22an1,an1n围是 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(12分)

22已知ABC中，角A,B,C对边分别是a,b,c，22sinAsinCabsinB，

且ABC的外接圆半径为2．

（1）求角C的大小； （2）求ABC面积的最大值．

18．(12分)

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品

通过检测的概率为

2．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． 3（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望．

19．(12分)

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC//平面DEFG，AD⊥平面DEFG， ED⊥DG，EF//DG．且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1． （1） 求证：BF//平面ACGD； （2） 求锐二面角D-CG-F的余弦值．

20．（12分）

y2x2设Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆221ab0上的两点，椭圆的离心率为

abxyxy31122，短轴长为2，已知向量m,，n,，且mn，O为坐标原2baba点．

（1）若直线AB过椭圆的焦点F0,c，（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

3

21．(12分)

已知函数fxlnx1k(x1)1． （1）求函数fx的单调区间；

（2）若fx0恒成立，试确定实数k的取值范围；

（3）证明：

ln2ln3ln4lnnnn1nN*,n1． 345n14

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x1tcos (t为参数)，在极坐标系(与

y2tsin直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为6sin． （1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为P1,2，求PAPB的最小值．

23．（10分）

选修4-5：不等式选讲 已知不等式2x3x42a．

（1）若a1，求不等式的解集；

（2）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．

4

数学（理科）参考答案

一、选择题：共60分． 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 9 C 10 C 11 D 12 D 二、填空题：共20分．

13．15 14．10 15．三、解答题：共70分．

17.解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得

22（

19 16．, 22a24R2－

c24R2）=（a－b）

b. ………………2分 2R又∵R=2，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab………………4分

a2b2c21.∴cosC==.

2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. ………………6分

（2）S=

311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A） 222=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A

3333sin2A－cos2A+=3sin（2A－30°）+. ………………10分

222233∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.………………12分

2

=

18.解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………1分

事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” …………2分

64213 ………………4分 1010315(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.

p(A)3021C4C6C4C13P(X0)3,P(X1)36,

C1030C10101203C4C61C4C1P(X2)3,P(X3)36. ………………8分

C102C106分布列：

X P 0 1 2 3 1 303 101 21 6 5

…………10分

EX

3119123 ………………12分 1026519.解：(1)设DG的中点为M，连接AM，FM.易证：四边形DEFM是平行四边形．

∴MF∥DE，且MF＝DE.

∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE，

∵AB＝DE.∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形， ∴BF∥AM. 又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD， 故BF∥平面ACGD. ………………5分

（2）由题意可得，AD，DE，DG两两垂直，故可建立 如图所示的空间直角坐标系．则

C(0,1,2G),(0,2F,0),，( 得FG(2,1,0),CG(0,1,2).

设平面BCGF的法向量为n1＝(x，y，z)，

n1FG2xy0则 ，令y＝2，则n1＝(1,2,1)． n1CGy2z0又平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．………………9分

∴cos〈n1，n2〉＝

n1·n21×16

＝2＝. |n1|·|n2|1＋22＋12×12＋02＋026

6

. ………………12分 6

由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D-CG-F的余弦值为

y2x21 …………2分 20. 解：（1）由题可得：a2,b1 ，所以，椭圆的方程为4y2x21得：(k24)x223kx10 设AB的方程为：ykx3，代入4x1x223k1,xx,0………………4分 12k24k24k2y1y23k3x1x21x1x2mn,mn0 即：x1x20 4444k2413k23k3 即0，解得：k2……………6分 4k244k244

6

（2）当直线AB的斜率不存在时，有S△AOB=1 …………………7分

y2x21得： 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm，代入4k24x22kmxm240

2kmm24,x1x22,0 则x1x22k4k42222由y1y24x1x20得k4x1x2kmxx1x2m0，整理得2mk4.

…………………10分

SAOB11mx1x2m22x1x222mk2m244x1x21

k24所以AOB的面积为定值 1 ………………12分

21. 解：(1)定义域为(1,)11kkxf'xk ，x1x1

若k0，f'x1k0，f(x)在(1,)上单调递增; x11kkx1k若k0，f'x,当f'x0时，1x1；当f'x0时，

x1kx11. k综上：若k0，f(x)在(1,)上单调递增；

若k0，f(x)在(1,111)上单调递增，在(1,)上单调递减……………4分 kk(2)由(1)知，k0时，f21k0与f(x)0矛盾； 若k0，fx0恒成立fxmaxf综上，k1 ………………8分

(3)由(2)知，当k=1时，有fx0在(1,)上恒成立，即lnx1x2，当且仅当

1110，f1lnk0，得k1 kkx2，等号成立.

令x1n2nN*,n1，则x1n22, 得lnn2n21，即

lnnn1 n12ln2ln3ln4lnn123n1nn1所以，得证…………12分

345n122224

7

22.解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，即x2＋(y－3)2＝9. 所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9. ………………5分

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0，所以可设t1，t2是上述方程的两根， 则t1t22cossin由题意得直线l过点(1,2)，结合t的几何意义得: t1t27PAPBt1t2t1t2324sin227, 取45时，等号成立.

所以

23.解：(1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<2.

若x≥4，则3x－10<2，得x<4，舍去； 若3若x≤3，则10－3x<2，得3

8





PAPB的最小值为27.………………10分

3x－10，x≥4，

(2)设f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，则f(x)＝x－2，310－3x，x≤3.11由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为2，＋∞. ………………10分 2

8