专题九 分类讨论型问题
类型一 由概念内涵分类
(2018·江苏盐城中考)如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝________．
【分析】分两种情形分别求解：①当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时．【自主解答】
此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等，直角三角形有一个角是直角等，解决此类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论之后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．
1．(2018·浙江温州中考)如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连结AP，BD，AP交⊙O于点E.(1)求证：∠BPD＝∠BAC.
(2)连结EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2
5时，在点P的整个运动过程中．
..
..
①若∠BDE＝45°，求PD的长；
②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
(3)连结OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S1
S2，请写出2的值．
S
类型二 由公式条件分类
(2018·江苏宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】根据题意可以设出直线l的函数表达式，然后根据题意即可求得k的值，从而可以解答本题．【自主解答】
..
..
2．(2018·浙江宁波中考)如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为__________．
类型三 由位置不确定分类
(2018·山东潍坊中考)如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.
(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连结M′B.①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．
【分析】(1)①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；②连结CM交直线EF于点N，连结DN，利用勾股定理解答即可；(2)分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
.
.
..
【自主解答】
3．(2018·贵州铜仁中考)在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4 cm，b与c的距离为1 cm，则a与c的距离为( )A．1 cm C．5 cm或3 cm
B．3 cmD．1 cm或3 cm4．(2018·山东威海中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H.
(1)求抛物线的函数表达式；(2)求点D的坐标；
(3)点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R.求点P的坐标；
(4)点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
..
.参考答案
类型一
【例1】 ①如图，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x.
∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴BQPQ10－xxBA＝AC，∴10＝6，∴x＝
154，∴AQ＝15
4
.②如图，当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y.
∵△BQP∽△BCA，∴PQAC＝BQBC，
∴y10－6＝y8，∴y＝307
...
.
.综上所述，满足条件的AQ的值为1530
4或7
.故答案为15304或7
.变式训练
1．解：(1)∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴∠BAC＋∠BPC＝180°.又∠BPD＋∠BPC＝180°，∴∠BPD＝∠BAC.
(2)①如图，连结DE，OC，EC.
∵∠APB＝∠BDE＝45°，∠ABP＝90°，∴BP＝AB＝2
5.
∵∠BPD＝∠BAC，∴tan∠BPD＝tan∠BAC，∴
BD
DP
＝2，∴BP＝5PD，∴PD＝2.
②当BD＝BE时，∠BED＝∠BDE，∴∠BPD＝∠BPE＝∠BAC，∴tan∠BPE＝2.∵AB＝2
5，∴BP＝
5，∴BD＝2.
当BE＝DE时，∠EBD＝∠EDB.∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB＝2
5.
如图，过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形．
..
.
.∵AB＝25，tan∠BAC＝2，
∴AG＝2，∴BD＝CG＝2
5－2.
当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC.∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，∴∠APC＝∠BAC.设PD＝x，则BD＝2x，∴AC2x＋2PC＝2，∴4－x＝2，∴x＝3
2，∴BD＝2x＝3.
综上所述，当BD＝2，3或2
5－2时，△BDE为等腰三角形．
(3)如图，过点O作OH⊥DC于点H.
∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD.设BD＝PD＝2a，PC＝2b，
则OH＝a，CH＝a＋2b，AC＝4a＋2b.∵OC∥BE且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°，∴∠PAC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，∴∠OCH＝∠PAC，∴△ACP∽△CHO，∴OHCH＝PC
AC，即OH·AC＝CH·PC，∴a(4a＋2b)＝2b(a＋2b)，∴a＝b，即CP＝2a，CH＝3a，则OC＝10a.
∵△CPF∽△COH，
..
.
.∴
CFCH＝CPCF2aOC，即3a＝10a
，则CF＝
3105
a，OF＝OC－CF＝2105
a.
∵BE∥OC且BO＝PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF＝PF，∴S1
OF2
S2＝CF＝3.类型二
【例2】 设过点(1，2)的直线l的函数表达式为y＝kx＋b.由2＝k＋b得b＝2－k，∴y＝kx＋2－k.当x＝0时，y＝2－k，当y＝0时，x＝k－2
k
，|2－k|·|k－2令
k|
2＝4，
解得k1＝－2，k2＝6－42，k3＝6＋42，
故满足条件的直线l的条数是3条．故选C.变式训练2．3或43类型三
【例3】 (1)①在▱ABCD中，AB＝6，直线EF垂直平分CD，∴DE＝FH＝3.
又BF∶FA＝1∶5，∴AH＝2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴HMFH＝AHDH
，即HM23＝4
，∴HM＝1.5.
根据平移的性质得MM′＝CD＝6，如图，连结BM，
四边形BHMM′的面积＝12×6×1.5＋1
2×4×1.5＝7.5.
②如图，连结CM交直线EF于点N，连结DN.
..
.
.∵直线EF垂直平分CD，∴CN＝DN，∵MH＝1.5，∴DM＝2.5.在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2，∴MC2＝62＋(2.5)2，即MC＝6.5.∵MN＋DN＝MN＋CN＝MC，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴QFBF1
QF＋4＝CE＝3，∴QF＝2，∴PK＝PK′＝6.
如图，过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′.
当点P在线段CE上时，
在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2，∴PE′＝25.
∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q，∴
PE′EK′F′＝′K′QF′，即252
＝4QF′，解得QF′＝
4555，∴PE＝PE′－EE′＝25－
45＝655，∴CP＝
15－655
.
同理可得，如图，当点P在线段DE上时，CP＝
15＋6
55
...
.
.综上所述，CP的长为15－6515＋655或5.
变式训练3．C
4．解：(1)∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，∴设抛物线表达式为y＝a(x＋4)(x－2)．把C(0，4)代入得4＝a(0＋4)(0－2)，∴a＝－1
2
，
∴抛物线表达式为y＝－11
2(x＋4)(x－2)＝－2x2－x＋4.
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－
b
2a＝－1.
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，∴点D在对称轴上．设点D坐标为(－1，m)
如图，过点C作CG⊥l于G，连结DC，DB，∴DC＝DB.
在Rt△DCG和Rt△DBH中，
∵DC2＝12＋(4－m)2，DB2＝m2＋(2＋1)2，∴12＋(4－m)2＝m2＋(2＋1)2，解得m＝1，∴点D坐标为(－1，1)．
(3)∵点B坐标为(2，0)，C点坐标为(0，4)，∴BC＝
22＋42＝2
5.
∵EF为BC的中垂线，∴BE＝
5.
在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF＝BEBF＝OBBC
，∴
52BF＝
225，∴BF＝5，EF＝
BF－BE2＝2
5，OF＝3.
设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切，
..
.
.①如图，当圆心P1在直线BC左侧时，连结P1Q1，P1R1，则P1Q1＝P1R1＝r1，
∴∠P1Q1E＝∠P1R1E＝∠R1EQ1＝90°，∴四边形P1Q1ER1是正方形，∴ER1＝P1Q1＝r1.
和Rt△FRBEP1R1
在Rt△BEF1P1中，tan∠1＝EF＝FR1，∴
5r1525＝25－r1
，∴r2
1＝
3.
BEP1R1
∵sin∠1＝BF＝FP1，∴FP101
1＝3，OP1＝3，∴点P1
1坐标为(3
，0)．
②同理，如图，当圆心P2在直线BC右侧时，连结P2Q2，P2R2，
可求r2＝25，OP2＝7，
∴P2坐标为(7，0)，
∴点P坐标为(1
3，0)或(7，0)．
(4)存在．N点坐标为(－1，
8318)，(－1，474718)，(－1，－18
)．..
.
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