固体力学习题一答案

第一章

习题1 证明e恒等式eijkeistjsktksjt [证明]

iiisitjijsjtkiksktiijsktksjtjiisktksitkiisjtjsit3jskt3ksjtjsktksjtksjtjsktjsktksjteijkeist

习题2 证明若aijaji;bijbji，则aijbij0 [证明]

aijaji;bijbjiaijbijajibji，aijbijajibjiaijbijapqbpq0 又因为所有的指标都是哑指标，apqbpqaijbij，所以2aijbij0，即aijbij0

习题3 已知某一点的应力分量xx，yy，zz，xy不为零，而xzyz0，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，()jiij，可求得该面上的应力为

()1j1jxxcosxysin ()2j2jyxcosyysin (v)3j3j0

由斜面正应力表达式nijij，可求得正应力为

nxxcos22xycossinyysin2

剪应力为

σ(n)σnσ(n)22n1(yyxx)sin2xycos2 2

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z)0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷px,y,z。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为

lcosn,x2fz2fx2fyfymcosn,y

222fzfxfyfzncosn,z2fz2fx2fyfx带入应力边界条件，Tiijnj,i,j1,2,3，得

xyfzxz0fxxxpfyyypfzyz0 fxyxfyyyfzzzp0fxxzfy

习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx，yy，zz，xy，xz，yz，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：

r θ z x cosθ -sinθ 0 y sinθ cosθ 0 z 0 0 1 由应力分量转换公式m'n'ijm'ijn'，求得

rrxxcos2yysin22xysincos

xxsin2yycos22xysincos

zzzz

rxxsincosyysincosxy(cos2sin2)r

zyxcoszxsinz

zryzsinzxcos

利用三角公式可将上面的式子改写为

rrxxyy2xxyy2xxyy2xxyycos2xysin2 cos2xysin2

zz2zz

rxxyy2sin2xycos2

zyxcoszxsinz

zryzsinzxcos

习题6 一点的应力状态由应力张量ij求常数a，b，c，以使八面体面n13aabcbc给定，式中，a，b，c为常数，是某应力值，(e1e2e3)上的应力张量为零

[解] 由斜面应力公式的分量表达式，()jiij，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：

131 2(ab)0,13(ac)0,13(bc)0

解得abc

习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1，2，3必为实根 [证明]

（1）设任意两个不同的主应力为k、l，对应的主方向为nk、nl。根据主应力定义有：

σ(k)nk•σknk， σ(l)nl•σknl

将以上两式分别点乘nk和nl再相减，得

nk•σ•nlnl•σ•nkknk•nllnl•nk

σ是对称应力张量，上式可改写为

0(kl)nk•nl

所以应力的三个主方向互相垂直

（2）设任意两个不同的主应力为k、l，对应的主方向为nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2) nk•nl0,l1l2m1m2n1n20

若1为复数，则2为其共轭复数，从而方向余弦nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2)互为共轭 l1l2m1m2n1n20 与主方向相互垂直矛盾 所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量mΙ在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为m

[证明] 球形应力张量mΙme1e1me2e2me3e3，设任意斜面的方向余弦为nl,m,n 由斜面应力公式 σ(n)σ•n，得σ(n)lme1mme2nme3 由斜面正应力公式 σnσ(n)•n，得σn(l2m2n2)mm 由斜面剪应力公式，得σ(n)σnσ(n)

习题9 求应力偏量张量的不变量

1[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量mΙ和应力偏量张量S，(m(112233))

32222n(l2m2n2)mm0

应力偏量张量S(Sij)(ijijm)，其主应力方程为n•SSnn，即ni(SijSnij)0(j1,2,3)

S11SnS12S22SnS32S13S23S33Sn0

上述方程存在非零解ni的必要条件是系数行列式为零，即S21S3132SnSnJ30 J1J2得到关于Sn的三次代数方程，Sn，J2和J3分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 其中J1设S1，S2和S3为应力偏量张量的三个主值Siim，则

S11S22S331122333m0 J1J2S22S23S32S33S11S13S31S33S11S12S21S22222S22S33S33S11S11S22S23S31S12S1S2S2S3S3S1

S11S12S13S21S22S23S1S2S3 J3S31S32S33

习题10 设Φrs为二阶对称张量，证明由ijeipqejmnqn,pm导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] ij,jeipqejmnqn,pmj 又ejm,j关于m，j反对称，qn,pmj关于m，j对称

ij,jeipqejmnqn,pmj0，即ijeipqejmnqn,pm满足无体力的平衡方程，ij,j0

习题11 已知直角坐标系中各点的应力张量ij3x1x225x2025x202x302x3，试求体积力分量

0[解] 根据平衡微分方程ij,jFi0,i,j1,2,3，得

xxxyxzFx0xyzyxyyyzFy0 xyzzxzyzzFz0xyz得体积力分量为

Fx13x2,Fy2,Fz0

习题12 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为1液体的压力，已求得应力xxaxby解为yycxdyy，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a,b,c和d

xydxay[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为ncos,sin，受外力Px0,Pyy的作用

12根据应力边界条件，Piijnj,i,j1,2,3，在xytg处

0axbycosdxaysin1 ydxaycoscxdyysin2水坝右侧表面法线的方向余弦为n1,0，受外力Px1y,Py0的作用 根据应力边界条件，Piijnj,i,j1,2,3，在y处

1yaxby0dxay

由上述两个方程组，得a0,b1,cctg21ctg2,d1tg2

习题13 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。

[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

水坝左侧表面法线的方向余弦为ncos,sin，受外力Pxycos,Pyysina的作用 根据应力边界条件，Piijnj,12i,j1,2,3，在xytg处

xcosxysinycos

xycosysinysin水坝右侧表面法线的方向余弦为ncos,sin，受外力PxPy0的作用 根据应力边界条件，Piijnj,i,j1,2,3，在xyth处

xcosxysin0

xycosysin0