数学课堂教学的问题设计

数学课堂教学的问题设计

上海市静安教育学院 任升录

作者简介：

任升录，男，1967年生，中共党员，数学高级教师，静安区教育学院数学教研员。1988年大学毕业，1994年获华东师大数学教育和教学评价专业硕士学位。

自1998年起先后开设过校、区、市各级公开课与教学研究课，积极参加上海二期课改教学试验，参加《<上海市中小学数学课程标准>解读》课题组工作。

2003年获上海市说课比赛一等奖。作为上海市高中青年教师数学教学研究组成员，多次参加全市各区的课堂教学评议活动。

自1993年起参加过国家级课题2项，市级课题3项，区级课题1项，除一项正在进行外均获得相应级别三等奖以上奖项。在《数学教育学报》、《数学教学》、《中学数学教学》、《试题与研究》等刊物公开发表 文章近二十篇，并有多篇被人大复印期刊《中学数学教与学》转载。

数学课堂教学需要问题。切入点恰当、角度新颖的问题有利于突出重点、突破难点，能够揭示学生在认知活动中盾，激活学生的思维状态，培养学生的问题意识，引导学生产生学习探究的欲望，提高数学课堂教学的效益。

数学课堂的问题需要设计。问题要围绕教学目标展开。教师提出的问题应以学生为出发点，符合他们的心理年龄们能够理解问题的指向，有积极回答的愿望。问题的难易要考虑到不同层次水平学生的实际需要，触及他们的最近发展不同类型的问题要分配得当。

一、由知识之间的比较进行问题设计

学生的学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程，新知识的学习是在原有基础上进行的老枝发新芽，学生知识的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知识体系之中。设计恰当的问题有利于调动学生运用知识自己进行新内容的学习，引导学生探究求知。

在学习两角和与差的正切公式时，学生已经掌握了两角和与差的正、余弦公式，教师通过问题“我们已经知

sin()sincoscossincos()coscossinsin是把两角和与差的正弦、余弦用、的正弦、

来表示，请同学们思考怎样用tan、tan来表示tan()呢？”引导学生自己推导两角和与差的正切公式。

《上海市中小学数学课程标准》（试行）要求我们：数学课程应关注学生的生活、经验和已有的知识体验，要从的经验出发，遵循学生学习数学的心理规律，强化运用数学知识分析问题和解决问题的过程，每一个学生都从他们的数学世界出发，与课程内容发生相互作用，构建自己的数学知识。

在学习新知识时，有时会与相近的知识混淆，设计合理的问题可以给学生正确理解内容提供帮助。指数函数与幂都是指数式，它们有联系也有区别，在进行指数函数的图象与性质教学时，通过观察在同一坐标系内y=2x, y=3x ，y

的图象的共同点，得出了yax(a1)的性质，紧接着给出问题：y=2x, y=3x ，y=10x这三个函数，当自变量x取相同

时，你能得到什么结论？这一开放性的问题打开了学生的思路，学生通过对问题的讨论与回答，把幂函数yx的性质

>0时在（0，+）上递增，当<0时在（0，+）上递减” 理解得更为清楚，也不需要再专门讲指数函数与幂函数别。

又如“相等的向量”、“平行的向量”、“负向量”是向量概念学习中容易混淆的几个概念，仅仅从概念本身讲解概学生的印象不深，而且在这里过多纠缠它们的联系与区别反而容易使学生糊涂。介绍概念之后，设计包含有关概念的问让学生在解答问题的过程中体会概念的区别与联系，教师在学生解答问题的过程中适时地进

E D 行点拨，将会收到事半功倍的效果。问题：已知正六边形ABCDEF中，以六个顶点为向量

的起点和终点的向量中，写出

（1）与向量AB相等的向量； （2）与向量AB平行的向量； （3）向量AB的负向量。

F A

B C

二、由特殊例子到一般情形进行问题设计

从特殊的例子开始，由具体到抽象逐步深入，让学生在解答的过程中发现共同的规律，使学生的思维始终处于积动的状态，使学生的认识由感性上升到理性。

数学概念是高度抽象的，从特殊例子抽象到一般概念，可以降低学生理解的难度。例如数列极限的概念是教学的

难点，先让同学观察几个具体数列的变化趋势，再抽象到一般数列的情形，使他们对数列极限概念有一个清晰的认识

问题：请同学们观察下列数列{an}，当数列的项数n无限增大时，an的变化趋势如何？

11111111（1）1，,,,,n1, （2）1，,,,,,

248234n21111111（3）1，,,,,(1)n, （4）1，,2,,3,,4,

234n2341111，，1， （5）1，,0,,0,,0, （6）3，2，1，0，1，234在教学中（1）、（2）同学能够发现当项数n无限增大时，an无限地趋近于0；对于（6）同学也能够发现当数列的

n无限增大时，an是同一个数1；对其它3个数列的变化趋势发生了争议。借助数轴，教师分析了（1）、（2）两个无穷

的共同特征：当n无限增大时an与0的距离具有越来越小的变化趋势，因而an无限地趋近于0 。数列（3）虽然时而

时而为负，但它是渐趋稳定的变化状态，即当n无限增大时数列{（1）n1/n }无限地趋近于0。至此，同学们对于（5

搞清了变化趋势。对于（4）教学中暂且不去讨论，而是进一步转向概括五个数列的共同特征，请同学们一起参与讨论

至达到对数列的极限概念有了较为明确的认识，再回过头看（4），这个数列的极限不存在，使学生对极限概念的理解确。

三、根据学生练习中出现的错误进行问题设计

学生解决问题发生错误，原因是复杂的，戴再平先生在《数学习题理论》（上海教育出版社1996年第二版）一书

数学解题错误进行了分析，认为有知识性、逻辑性、策略性、心理性等方面的错误。对待学生已经发生的错误，仅给

确解答是不够的，还应帮他分析原因，如果是比较普遍性的错误，据此设计出相关的问题，让学生解决了新问题之后回头再看原来的错误，学生往往有恍然大悟之感，收到较好的效果。

例如，关于向量的数量积，笔者在教学中曾经布置过这么个练习题：

已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b之间的夹角。 部分同学的解答为：

由(a+3b)(7a-5b)，（a4b）（7a2b） 得（a+3b）（7a5b）=0，（a4b）（7a2b）=0. 即7a16ab15b0 7a30ab8b0 －，得46ab=23b2.

*即2a=b 所以a与b同向。因此，a与b之间夹角为0。

222以上解答在*号之前都是正确的，但得出*的结论是把向量运算与实数运算混淆了，为了使学生能真正明白自己的错我在课堂订正作业时，设计了这样的问题：

下列命题是否正确，并说明理由. (1) ab=0a=0或b=0; (2) a、b是非零向量，2abb=02a=b。 学生解决该问题并不存在困难，但解决了这个问题后，自己错在哪里教师已不必多说。经过学生自己的体会，纠

2

解上的错误，比单纯由教师就事论事直接订正讲解效果要好，如何实现新课程强调的让学生体验、探索，如何关注学

学习过程，是实实在在地需要认真研究的，只有教师认识到这样做的价值，才可能在教学中自觉地放手让学生自己去

感悟。

四、根据学生提出的问题进行问题再设计

在课堂教学中应允许学生当堂质疑，对学生所提问题教师要给予足够的重视。无论多么有经验的教师，预设的

都不可能考虑到课堂中发生的所有情形，当学生提出的问题教师还没有注意到时，实际上起到了对教师备课的补充作

这时可以在学生所提问题的基础上进一步设计出提问，请全班学生思考，由于问题是从学生中来，更能引起学生的兴提出问题的同学也会受到鼓舞。

例如在棱锥内容的一节课上，一位同学问：侧棱长与底面边长都相等的三棱锥是正三棱锥，侧棱长与底面边长

等的四棱锥是否是正四棱锥呢？教师思考了片刻，给予了肯定的回答，但要该同学自己给出证明。课后我重新考虑该问认为有必要让同学们搞清楚这类问题，编拟了以下问题在下一次课堂上呈现给学生：

(1) 求证侧棱长与底面边长都相等的四棱锥是正四棱锥；

(2) 正三棱锥、正四棱锥的侧棱与底面边长可以相等，正五棱锥、正六棱锥的侧棱与底面边长也能相等吗？

学生的讨论很热烈，很快就有同学得出正六棱锥的侧棱和底面边长是不可能相等的，在学生经过充分讨论之后，我作

要小结：如果正六棱锥的侧棱长与底面边长相等，则侧棱与它在底面上的射影相等，这样，侧棱、侧棱在底面的射影不能构成直角三角形。至此，学生对正棱锥的认识更为深入。

课堂教学设计是教学的一种艺术，课堂问题的设计又是数学课堂教学设计的关键点。教学实践中要积累经验，对

的水平现状要心中有数，对以前学生已经出现的问题要进行研究，认真研究怎样设计问题，如何选择最佳时机以什么提出问题，频繁的提问不等于就是调动学生，关键要看学生思维参与程度。

另外，我们还应看到，精心设计的问题还要用灵活的即兴提问作补充，即兴提出有针对性的问题，有时能收到意

到的好效果，有教育价值的即兴提问是在充分把握当时的教学气氛的基础上的灵活的教学机智的表现，需要有丰富的

经验积累和理论积累作支撑。课堂的主人是学生，培养学生的学习兴趣则离不开教师，创设良好的问题情景，营造适

学习气氛，激发学生内在的学习动机，培养学生的创新精神和实践能力，做学生发展的促进者，是我们教师义不容辞任。