(完整word版).中考数学圆压轴题

1推理运算如图，AB为O直径，CD为弦，且CDAB,垂足为H． (1）OCD的平分线CE交O于E，连结OE．求证：E为ADB的中点； （2）如果O的半径为1，CD3,①求O到弦AC的距离； ②填空:此时圆周上存在 个点到直线AC的距离为

A

O

C

B

H

1． 2E D

2 如图6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点，

CB的延长线交⊙O于点E.

(1) 求证AE=CE;

(2) EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径;

(3）若CFn （n>0），求sin∠CAB。

CD

3 已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点, D E CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE,DE=15。

（1） 求证：AMMBEMMC； (2) 求EM的长；

(3）求sin∠EOB的值。

A M O C B

4 如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点 （与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线 m相交于点D．

（1）求证：△APC∽△COD．

（2）设AP＝x,OD＝y，试用含x的代数式表示y． （3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形． C

D B

5 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小圆相交于点A、 与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB． A （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由； (2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB8cm，BC10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π)

O 6 在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB于点E．

(1)设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线;

EF（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．

AC1 / 9

(完整word版).中考数学圆压轴题

7 如图,点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A,⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米）与时间t(秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0）．

(1)试写出点A,B之间的距离d（厘米） 与时间t(秒)之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切?

N M A B

K A

M

N D T (第27题图)

C

8 如图，在△ABC中,∠BAC＝90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心， AM为半径作⊙A交BM于N,AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K 两点，作MT⊥BC于T．

（1)求证：AK＝MT； P (2)求证:AD⊥BC;

(3)当AK＝BD时，求证：

BNACBPBMB

．

C F A

O E D A

F E B G

（第10题图）

D B

9 如图，AB为O的直径,CDAB于点E，交O于点D，OFAC于点F． （1）请写出三条与BC有关的正确结论；

（2）当D30,BC1时,求圆中阴影部分的面积．

10 如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线

于点G，连接CO并延长交AD于点F,且CFAD．

C （1）试问：CG是O的切线吗？说明理由；

(2)请证明：E是OB的中点; （3）若AB8，求CD的长．

O

11 如图11，⊙P与⊙O相交于A、B两点,⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优 弧

上任意一点（不与点A、B重合），连结AB、AC、BC、OC。

（1）指出图中与∠ACO相等的一个角;

(2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由； （3)当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由.

12 如图,⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点

AE,连结AD、BD．

（1)求证：∠ADB=∠E；（3分）

(2)当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由．(3分）

O(3)当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分） BE2 / 9

CD（第12题图）

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1 （1）OCOE，EOCE ··············· （1分） 又OCEDCE，EDCE．

OE∥CD． ·························· （2分) 又CDAB,AOEBOE90．

E为ADB的中点． ······················· （3分）

（2）①CDAB,AB为O的直径，CD3，

13． ······················· (4分） CHCD223CH32又OC1，sinCOB． OC12COB60， ························· （5分） BAC30．

11OA． ················ (6分） 22②3 ······························· （7分） 作OPAC于P,则OP2 证明:(1）连接DE,∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，

∴AE是⊙O直径． ················ （1分） ∴∠ADE=90°,∴DE⊥AC． ············· (2分) 又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．

∴AE=CE． ···················· （3分） （2）在△ADE和△EFA中,

∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，

∴△ADE∽△EFA． ················ （4分)

AEAD， AFAEAE2∴． 6AE∴

················ （5分）

∴AE=23cm． ························· （6分） (3) ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线,∴∠ADE=∠AEF=90°，

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∴Rt△ADE∽Rt△EDF． ∴∵

ADDE． ············ （7分） EDDFCFn，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n)CD， ∴DE=1nCD． ··· （8分） CD在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（1nCD） 2=（n+2）CD2．

∴CE=n2CD． ························ (9分） ∵∠CAB=∠DEC,∴sin∠CAB=sin∠DEC =

CD1n2==． （10 CEn2n2E 3 解:⑴ 连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM。 ……………1分 又∠AMC=∠EMB， ∴△AMC∽△EMB． ∴

D EMMB，即AMMBEMMC．………3分 A AMMCO F M B

（2） ∵DC为⊙O的直径，

C ∴∠DEC=90°，EC=DC2DE282(15)27. ………………………4分 ∵OA=OB=4，M为OB的中点,∴AM=6，BM=2． …………………………………5分 设EM=x，则CM=7－x．代入(1）,得 62x(7x).

解得x1=3，x2=4．但EM＞MC,∴EM=4。 …………………………………………7分 （3) 由(2）知,OE=EM=4．作EF⊥OB于F,则OF=MF=

14OB=1． ………………8分

在Rt△EOF中，EF=OE2OF2421215, …………………………9分 ∴sin∠EOB=

EF15. ……………………………………………………………10分 OE44 （1）∵PC是⊙O的直径，CD是⊙O的切线

∠PAC＝∠OCD＝90°，显然△DOA≌△DOC ················ 1分 ∴∠DOA＝∠DOC ··························· 2分 ∴∠APC＝∠COD ··························· 3分 △APC∽△COD ·························· 4分

APOC(2）由△APC∽△COD，得 ················· 6分 PCOD2x1，y ·························· 7分

x2y（3）若△ACD是一个等边三角形,则ADC60，ODC30 ······ 8分

于是OD2OC,可得y2,x1

故,当x1时，△ACD是一个等边三角形 ··············· 10分

5 解：（1）BC所在直线与小圆相切， 理由如下:过圆心O作OEBC,垂足为E，

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AC是小圆的切线，AB经过圆心O，

OAAC,又CO平分ACB，OEBC． OEOA．

BC所在直线是小圆的切线． （2）ACBDBC 理由如下：连接OD．

AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， CECA．

在Rt△OAD与Rt△OEB中，

C D E A O B

OAOE，ODOB，OADOEB90， Rt△OAD≌Rt△OEB（HL) EBAD． BCCEEB,BCACAD． （3）BAC90，AB8，BC10，AC6．

BCACAD，ADBCAC4． 圆环的面积SπOD2πOA2π(OD2OA2) 又OD2OA2AD2， S42π16πcm2．

说明：若第（1）、(2）题中结论已证出,但在证明前未作判断的不扣分．

6 （1） 证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD， ·································· 1分 ∵C90,∴DBCBDC90．

又∵BD为∠ABC的平分线，∴ABDDBC． ∵OBOD，∴ABDODB．

∴ODBBDC90，即∴ODC90 ··············· 4分 又∵OD是⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线． ············· 5分 （2） 解:设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中, AB2BC2CA292122225， ∴AB15 ················· 7分 ∵AA，ADOC90，∴△ADO∽△ACB．

AOOD15rr． ．∴ABBC1594545∴r．∴BE ··········· 10分

84∴

又∵BE是⊙O的直径．∴BFE90．∴△BEF∽△BAC

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45∴EFACBEBA43154．

7 解:（1）当0≤t≤5。5时，函数表达式为d＝11-2t； …………………………1分 当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． ……………………………………2分 (2）两圆相切可分为如下四种情况:

①当两圆第一次外切，由题意,可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3； …………………4分 ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1,t＝

113； ……………6分 ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ………………8分 ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13． 所以，点A出发后3秒、

113秒、11秒、13秒两圆相切． ……………………10分 8 证明：（1)∵BM平分∠ABC，∠BAC＝90°，MT⊥BC，

∴AM＝MT．又∵AM＝AK,∴AK＝MT． (2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM． ∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM

又∵∠ANM＝∠BND，∴∠AMN＝∠BND． ∵∠BAC＝90°，∴∠ABM＋∠AMB＝90° ∴∠CBM＋∠BND＝90°,∴∠BDN＝90°． ∴AD⊥BC

(3）∵BNM和BPK为⊙A的割线，∴BN·BM＝BP·BK，∴BNBKBPBM

∵AK＝BD，AK＝MT，∴BD＝MT

∵AD⊥BC,MT⊥BC,∴∠ADB＝∠MTC＝90°，∴∠C＋∠CMT＝90° ∵∠BAC＝90°，∴∠C＋∠ABC＝90°,∴∠ABC＝∠CMT 在△ABD和△CMT中，

ABDCMTBDMT

ADBCTM∴△ABD≌△CMT，∴AB＝MC

∵AK＝AM，∴AB＋AK＝MC＋AM，即BK＝AC ∴BNBPACBM

9 解:（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：

①BCBD;②OF∥BC；③BCDA；④△BCE∽△OAF；⑤BC2BEAB⑥BC2CE2BE2;⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形． ·· 3分 (2）连结OC，则OCOAOB．

D30，AD30，AOC120． · 4分 C F AB为O的直径,ACB90．

A

O E B

在Rt△ABC中，BC1，AB2，AC3． · 5分

D 6 / 9

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OFAC,AFCF．

OAOB，OF是△ABC的中位线．

11OFBC．

22S△AOC1113． ················ 6分 ACOF322241S扇形AOCOA2． ······················· 7分

33S阴影S扇形AOCS△AOC

3． ·················· 8分 3410 (1）解：CG是O的切线 ···················· 1分 理由:CG∥AD

FCGCFD180 CFAD

CFD90 FCG90

即OCCG．

CG是O的切线． ························· 2分 （2）第一种方法: A 证明：连接AC，如图（第19题图1） CFAD,AECD

F 且CF，AE过圆心O O ACAD，ACCD

ACADCD

△ACD是等边三角形． ··········· 3分

C E B

D D60

G

（第19题图1）

FCD30 ···························· 4分 在Rt△COE中,

1OEOC

21OEOB

25分 点E为OB的中点 ·························

A 第二种方法:

证明：连接BD，如图（第19题图2） AB为O的直径 F O 7 / 9

C E B G D (完整word版).中考数学圆压轴题

ADB90 又AFO90

ADBAFO CF∥BD

△BDE∽△OCE ·························· 3分 BEDE OECEAECD 且AE过圆心O

CEDE ····························· 4分 BEOE

5分 点E为OB的中点． ························

（3)解：AB8

1OCAB4

2又BEOE

OE2 ······························ 6分 ······················· 7分 CEOEcot3023 ABCD

·························· 8分 CD2CE43 11 （1）∠BCO；

（2）连接OP，并延长与⊙P交于点D， 若点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切 理由：连接AD,OA 则∠DAO=90°， 即OA⊥DA

所以DA与与⊙O相切

即点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切 (3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等 理由：∠ADB=∠ACB=60° 又因为∠ADO=∠BDO 所以∠ADO=30° 因为∠DAO=90°

1所以OA=OD

2即OA=PO

所以当∠ACB=60°时，两圆半径相等

12 解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C． ········· 1分

∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，

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(完整word版).中考数学圆压轴题

∴∠E=∠C． ·········· 2分

又∵∠ADB=∠C，

∴∠ADB=∠E． ········· 3分

（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线． ········· 4分 理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O． ···· 5分

又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED．

∴ DE是⊙O的切线． ·········· 6分 （3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AF⊥BC，且BF=

BEDOAC1BC=3． ······ 7分 2 又∵AB=5，∴AF=4． ·········· 8分 设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中,OF=4－r,OB=r,BF=3，

BOA ∴ r2＝32＋(4－r）2 ····· 9分 解得r＝

FC2525， ∴⊙O的半径是． ······· 10分 8823、解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE； ············· 2分

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