【篇一：近世代数杨子胥最新版题解_答】
概念 1. 1 1. 4. 5.
近世代数题解 1. 2 2. 3.
近世代数题解 1. 3
1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．
2. 解 这实际上就是m中n个元素可重复的全排列数nn． 3. 解 例如a?b＝e与a?b＝ab—a—b． 4. 5.
近世代数题解 1. 4 1. 2.
3.解 1）略 2）例如规定 4． 5．略
近世代数题解 1. 5
1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. 1. 6 1.
2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系．
3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4.
则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)． 5.
6.证 1）略2） 7. 8. 9. 10.
【篇二：概率部分答案】
、选择题 1-6：ccdcbb 二、填空题：
(1)??{(正，反)， (反，正)，(正，正)，(反，反)}；(2)??{(两正)，(一正一反)， (两反)}；
(3)令10件产品中的合格品为正1，正2，?，正9，次品记为次，则
（正2，正3），（正2，正4）?，（正2，次） ??
（正9，次）} (4)??{0,1,2,?}
(5)a?{1,3,5},b?{3,4,5,6},a?b?{1,3,4,5,6},ab?{3,5} a?{2,4,6},b?{1,2},a?b?{1},b?a?{4,6}
(6)p(ab)?0，p(ab)?1?p?q. (7)0.56；0.94；0.44. (8)p(a?b)?0.7. (9) p(b?a)?0.3，p(a?b)?0.1.
3.（1）必然事件；（2）不可能事件；（3）取到的球码是2或4；（4）取到的球码是5，7或9；（5）b?c={6，8，10}.
4.（１）选到一名是一年级男生，而非计算机专业； （２）计算机专业只有一年级，且全是男生； （３）计算机专业只有一年级； （４）全校女生都是一年级，且一年级都是女生。 5.（1）??{hhh,hht,hth,thh,htt,tht,tth,ttt}
1，，23}；（2）??{0，（3）??{(1,2),(1,3),(2,3)} 3，，45，6，，78，9，10，11，12}
（4）??{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}；（5）??{2， （6）??{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1)
,(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 6.（1）错；（2）错；（3）错；（4）对；（5）对；（6）对；（7）错；（8）对。 7.p(ab)=0.4. 8.p(ab?c)=0.2.9.p(b)= r 10.p(ab)=0.4，p(ab)=0.3.
11.p(abc)?p(a?b?c)?1?p(a?b?c)?0.1 . 12.x?13.p(abc?abc?abc)? 316. 14 .
14.（1）0.30；（2）0.07；（3）0.73；（（6）0.10；（7）0.83. 15.p(a)? c98?c2c100 31 2
?0.0006 . 16. 2 2?3
=0.25?0.375。 2244 2
17.（1） 2845 .（2） 145 .（3） 1645
. 18. p(a)? c4c48c52 3 23 .
3!?12! 19.p(a)?
c3c2c1c12c8c4 c15c10c5 1 1 15 5 5
4）0.14；（5）0.90； 111444 25 ??
15!915!?5!?5! 20. 1-
c10c8c6c4 c10 4 1 ?
1321
. 21.p(a)? 47! ?
11260 12
22.（1）由于a与b互斥，b?a，所以ba?b，即得p(ba)?p(b)?（2）当a?b时，p(ba)?p(b?a)?p(b)?p(a)?（3）p(ba)?p(b)?p(ab)?23. 67 12 ? 13 ? 16 12 ? 18 ? 38 。
365、364?[365?(n?1)] 365 n
24.（1）p(a)?? 365!365(365?n)! n
（2）p(b)?p(a)?1?p(a)?1? 365!365(365?n)!
n
假若n?30，则易知：p(b)?0.706。 24? 2 12
?23?24 2 2 12 ?22 2
25.p(a)??0.121
26.解 以x.y分别表示两人到达的时刻，则 9?x?10,9?y?10 g
满足两不等式的点（x，y）构成边长为1的正方形g，那么，他们会面的充要条件为 |x?y|? 13
这个条件决定了g中一子集g（图1-3）。于是约会问题等价于向g中掷点，求点落入g内的概率，这是一个几何概率问题，于是得 ?2? 1???
g的面积5?3? p(a)???
g的面积19 2
27.证明 (1)
p(a1a2)?p(a1?a2)?1?p(a1?a2)=1?p(a1)?p(a2)?p(a1a2)
(2) 由(1)和p(a1a2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二.三个不等式。 ? p(a1a2)?p(a1?a2)28. 0.93
29.（1） p(b|a)?30.3p(1?p)。 31.（1） 1n?1 2 2
a1a2?a1?a2
p(a1?a2)?p(a1)?p(a2)?p(a1a2)?0.2,(2) p(a|b)?
0.030.05 ?0.6.
0.030.15 ；（2）
3！(n?3)!(n?1)!0.860.95 （3）,n?3； 13！(n?2)! ;,n?3. n(n)! 32. p(b|a)? p(ab)p(a)1 ??0.91. 12
2n?r?1
33.p1?c2n?r34.p(a)? n 2
2n?r
,p2?c2n?r?1 n?1 , n
m?nn?m?1 n?1 ? m
m?nn?m?1 n ?
(n?m)n?m(m?n)(n?m?1)
35.（1）p{四次中至少出现一次6点} ?5?
?p(a1?a2?a3?a4)?1?p(a1a2a3a4)?1????0.518。 ?6? ?35?
（2）p{24次中至少出现一次双6点}?1?p(a1a2?a24)?1??? ?36? 24 4
?0.491
36.解：设a表示系统a有效，b表示系统b有效 (1) p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab) ?0.9?0.95?0.87?0.98 (2) p(ab)? p(ab)p(b) ?
p(a)?p(ab) p(b) ?
0.9?0.871?0.95 ?0.6
37. p(a|c)?38. p(a p(c|a)p(a)
p(c|a)p(a)?p(c|b)p(b) p(a1)p(b|a1) 4 ?
0.5?0.480.5?0.48?1?0.16 ?0.6. 1
|b)?? 922 ? k?1
p(ak)p(b|ak)
39. p(a)?1?p(a)?1? 821 ?
1321 . 40.
p(abc)=p(cab)p(ba)p(a)?[1?p(cab)]p(ba)p(a)?(1?0.4)?0.5?0.6?0.18
41.解 设“甲市是雨天”这一事件为a，“乙市是雨天”这一事件为b，则根据题意有
p(a)?0.20，p(b)?0.18，p(ab)?0.12 因此得p(a|b)???0.67p(b|a)???0.60 p(b)0.18p(a)0.20 ,
p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.20?0.18?0.12?0.26
p(ab)0.12p(ab)0.12 42. p(a)? 1 158 ? 7 ? 7 158 ? 6 ? 7 158 ? 5
?0.7
43. p(b|a)? p(b)p(a|b) p(a) ?
0.5?0.05
0.5?0.05?0.5?0.0025 ?0.9524
44.解 由贝叶斯公式， p(c|a)? ??
p(c)?p(a|c)
p(c)?p(a|c)?p(c)?p(a|c) p(c)?p(a|c)
p(c)?p(a|c)?(1?p(c))?(1?p(a|c)) 0.004?0.95
0.004?0.95?0.996?0.02 ?0.16
45.解 记事件a为“题目答对了”，事件题意有
p(a|b)?1,p(a|b)?0.25. （1）p(b|a)? p(b)p(a|b)
b为“知道正确答案”，则按 p(b)p(a|b)?p(b)p(a|b) p(b)p(a|b)
p(b)p(a|b)?p(b)p(a|b) ?0.8
（2）p(b|a)? 110 ?0.5.
46. p(b)?? 321 ? 610 ? 621 ? 310 ?
1021 ?
2370 .
47.解 以ai记抽到i地区，i?0,1,2,，由抽取的随机性知 p(a1)?p(a2)?p(a3)? 13, 310
,p(b1|a2)? 715
,p(b1|a3)? 525,
以bj记第j次抽到女生，j?1,2，则p(b1|a1)?（1）p?p(b1)? 1(3?715?525)? 2990. 2990(3 310
（2）首先利用抽签与顺序无关知p(b2)? 3
,因此p(b2)?79 715 814
6190?5
,另一方面 2024
29
p(b1b2)? ? i?1
p(a1)p(b1b2|a1)? 1 310 ??? 25 ?)?. 从而 2
q?p(b1|b2)? p(b1b2) 20
??. 6161p(b2) 90
?m???2?????
?m??m?m????1????1??????m???2???? ?m?
??2?????m??2? ????
48.解（1）设a表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， b表示“所取产品都是不合格品”，则 p(a)?p(b)? p(b|a)? p(ab)p(a) ?
p(b)p(a) ?
m?12m?m?1
【篇三：近世代数报告】
于拉格朗日定理的理解
定义1 设h是群g的子群。对任意的a?g，群g的子集 ah?{ah|h?h}与ha?{ha|h?h}
分别称为h在g中的左陪集和右陪集。
定理1设h是群g的子群，a,b?g，则ah与bh或者完全相同，或者没有公共元素。
证明：采用反证法。若ah?bh??，取c?ah?bh，则ah?bh?ch。 于是由上述定理可知，群g可以表示为子群h的一些互不相交的左陪集的并。因此，群g的子群h的全体左陪集的集合组成了群g的一个分类，既有等式： g?ah?bh?ch……
其中{a,b,c……}称为g关于h的一个左陪集代表元系。
记g/h和h\\g分别表示h的全体左陪集和全体右陪集组成的集合，则有 定理2 设h为g的子群，则在g/h和h\\g存在双射。 证明：在g/h和h\\g之间建立映射 ?:ah?ha?1
?1?1?1?1?1?1?1（1） 若ah?bh，则ab?h，于是ha?ha(bb)?h(ab)b?hb，因此?为一映射。 （2） 若?(ah)??(bh)，即ha 映射。
?1（3） 对于任意ha?h\\g，有?(ah)?ha，因此?为满映射。 ?1?hb?1，则b?1a?h，于是ah?bh，因此?为单
由此定理知，子群h的左陪集和右陪集个数或者相等，或者都是无穷。于是 定义2设h是群g的子群。称子群h在群g中的左陪集或右陪集个数为h在g中的指数，记为[g:h]。 综上便可以得到拉格朗日定理：
定理3（拉格朗日定理） 设g是一个有限群，h是g的子群，则 g?h[g:h]
推论1 设g是一个有限群，则g中的每一个元素的阶都是g的因子。 证明：因为a的阶就是a的阶，而a的阶是g的因子，于是a的阶就是g的因子。
推论2设g是一个有限群，g?n，则对任意的a?g，有a?e。 推论3设g是一个有限群，k?h?g，则 n [g:h][h:k]?[g:k]
证明：由拉格朗日定理
g?h[g:h]?k[h:k][g:h]?k[g:k] 消去k即可。 推论4 设h，k为g的两个有限子群，则 hk?hk
h?k 分析：hk可表示为h1k?h2k?……hmk，其中hik?hjk??，i?j。 则有指数定义及拉格朗日定理易知m?h h?k，于是结论成立。
推论5 设p，q为两个素数且p?q，则pq阶群g最多有一个q阶子群。
证明：若h，k为g的两个q阶子群，则 q2
hk?h?k
于是h?k要整除q，若h?k?1，则hkq?2?pqg?，这不可能；若h?k?q，则h?k。 参考文献
[1]杨子胥。近世代数。北京：高等教育出版社，2000。
[2]韩士安，林磊。近世代数，第二版。北京：科学出版社，2009。 [3]滕佳俊。近世代数辅导与习题精解。大连：大连理工大学出版社，2008。
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