2006年高考数学福建卷文科

2006年高考数学福建卷文科

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于

（A）2 （B）1 （C）0 （D）1

（2）在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于

（A）40 （B）42 （C）43 （D）45

（3）\"tan1\"是\"

4\"的

（A）充分而不必要条件 （B）必要不而充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）已知(

3,),sin,则tan()等于 25411（A） （B）7 （C） （D）7

772（5）已知全集UR,且Ax|x12,Bx|x6x80,则(CUA)B等于



（A）[1,4) （B）(2,3) （C）(2,3] （D）(1,4)

x(x1)的反函数是 x1xx(x1)方 （B）y(x1) （A）yx1x1x11x(x0) （D）y(x0) （C）yxx32，那么正方体的棱长等于 （7）已知正方体外接球的体积是3（6）函数y

（A）22 （B）234243 （C） （D） 333（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有

（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种

o（9）已知向量a与b的夹角为120，a3,ab13,则b等于

（A）5 （B）4 （C）3 （D）1 （10）对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是

（A）若m,mn,则n∥ （B）若m∥,n∥,则m∥n

（C）若m,n∥,则m∥n （D）若m、n与所成的角相等，则m∥n

x2y2o（11）已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与

ab双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）(1,2] （B）(1,2) （C）[2,) （D）(2,)

（12）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.设af(),bf(),

65325cf(),则

2 （A）abc （B）bac （C）cba （D）cab

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

4（13）(x)展开式中x的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。

21x5（14）已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a______.

y1,（15）已知实数x、y满足则x2y的最大值是＿＿＿＿。

yx1,（16）已知函数f(x)2sinx(0)在区间,上的最小值是2，则的最小值是34＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知函数f(x)sin2x3sinxcosx2cos2x,xR. （I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（II）函数f(x)的图象可以由函数ysin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？

（18）（本小题满分12分）

每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).

（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， ADOBEC

CACBCDBD2,ABAD2.

（I）求证：AO平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。

（20）（本小题满分12分）

yx2y21的左焦点为F，O为坐标原点。 已知椭圆2（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的

中点在直线xy0上，求直线AB的方程。

lFOx

（21）（本小题满分12分）

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5),且f(x)在区间1,4上的最大值

是12。

（I）求f(x)的解析式；

（II）是否存在实数m,使得方程f(x)370在区间(m,m1)内有且只有两个不等的实x数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）

已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*). （I）证明：数列an1an是等比数列； （II）求数列an的通项公式； （II）若数列bn满足4142...4nb1b1b1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列。

2006年高考(福建卷)数学文试题答案

一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A

（7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）D 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。

（13）10 （14）

13 （15）4 （16） 42三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

解：（I）f(x)1cos2x3sin2x(1cos2x) 22313sin2xcos2x222

3sin(2x).62

f(x)的最小正周期T由题意得2k即 k2. 222x62k2,kZ,

3xk6,kZ.

f(x)的单调增区间为k,k,kZ.

36（II）方法一：

先把ysin2x图象上所有点向左平移

个单位长度，得到ysin(2x)的图象，再12633把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到ysin(2x)的图象。

262

方法二：

33把ysin2x图象上所有的点按向量a(,)平移，就得到ysin(2x)的图

12262象。

（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则

P(A)655. 66656答：抛掷2次，向上的数不同的概率为.

（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种，

P(B)55. 66365. 36答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为

（III）设C表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试

验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，

10531312P(C)P5(3)C5()().

223216答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为

5. 16（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一： （I）证明：连结OC

BODO,ABAD,AOBD. BODO,BCCD,COBD.

在AOC中，由已知可得AO1,CO3. 而AC2,

MAAO2CO2AC2,

OBDCAOC90o,即AOOC.

BDOCO, AO平面BCD

E（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在OME中，

EM121AB,OEDC1, 2221AC1, 2OM是直角AOC斜边AC上的中线，OM

cosOEM2, 42. 4

异面直线AB与CD所成角的大小为arccos（III）解：设点E到平面ACD的距离为h.

VEACDVACDE,

11h.SACD.AO.SCDE.33在ACD中，CACD2,AD2,

127SACD222()2.

222而AO1,SCDE

13232, 24213221.

772

hAO.SCDESACD

点E到平面ACD的距离为方法二：

（I）同方法一。

21. 7（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(1,0,0),

13C(0,3,0),A(0,0,1),E(,,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).

22BACD.2cosBA,CD, 4BACD异面直线AB与CD所成角

的大小为arccos2. 4

（III）解：设平面ACD的法向量为n(x,y,z),则 n.AD(x,y,z).(1,0,1)0, n.AC(x,y,z).(0,3,1)0,zA

xz0, O3yz0.xB令y1,得n(3,1,3)是平面ACD的一个法向量。

DECy

13,0), 又EC(,22点E到平面ACD的距离

EC.n321h.

77n（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，

考查运算能力和综合解题能力。满分12分。

解：（I）a22,b21,c1,F(1,0),l:x2.

圆过点O、F，

1圆心M在直线x上。

21设M(,t),则圆半径

2yBNlFAOx

13r()(2).

22由OMr,得()t

12223, 2

解得t2.

19所求圆的方程为(x)2(y2)2.

24（II）设直线AB的方程为yk(x1)(k0),

x2y21,整理得(12k2)x24k2x2k220. 代入2直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，

记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),

4k2, 则x1x222k112k2kx0(x1x2)2,y0k(x01)2,

22k12k1

线段AB的中点N在直线xy0上，

2k2k20, x0y022k12k11k0，或k.

2当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线xy0上。

直线AB的方程是y0,或x2y10.

（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。

（I）解：f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0,5),

可设f(x)ax(x5)(a0).

f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6a.

由已知，得6a12,

a2,f(x)2x(x5)2x210x(xR).（II）方程f(x)

370等价于方程2x310x2370. x设h(x)2x310x237, 则h'(x)6x220x2x(3x10).

10)时，h'(x)0,h(x)是减函数； 310当x(,)时，h'(x)0,h(x)是增函数。

3101h(3)10,h()0,h(4)50,

3271010方程h(x)0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)内没

33当x(0,所以存在惟一的自然数m3,使得方程f(x)有实数根，

370在区间(m,m1)内有且只有两个x不同的实数根。

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I）证明：an23an12an,

an2an12(an1an),

a11,a23,an2an12(nN*).an1an

an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列。

（II）解：由（I）得an1an2(nN),

n*an(anan1)(an1an2)...(a2a1)a1

2n12n2...2121(nN).b1b1n*

（III）证明：4142...4nb1(an1)bn,

4(b1b2...bn)2nbn,

2[(b1b2...bn)n]nbn, ① 2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1. ②

②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20. ③ nbn2(n1)bn120. ④ ④－③，得nbn22nbn1nbn0, 即bn22bn1bn0,

bn2bn1bn1bn(nN*),

bn是等差数列。