2018年北京市各区高三文科数学试题分类汇编----三角函数

（2018年朝阳期末） 4． “sin2”是“cos2=0”的 （ A ） 2A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

14．如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和90. 后退l (单位m)至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为 lsin m；旗杆BA的高为 lcos2 m.（用含有l和的式子

sin表示）

CP1P2BA

(2018年东城期末)

（12）在△ABC中，a=5,c=7，cosC=，则b= 6 ；△ABC的面积为 66 ． (2018年海淀期末)

（11）在ABC中，a1，且ABC的面积为b7，(2018年西城期末)

7．函数f(x)sin(x)的图象记为曲线C．则“f(0)f(π)”是“曲线C关于直线x对称”的（ C ） （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

12．在△ABC中，a3，C(2018年丰台期末) 11．已知sin（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

3，则c 2或 215 .

23 （答对一个给3分）π2

33，△ABC的面积为，则b__1__；c__13__．

4342，，则cos ． 52104(2018年石景山期末)

6．函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图 2y 象如图所示，则，的值分别是（ A ）

 A．2，B．2，C．4，D．4， 3 6 6 32

O

-2

(2018年昌平期末)

11. 已知函数f(x)sinxcosx,那么f(x) 的最小正周期是 π ． (2018年通州期末)

11 125 12x

11．在△ABC中，已知AB4，AC6，A60， 那么BC ___27____. (2018年房山期末)

（9）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b4，B6,sinA1 则a 38 ． 3（2018年朝阳一模）

13.函数f(x)Asin(x)（A0,0,则= ）的部分图象如图所示， 24 ；  ． 63(2018年东城一模)

（11）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角的终边经过点(,)，则

3455424sin_______，tan2_________．

57(2018年海淀一模)

（11）在ABC中，若c2,a3,A(2018年西城一模)

12．在△ABC中，b7，c5，B(2018年丰台一模)

（8）设函数f(x)sin(4x 第13题图 6，则sinC 13 ，cos2C .

33，则a__3__． 3π9π)(x[0,])，若函数yf(x)a(aR)恰有三个零点x1，x2，x3 416(x1x2x3)，则x12x2x3的值是（ B ）

(A)

π 2(B)

3π 4 (C)

5π 4(D) π

（11）在△ABC中，a2，c4，且3sinA2sinB，则cosC__(2018年石景山一模)

1__． 412.在△ABC中，A60，AC4，BC23，则△ABC的面积等于____23____． (2018年房山一模)

（13）已知函数f(x)同时满足以下条件：周期为；值域为[0,1]；f(x)f(x)0． 试写出一个满足条件的函数解析式f(x) ysinx或 ycosx等 . (2018年顺义一模)

10. 在ABC中, AC1,BC3,AB60,,则AB____13___. （2018年朝阳二模）

（5）将函数f(x)cos2x图象上所有点向右平移

0π个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间4[0,a]上单调递增，则实数a的最大值为（ B ）

（A）

πππ3 （B） （C） （D）π 8424(2018年东城二模)

（13）在△ABC中，cosC(2018年海淀二模)

（11）将函数f(x)sin(x115c，a2b，则 2 ；sinB _________． 4b83)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍。纵坐标不变，得到函数

1πg(x)sin(x)的图象，则=____，=_____.

23(2018年西城二模)

4911．在△ABC中，a3，b2，cosB，则sinA____．

105 (2018年丰台二模)

（12）已知函数ysin(x)(0，图所示，则=__2__；__π__．

π)的部分图象如 2y16 (2018年昌平二模) 11. 在ABC中，a2，b(2018年房山二模)

Oπ265π， A=，则C (或75) . 3312π65π12x（5）将函数ysinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（ D ）

(A)ysin(2x2) (B) ysin(2x2) (C) ysin(x1) (D) ysin(x1) （13）在锐角ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b2asinB，则A (2018年顺义二模)

13． 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，他们的终边关于x轴对称，若cos7cos__________．

8

1，则41212π ． 6解答题部分：

（2018年朝阳期末） 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)(sinxcosx)cos2x． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

2（Ⅱ）求证：当x0,时，f(x)0．

2解：（Ⅰ）因为f(x)sin2xcos2xsin2xcos2x

1sin2xcos2x2sin(2x)1.

4所以函数f(x)的最小正周期为. …………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2sin(2x)1．

4当x0,时，2x[,]，

4442sin(2x)[,1]，

422sin(2x)1[0,1].

4当2x,即x0时，f(x)取得最小值0．

44所以当x0,时，f(x)0. …………………………13分

2

(2018年东城期末) （16）（本小题13分）

已知函数f(x)=23sinax?cosax2cos2ax-1(0f(x)23sinxcosx2cos2x1

3sin2xcos2x

2sin(2x6).

因为

p＃p12x2， 所以

p3£2x+p7p6?6． 所以，当2x+p6=p2，即x=p6时，f(x)取得最大值2， 当2x+p7p6=6，即x=p2时，f(x)取得最小值为-1. f(x)=23sinax?cosax2cos2ax-1(0所以f(x)=3sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+p6)． 因为f(x)的图象经过点(3,2)， 所以2sin(2a32a6)2，即sin(36)1． 所以

2a362+2k． 所以a3k12(kZ)． 因为0(2018年海淀期末) （16） （本小题13分）

已知函数f(x)cos2xtan(x（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的值域. 解：（Ⅰ）x2π2． ……13分 14).

k，kZ ------------------------2分 423解得：xk，kZ

4所以，函数的定义域为x|xk3,kZ ------------------------4分 4注：不写kZ扣1分，只扣一次；（Ⅰ）（Ⅱ）结果有一个写了集合符号，不扣分，都没写集合符号，

统一扣1分.

) 4tanx122 (cosxsinx) ------------------------8分

1tanxsinxcosxssinx)(coxssinx) (cox ------------------------9分

cosxsinx（Ⅱ）f(x)cos2xtan(x (coxssinx)

2sinxcosx1 ------------------------10分

2x1 ------------------------11分 sin233,kZ，所以2xk,kZ， 42所以sin2x1，

因为xk所以，函数f(x)的值域为(2,0]. - -----------------------13分 注：结果写成[2,0]扣两分.

(2018年西城期末) 15．（本小题满分13分）

π已知函数f(x)2sin2xcos(2x)．

3（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

π1（Ⅱ）求证：当x[0,]时，f(x)≥．

22π解：（Ⅰ）因为f(x)2sin2xcos(2x)

3 1cos2x(cos2xcos ππsin2xsin) [ 4分] 3333sin2xcos2x1[ 5分] 22

π 3sin(2x)1， [ 7分]

3所以f(x)的最小正周期 T2π2π． [ （Ⅱ）因为 0≤x≤πππ2，所以 3≤2x3≤2π3． [所以 sin(2xπ3)≥sin(π33)2， [所以 f(x)≥12． [

(2018年丰台期末)

15．在ABC中，3sin2B2sin2B． （Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若a4，b27，求c的值. 15．解：（Ⅰ）因为3sin2B2sin2B， 所以23sinBcosB2sin2B. 因为0B，所以sinB0， 所以tanB3， 所以B3.

（Ⅱ）由余弦定理可得27242c224ccos3，

所以c24c120，

解得c6或c2（舍）. 解得c6.

(2018年石景山期末)

8分] 10分] 12分]

13分]

16．（本小题共13分）

如图，在VABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2． （Ⅰ）若ADB2，求BAC的大小；

（Ⅱ）若ADB

2，求VABC的面积． 3A

A

B D 图1

C

B D 图2

C

解：（Ⅰ）设BAD，CAD，

则tanCD1BD1…………2分 ，tanAD3 AD2所以tan()tantan1…………5分

1tantan

因为(0,)，

所以即BAC4，

4． …………7分

（Ⅱ）过点A作AHBC交BC的延长线于点H， A 因为ADB2， 3所以ADC

， 3B D C H

所以AHADsin333； …………11分

所以SABC1153． …………13分 BCAH22

(2018年昌平期末)

16. （本小题满分13分）

在ABC中，3asinCccosA． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若SABC3，bc223，求a的值． 解：（I）因为3asinCccosA，所以cosA0，

由正弦定理

abc， sinAsinBsinC得3sinAsinCsinCcosA． 又因为 C(0,)，sinC0，

所以 tanA3． 3又因为 A(0,)， 所以 A（II）由SABC． …………… 6分 611bcsinAbc3，得bc43， 24由余弦定理a2b2c22bccosA，

222得abc2bccos， 6即a2(bc)22bc3bc(bc)28312， 因为bc223， 解得 a4.

因为 a0，

所以 a2. ……………13分

(2018年通州期末) 15．（本题满分13分）

2已知函数fx2sinxcosxcos2x. （Ⅰ）求fx的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求fx在区间0，上的最大值和最小值．

π215. 解：（Ⅰ）因为f(x)sin2xcos2x2sin2x+．……………………4分

4所以fx的最小正周期T2.……………………5分 2由32k2x2k，得kxk. 242883k，k,kZ.……………………7分

88所以fx的单调递增区间是（Ⅱ）因为x0,5，所以2x+,. 4442取得最大值是所以当2x，即x时，函数428

2.

当2x5x，即时，函数442π2取得最小值2sin51.． 4所以fx在区间0，上的最大值和最小值分别为

(2018年房山期末) （15）（本小题13分）

已知函数f(x)sinx3sinxcosx． （Ⅰ）求函数

22和1．……………………13分

f(x)的最小正周期； f(x)在区间

上的值域．

（Ⅱ）求函数

2(15)解：（Ⅰ）fxsinx3sinxcosx1-cos2x3sinxcosx 223111-cos2x3sin2x-cos2x sin2x22222cos1sin2x-sincos2x 6621sin（2x-）

62 T2 …………………7分 2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

因为，所以，

所以，因此，

所以f(x)的值域为

（2018年朝阳一模） 16.（本小题满分13分）

． …………………13分

在ABC中，已知sinA5，b2acosA． 5（Ⅰ）若ac5，求ABC的面积； （Ⅱ）若B为锐角，求sinC的值． 解：（Ⅰ）由b2acosA，得cosA0，

因为sinA255，所以cosA.

55因为b2acosA，所以sinB2sinAcosA2故ABC的面积S（Ⅱ）因为sinA5254． 5551acsinB2． ……………… 7分 2435，sinB，因为B为锐角，所以cosB.

555所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB

(2018年东城一模) （16）（本小题13分）

函数f(x)sin(x)(0,115．……………13分 25)的部分图象如图所示． 22（Ⅰ）求f(x)的解析式；

（Ⅱ）将函数yf(x)的图象向左平移

个单位长度，得到函数yg(x)的图象， 3令F(x)f(x)g(x)，求函数F(x)的单调递增区间．

解：（Ⅰ） 因为

y1O-125)2， 63π35π6x4(所以1．

（又因为sin所以

)1， 33+=2k2(kZ)，

即=2k因为6(kZ)．

， 22． 6)． ……………6分 6所以所以f(x)的解析式是f(x)sin(x（Ⅱ） 由已知g(x)sin[(x)]sin(x)cosx， 3626 所以f(x)g(x)sin(x)cosx

31sinxcosxcosx 2233sinxcosx 22)． 3  3sin(x函数ysinx的单调递增区间为[2k由2k得2k，2k](kZ)． 22x2k， 2325x2k(kZ)， 66，2k](kZ)． ………13分 66所以F(x)的单调递增区间为[2k

(2018年海淀一模) （16）（本小题13分）

|函数f(x)3sin(x)(0,|中x0是函数f(x)的零点. （Ⅰ）写出,及x0的值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[

)的部分图象如图所示，其2,0]上的最大值和最小值. 22,16．解：（Ⅰ）

6,x011.12 ………………6分

f(x)3sin(2x)6 ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

x[因为

2,0]，

2x所以

6[5,]66 ………………9分

x=2x当

6=2 即 ,,3 时，f(x) 的最小值为3. ………………11分

2x当

6=36 即 x=0 时，f(x) 的最大值为2. ………………13分

(2018年西城一模) 16．（本小题满分13分）

函数f(x)2cosxcos(xπ3)m的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求x0的值．

解：（Ⅰ）依题意，有f(2π3)1， [ 所以 2cos2π3cosπ3m1，

解得 m12． [ （Ⅱ）因为f(x)2cosxcos(xπ13)2 2cosx(1cosx3sinx)1 222

3sinxcosxcos2x12 32sin2x1

2cos2x sin(2xπ6)． [所以 f(x)的最小正周期 T2π2π． [所以 x2ππ7π0326． [

(2018年丰台一模) （15）（本小题共13分）

已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在[0,]上的单调递增区间．

解：（Ⅰ）f(x)2sinxcosx2cos2x1 sin2xcos2x 2sin(2xπ4)． 2分] 4分]

[ 6分]

[ 9分]

10分]

11分]

13分] ……………………1分……………………3分

……………………5分

所以f(x)的最小正周期为T（Ⅱ）由2ππ． ……………………6分 2πππ2kπ2x2kπ(kZ)， ……………………8分 2423ππkπxkπ(kZ)． ……………………10分 得88π5π当x0,π时，单调递增区间为[0,]和[,π]． ……………………13分

88

(2018年石景山一模) 15．（本小题共13分）

已知函数f(x)2cos2x23sinxcosx1. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期;

π

（Ⅱ）求函数f(x)在区间,π上的最小值和最大值.

2

解：（Ⅰ）f(x)2cos2x23sinxcosx1

cos2x3sin2x

132(cos2xsin2x)

22π………………5分 2sin(2x)6 2π所以周期为Tπ. ………………6分

2π（Ⅱ）因为xπ，

27ππ13π所以. ………………7分 2x666π13π所以当2x时，即xπ时f(x)max1.

66π3π2 当2x时,即xπ时f(x)min2. …………13分

623

(2018年房山一模) （16）（本小题13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2BcosB0． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b7，ac5，求△ABC的面积．

（Ⅰ）解：由已知得 2cos2BcosB10， 即 (2cosB1)(cosB1)0．

解得 cosB1，或cosB1． 2因为 0Bπ，故舍去cosB1． 所以 Bπ． …………6分 3（Ⅱ）解：由余弦定理得 b2a2c22accosB． 将Bπ，b7代入上式，整理得(ac)233ac7． 因为 ac5，

所以 ac6．

所以 △ABC的面积S12acsinB332．

(2018年顺义一模)

15.（本小题满分13分）

已知函数f(x)sin(2x6)2cos2x.

(I) 求f(6)的值;

(II) 求f(x)在区间3,6上的最大值. 解：(I)f(π)sin(2ππ)2cos2π

6666 sinπ22(32)2 ----------------2分 132

12 ---------------------------------------------------5分

(II)f(x)sin(2x)2cos2x 6

sin2xcosπ6cos2xsinπ6(1cos2x) ------7分 32sin2x12cos2x1cos2x …………13分

31sin2xcos2x1 ----------------8分 22πsin(2x)1 --------------------------------------10分

6ππ因为x

365πππ2x --------------------------------11分 所以666πππ当2x，即x时， -----------------------------12分

6661f(x)取得最大值为. -------------------------------------13分

2

（2018年朝阳二模） （15）（本小题满分13分）

B，C的对边分别为a，b，c，且abc，3c2bsinC=0． 在△ABC中，角A，（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b3，c1，求a和△ABC的面积． 解：（Ⅰ）因为3c2bsinC=0，

所以3sinC2sinBsinC0.

因为0Cπ，所以sinC0， 所以sinB3. 2π． …………6分 3因为0Bπ，且abc，所以B（Ⅱ）因为b3，c1，

所以由余弦定理bac2accosB， 得(3)a12a1222221，即a2a20. 2解得a2或a1（舍）.

所以a2.

1133． …………13分 SABC=acsinB212222

(2018年东城二模) （16）（本小题13分）

已知函数f(x)2sin()22cos（Ⅰ）求曲线yf(x)的对称轴方程； （Ⅱ）当x[0,x24x． 23]时，f(x)m恒成立，求实数m的最大值． 2解：（Ⅰ）f(x)2sin()22cosx24x 22sinxx2cos 22x2sin()．

24 因为ysinx的对称轴方程为x 所以

πkπ， 2xππkπ， 242 即xπ2kπ． 2π2kπ（kZ）． ………7分 2 所以曲线yf(x)的对称轴方程为x（Ⅱ）因为0x3， 2所以

x． 424x3π，即当x时，f(x)的最小值为0. 242所以当

所以实数m的最大值0. ………13分

(2018年海淀二模) （16）（本小题13分）

已知函数f(x)2cosxsin(x)33. 2（Ⅰ）求曲线yf(x)的相邻两条对称轴的距离； （Ⅱ）若函数f(x)在[0,]上单调递增，求的最大值.

解：（Ⅰ）f(x)2cosx(sinx1233 ………………1分 cosx)22sinxcosx3cos2x3 211cos2x3 ………………3分 sin2x3222sin(2x) ………………4分

32. ………………5分 所以函数f(x)的最小正周期T2T所以曲线yf(x)的相邻两条对称轴的距离为，即. ………………6分

22（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f(x)sin(2x当x[0,]时，2x因为ysinx在[所以[3)

3[,2]. …………………8分

33,]上单调递增，且f(x)在[0,]上单调递增，

22,2][,]， …………………9分 33220即 …………………11分

2325. …………………12分 125故的最大值为. …………………13分

12解得0

(2018年西城二模) 16．（本小题满分13分）

已知函数f(x)cos2x．

sinxcosx（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）求f(x)的取值范围．

解：（Ⅰ）由 sinxcosx0， ……………… 2分 π2sin(x)0， ……………… 3分

4π 所以 xkπ，其中kZ． ……………… 4分

4π所以f(x)的定义域为{xR|xkπ,kZ}． ……………… 5分

4cos2xsin2x （Ⅱ）因为 f(x) ……………… 7分

sinxcosx 得

cosxsinx ……………… 9分

π2cos(x)． ………………11分

4π 由（Ⅰ）得 xkπ，其中kZ，

4π 所以 1cos(x)1， ………………12分

4 所以 f(x)的取值范围是(2,2)． ………………13分

(2018年丰台二模) （15）（本小题共13分）

如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，AB14，BD6，AD10，cosDACA7． 14（Ⅰ）求ADB； （Ⅱ）求AC的长．

解：（Ⅰ）在△ADB中，由余弦定理得

BDC1AD2BD2AB210036196． …………………2分  cosADB221062ADBD因为 ADB(0,π)， …………………3分 所以ADB2π． …………………5分 3（Ⅱ）由 cosDAC7321，可知 sinDAC， …………………6分 14142πDAC) …………………8分 3所以 sinCsin(37132121． …………………10分 2142147ACAD， …………………12分

sinADCsinC在△ADC中，由正弦定理得

所以 AC10，所以 AC57． …………………13分 32127

(2018年昌平二模) 15. （本小题13分）

已知函数f(x)2sin(x)cos(x)3sin2x. （I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）求函数f(x)在区间[0,π]上的最值及相应的x值.

215.（共13分）

解：（I）f(x)sin(2x)3sin2x

π4π4π2cos2x3sin2x

2sin(2x+)

所以f(x)的最小正周期是π. -------------------8分 （II）因为 0xπ, 所以 02xπ,

2 所以 π2x+π7π,

666当xπ时，f(x)max2. 6当xπ时，f(x)min-1. --------------------13分

2

(2018年房山二模) （16）（本小题13分）

已知函数f(x)sinxacosx的一个零点是（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设g(x)f(x)f(x)23sinxcosx，若x0,，求g(x)的值域．

2（Ⅰ）解：依题意，得f()0， …………1分

π6π． 4π4即 sinππ22aacos0， …………3分 4422解得 a1． …………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f(x)sinxcosx．

g(x)f(x)f(x)23sinxcosx …………6分 (sinxcosx)(sinxcosx)3sin2x …………7分

(cos2xsin2x)3sin2x …………8分

cos2x3sin2x …………9分

π2sin(2x)． …………10分

6由x0,当2xπ7ππ2x得 6662ππ即x时，g(x)取得最大值2， …………11分 626π7π当2x即x时，g(x)取得最小值-1. …………12分

662所以g(x)的值域是1,2 …………13分

(2018年顺义二模) 16．（本小题满分13分）

已知函数fx2sinxcosx3cos2x． （1）求fx的最小正周期．

（2）若函数yfx的图像与直线ym没有公共点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）Tπ． （2）,22,．

【解析】（1）函数fx2sinxcosx3cos2x sin2x3cos2x

132sin2xcos2x2 2π2sin2x，

3∴fx的最小正周期T2ππ． 2（2）函数fx的值域为2,2，

若函数yfx的图象与直线ym没有公共点， 则m2或m2，

故实数m的取值范围为,2

2,．