鲁教版2019-2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形自主学习能力达标测试题C(附答案)

鲁教版2019-2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形

自主学习能力达标测试题C（附答案）

1．如图，EOF30，A，B为射线OE上两点，点P为射线OF上一点，且OP10，

APB90，则线段AB的最小值为( ).

A．10

B．52 C．53

D．8

2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形 ③当x＝2时，△BDD1为等边三角形 ④s＝3 （x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ） 2

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

3．如图，四边形ABCD是正方形，AB=1，点F是对角线AC延长线上一点，以BC、CF为邻边作菱形BEFC，连接DE，则DE的长是（ ）．

A．2

B．1+2 2C．3 D．2

4．如图，矩形ABCD中， AB=8，BC=4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE2，将DEQ沿EQ翻折得到FEQ，连接PF，PC，则

PFPC的最小值为（ ）

A．622

B．8 C．10

D．822

5．下列命题是真命题的是( )

A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A．一组邻边相等，对角线互相垂直平分 B．一组邻角相等，对角线也相等 C．一组对边平行且相等，对角线互相平分 D．对角线相等，且互相垂直平分

7．如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24m，BAD120o，则花坛对角线AC的长是( ) A．63m

B．6m

C．33m

D．3m

8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（ ）

A．40° B．55° C．75° D．80°

9．如图，下列结论：①四边形ABCD是平行四边形，且ABBC；②四边形ABCD③四边形ABCD是矩形，④四边形ABCD是平行四边形，且ACBD；且ACBD；是菱形，且ACBD．其中能推出四边形ABCD为正方形的有（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④

10．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )A．可能不是平行四边形

B．一定是菱形

C．一定是正方形 D．一定是矩形

11．如图，点O是菱形ABCD两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影 和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为8和10时，则阴影部分的面积为_____．

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=2cm，BC=16cm，则EF=_________cm.

13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，则NM的长为_____．

14．DE＝2，如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE'F'G'，此时点G'在AC上，连接CE'，则CE'+CG'＝_____．

15．如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为___ ．

16．如图，等边△BCP在正方形ABCD内，则∠APD＝_____度．

17．有一个角是直角的平行四边形是_______；有一组邻边相等的平行四边形是______________；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是___________.

18．如图,菱形ABCD的一个内角是60∘,将它绕对角线的交点O顺时针旋转90∘后得到菱形A′B′C′D′.旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为S1S324，则菱形ABCD的边长为_________.

19．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离_______（填 不变.变小 或变大 ）．

20．如图，矩形ABCD中，AB6，BC8，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则BE的长为________．

21．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分ODA交OA于点E，若AB2，则线段OE的长为________．

22．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB于D，且A′D＝2，AD＝4． （1）求BC长；

（2）求阴影部分的面积．

23．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°，AC＝AD＝2，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、MN、BN． (1)求证：BM＝MA；

(2)若∠BAD＝60°，求BN的长；

(3)当∠BAD＝ °时，BN＝1．(直接填空)

24．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.

（1）在图1中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；

（2）在图2中画出以线段AB为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE，点E在小正方形的项点上.

25．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点。

（1）AB=12，AC=10,求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论。

26．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，AB=6cm，AD=8cm. （1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．判断四边形FBGD的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，求FG的长.

27．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

28．如图，将矩形ABCD(ABAD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB4，BC8. (1)求DF的长；

(2)求DBF和DEF的面积； (3)求DBF中F点到BD边上的距离.

参考答案

1．A 【解析】 【分析】

作PQ⊥OE于点Q，得出PQ=5，根据三角形相似得到PQ2=AQ•BQ=25．然后根据不等式的基本性质来求线段AB的最小值． 【详解】

如图，过点P作PQ⊥OE于点Q．

∵∠EOF=30°，即∠QOP=30°，OP=10， ∴PQ=5． 又∵∠APB=90°， ∴PQ2=AQ•BQ=25． ∴AB=AQ+BQ≥2∴AB≥10．

故线段AB的最小值是10． 故选A． 【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形．根据题意作出辅助线的解题的难点． 2．C 【解析】 【分析】

①正确，根据SSS即可判断；

②正确，证明四边相等即可解决问题；

③正确，只要证明BD＝DD1，∠BDD1＝60°即可； ④错误，利用三角形的面积公式计算即可判定；

， AQ•BQ（当且仅当AQ=BQ=5时，取“=”）

【详解】

解：∵AC＝A1C1， ∴AA1＝CC1

∵BC＝D1A1，∠AA1D1＝∠BCC1， ∴△A1AD1≌△CC1B，故①正确， 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝1， ∴AC＝A1C1＝2，

当x＝1时，AC1＝CC1＝1， ∴AC1＝AB， ∵∠BAC＝60°，

∴△ABC1是等边三角形，

同法可证：△AD1C1是等边三角形， ∴AB＝BC1＝AC1＝AD1＝C1D1， ∴四边形ABC1D1是菱形，故②正确，

当x＝2时，BD＝AC＝2，DD1＝2，∠BDD1＝60°， ∴△BDD1是等边三角形，故③正确， 当0＜x＜2时，S＝故选：C． 【点睛】

本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．C 【解析】 【分析】

延长DC交EF于G，则CG⊥EF，由正方形和菱形的性质得出∠FCG=∠ACD=45°，CD=BC=CF=EF=1，得出△CFG是等腰直角三角形，得出CG=FG1133•（2﹣x）•（2﹣x）＝（2﹣x）2，故④错误． 22282，求出2DG=CD+CG=122 ，GE=EF﹣FG=1．在Rt△DEG中，由勾股定理即可得出答案．

22

【详解】

延长DC交EF于G，如图所示，则CG⊥EF，∴∠CGF=∠CGE=90°．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠FCG=∠ACD=45°CD=BC=CF=EF=1，四边形BEFC是菱形，，∴△CFG是等腰直角三角形，∴CG=FG222CF，∴DG=CD+CG=1，GE=EF222﹣FG=12．在Rt△DEG中，由勾股定理得：2DEDG2GE2(12222)(1)3． 22故选C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形和菱形的性质，证明△CFG是等腰直角三角形是解题的关键． 4．B 【解析】 【分析】

作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，由已知求出CE＝6，CH＝8，由勾股定理得出EH＝CE2+CH2=10，由SAS证得△PBC≌△PBH，得出CP＝PH，PF＋PC＝PF＋PH，当E、F、P、H四点共线时，PF＋PH值最小，即可得出结果． 【详解】

解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示：

∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2， ∴CE＝CD−DE＝AB−DE＝6，CH＝2BC＝8， ∴EH＝CE2+CH2=62+82＝10，

BC＝BH在△PBC和△PBH中，PBC＝PBH＝90，

PB＝PB∴△PBC≌△PBH（SAS）， ∴CP＝PH，

∴PF＋PC＝PF＋PH， ∵EF＝DE＝2是定值，

∴当E、F、P、H四点共线时，PF＋PH值最小，最小值＝10−2＝8， ∴PF＋PD的最小值为8， 故选：B． 【点睛】

本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 5．D 【解析】 【分析】

利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题； C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；

D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题， 故选：D． 【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定及平行四边形的判定定理，难度不大． 6．C 【解析】 【分析】

从角、边、对角线三个方面把握各图形的性质比较解答． 【详解】

解：A、只有正方形和菱形具有； B、只有矩形和正方形具有； D、只有正方形具有；

矩形、菱形、正方形都具有的性质是：一组对边平行且相等，对角线互相平分． 故选C． 【点睛】

对于平行四边形，矩形、菱形、正方形的性质的理解与记忆是解决本题的关键． 7．B 【解析】 【分析】

由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案． 【详解】

解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°， ∴AB=BC=6m，AD∥BC， ∴∠ABC=180°-∠BAD=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=6m． 故选:B． 【点睛】

本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．解题关键是注意证得△ABC是等边三

角形． 8．C 【解析】 【分析】

连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E度数，进而得出∠BAE的度数． 【详解】 解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BE，AC=BD，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°， ∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE，

∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°． ∴∠BAE=90°-15°=75°， 故选：C． 【点睛】

本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 9．C 【解析】 【分析】

根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理对选项逐一判定． 【详解】

解：①根据又一个角是直角的平行四边形是矩形可知：四边形ABCD是平行四边形，当

ABBC时，平行四边形ABCD是矩形，故①无法判定四边形ABCD为正方形；

②∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，

故②无法判定四边形ABCD为正方形；

③根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知当ACBD时，平行四边形ABCD是菱形，又有四边形ABCD是矩形，故四边形ABCD为正方形，故③能判定；

④根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知当AC=BD时，它是矩形，又有四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD为正方形，故④能判定； 故能推出四边形ABCD为正方形的有③④． 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理． 10．D 【解析】 【分析】

根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形． 【详解】

解：这个四边形是矩形，理由如下：

∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵OA=OC=OD=OB， ∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

故选D． 【点睛】

本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键． 11．20. 【解析】 【分析】

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答． 【详解】

解：∵菱形的两条对角线的长分别为8和10， ∴菱形的面积＝×10×8＝40， ∵O是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积＝×40＝20． 故答案为：20． 【点睛】

本题考查了菱形的性质以及中心对称的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 12．65 2【解析】 【分析】

根据矩形性质得出∠ABC=90°，然后根据勾股定理求出BD、AC，因为 BD=AC，BO=OD，求出OD =【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=2cm，BC=16cm，

∴由勾股定理得：BD=AC=22162265（cm）， ∴OD=65cm，

1BD，再根据三角形中位线求出EF即可． 2

∵点E、F分别是AO、AD的中点， ∴EF=

165OD=. 22【点睛】

本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长． 13．

2 3【解析】 【分析】

先根据折叠的性质得∠EAB=∠EAN，AN=AB=8，再根据正方形的性质得AB∥CD，则∠EAB=∠F，DM=DC-MC=8-x，所以∠EAN=∠F，得到MA=MF，设CM=x，则AM=MF=4+x，在Rt△ADM中，根据勾股定理，解得x，然后利用MN=AM-AN求解即可. 【详解】

解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处， ∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE， ∵正方形对边AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F， ∴∠NAE＝∠F， ∴AM＝FM，

设CM＝x，∵AB＝2CF＝8， ∴CF＝4，

∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，

在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2， 即（4+x）2＝82+（8﹣x）2， 解得x＝42， 322＝8， 3322所以，NM＝AM﹣AN＝8﹣8＝．

332故答案为：.

3所以，AM＝4+4【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和

对应角相等，也考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质及折叠的性质并能正确运用勾股定理是解题的关键. 14．26 【解析】 【分析】

作G′R⊥BC于R，则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH=HE′即可解决问题． 【详解】

作G′R⊥BC于R，则四边形RCIG′是正方形．

∵∠DG′F′=∠IG′R=90°， ∴∠DG′I=∠RG′F′， 在△G′ID和△G′RF中

GD＝GFDGI＝RGF， GI＝GR∴△G′ID≌△G′RF， ∴∠G′ID=∠G′RF′=90°， ∴点F′在线段BC上，

在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°， ∴E′H=

1E′F′=1，F′H=3， 2易证△RG′F′≌△HF′E′， ∴RF′=E′H，RG′=RC=F′H， ∴CH=RF′=E′H，

∴CE′=2， ∵RG′=HF′=3， ∴CG′=2RG′=6， ∴CE′+CG′=2+6． 故答案为：2+6． 【点睛】

本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．213． 【解析】 【分析】

在RT△ADE中，利用勾股定理AE=AD2ED2即可解决问题． 【详解】 解：如图，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠D=90°， ∵DE=4，EC=2， ∴AD=CD=6，

在RT△ADE中，∵∠D=90°，AD=6．DE=4， ∴AE=AD2ED2=6242 =52=213 ． 故答案为213． 【点睛】

本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理解决问题．

16．150 【解析】 【分析】

由正方形的性质和等边三角形的性质得出AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=30°，由三角形内角和定理求出∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=75°，再求出∠PAD=∠PDA=15°，然后由三角形内角和定理求出∠APD即可． 【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， ∵△BCP是等边三角形，

∴BP=CP=BC，∠PBC=∠BCP=∠BPC=60°， ∴AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=90°-60°=30°， ∴∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=∴∠PAD=∠PDA=90°-75°=15°， ∴∠APD=180°-15°-15°=150°； 故答案为：150． 【点睛】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． 17．矩形 菱形 正方形 【解析】 【分析】

根据矩形、菱形和正方形的判定进行分析即可. 【详解】

有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 故答案为：矩形，菱形，正方形 【点睛】

考核知识点：矩形，菱形，正方形的判定.熟记性质是关键.

1-30°（180°）=75°，

2

18．2 【解析】 【分析】

根据已知可得重叠部分是个八边形，根据其周长从而可求得其一边长即可得到答案. 【详解】

因为旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为838， ∴根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形， ∴B′F=FD=31，

∵菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90∘后得到菱形A′B′C′D′，

∴∠DAO=∠B′A′O=30°， ∴∠A′B′C=60°，

∴∠AFB′=∠A′B′C-∠DAO=30°， ∴AB′=B′F=FD=31， ∵DO=OB′=

13AD，AO=AD， 221AD， 2∴AO=AB′+OB′=31+∴13AD=31+AD，

22∴AD=2， 故答案为：2.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，关键是根据已知得出重叠部分是个八边形.

19．不变 【解析】 【分析】

连接OP，易知OP就是斜边AB上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么OP=【详解】 不变．连接OP，

在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线， 那么OP=

1AB，由于AB不变，那么OP也就不变． 21AB， 2由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．

故答案为：不变． 【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道木棍AB的长度不变，也就是斜边不变． 20．3 【解析】 【分析】

利用矩形的性质得到BC=AD=8，∠ABC=90°，再根据勾股定理计算出AC=10，接着利用折AF=AB=6，BE=FE，CE=8-x，叠的性质得∠AFE=∠ABE=90°，所以CF=4，设BE=x，则EF=x，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，即可得出结论. 【详解】

∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=8，∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=AB2BC2628210，

∵△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，

∴∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，BE=FE， ∴CF=10-6=4，

设BE=x，则EF=x，CE=8-x，

在Rt△CEF中，x2+42=（8-x）2，解得x=3， ∴BE=3， 故答案为：3. 【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质． 21．2-2 【解析】 【分析】

由正方形的性质可得AB=CD，∠COD=90°，OC=OD，∠ADB=∠ACD=∠CDO=45°，又因DE平分∠ODA，所以∠BDE=∠ADE=22．5°；在△ADE中，根据三角形的内角和定理可得∠CED=67．5°，所以∠CED=∠CDE=67．5°；根据等腰三角形的性质可得CD=CE=2；在等腰Rt△COD中，根据勾股定理求得OC=2，由此即可求得OE的长． 【详解】

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD，∠COD=90°，OC=OD，∠ADB=∠ACD=∠CDO=45°， ∵DE平分ODA， ∴∠BDE=∠ADE=22．5°,

∴∠CDE=∠BDE+∠CDO =67．5°；

在△ADE中，根据三角形的内角和定理可得∠CED=67．5°， ∴∠CED=∠CDE=67．5°， ∴CD=CE=2，

在等腰Rt△COD中，根据勾股定理求得OC=2， ∴OE=CE-OC=2-2. 故答案为2-2.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定及勾股定理，正确求得CE的长是解决问题的关键.

22．（1）7；（2）16. 【解析】 【分析】

（1）根据旋转的特性得出BC＝AO＝O′A′，AB＝CO＝CO'＝5，∠B＝∠O'＝90°，之后利用勾股定理根据题意建立方程求解即可

（2）将不规则的阴影部分分解成由两个三角形组成，之后分别求出两个方程面积相加即可 【详解】

解：（1）∵长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转得到矩形CO′A′B′ ∴BC＝AO＝O′A′，AB＝CO＝CO'＝5，∠B＝∠O'＝90°， ∵AD＝4，AB＝5， ∴BD＝5﹣4＝1，

设BC＝x，则DO'＝O'A'﹣A'D＝x﹣2， 连接CD，则BC2+BD2＝CD2＝CO'2+DO'2 即x2+12＝52+（x﹣2）2 解得：x＝7， ∴BC＝7；

（2）∵BC＝7，BD＝1，CO'＝5，DO'＝7﹣2＝5，∠B＝∠O'＝90°， ∴阴影部分的面积＝△BCD面积+△O'CD面积＝

11×7×1+×5×5＝16． 22

【点睛】

本题主要考查了在矩形旋转问题中与勾股定理的综合运用，熟练掌握旋转特性以及勾股定理是关键

23．(1)证明见解析；(2)BN＝2；(3)40°． 【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形斜边中线定理得BM=

1AC，由此即可证明． 2（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题； （3）根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】

解：(1)证明：在△CAD中，

∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，MN＝

1AD， 2在Rt△ABC中，∵M是AC中点， ∴BM＝

1AC， 2∵AC＝AD， ∴MN＝BM；

(2)∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， 由(1)可知，BM＝

1AC＝AM＝MC， 2∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°， ∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝30°， ∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90° ∴BN2＝BM2+MN2， 由(1)可知MN＝BM＝1， ∴BN＝2；

(3)∵∠BAD＝40°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝20°， 由(1)可知，BM＝

1AC＝AM＝MC， 2∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝40°， ∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝20°， ∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60° 由(1)可知MN＝BM＝1， ∴BN＝1． 故答案为：40°． 【点睛】

题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）利用数形结合的思想作出矩形即可；（2）利用数形结合的思想作出等腰三角形即可. 【详解】

解：（1）使∠DAB=∠CBA=90°，AD=CB作出矩形如图所示：

（2）根据底边长为22，勾股定理求出AB=10，然后用数形结合思想，作出等腰三角形如图所示：

【点睛】

本题考查作图的应用与设计、等腰三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 25．（1）22；（2）结论：EF垂直平分AD，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE，DF的长，进而可以求出周长；

（2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可. 【详解】

（1）∵AD是△ABC的高，

∴△ABD和△ACD均为直角三角形， 又∵E、F分别是AB、AC的中点 ∴DE=AE=1111AB=12=6，DF=AF=AC=10=5 2222∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=6+6+5+5=22 （2）结论：EF垂直平分AD，证明如下： 由（1）可知DE=AE，DF=AF， ∴EF在AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 【点睛】

本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键. 26．（1）见解析；（2）见解析；（3）

15cm. 2

【解析】 【分析】

（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断； （2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； （3）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解． 【详解】

（1）如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∴∠DBE=∠ADB， ∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；

（2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴FD∥BG 又∵DG∥BE ∴四边形BFDG是平行四边形 ∵DF=BF ∴四边形BFDG是菱形；

（3）设DF为xcm，则BF=xcm,AF＝(8-x)cm

在Rt△ABE中，由勾股定理得，62+（8-x）2＝x2，解得x=∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，∴BD=25, 4AB2AD26282=10，

∵四边形BGDF是菱形， ∴BD⊥FG， ∵ 10×FG×＝

12256， 4∴FG1515,∴FG的长为cm.

22【点睛】

考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强． 27．见解析. 【解析】 【分析】

∠ABE=∠BCF=90°由正方形的性质可知AB=BC，，已知BE=CF，即可证明△ABE≌△BCF. 【详解】

证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， 在△ABE和△BCF中，

ABBC,ABEBCF, BECF.∴△ABE≌△BCF． 【点睛】

本题主要是根据正方形的性质得到两个三角形中有关的角相等以及线段相等，充分运用全等三角形的判定方法证明两个三角形全等. 28．(1)DF=5；(2)S△DBF=10；S△DEF=6；(3)5. 【解析】 【分析】

（1）易证BF=FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长； DE=CD=4，∠E=90°EF=BE-BF=3，（2）由折叠的性质得BE=BC=8，，由S△DEF=S△DBF=S△BDE-S△DEF即可得出结果； （3）由勾股定理得出BD=BD•h，即可得出结果． 【详解】

解：(1)∵四边形ABCD是矩形

∴ADBC8，ABCD4，A90o，AD//BC ∴DBCFDB

由折叠性质得：DBCDBE， ∴FDBFBD ∴BFFD

设F到BD边上的距离为h，则S△DBF=ADAB45 ，

221 EF•DE，21 2

设AFx，则BFDF8x

在RtABF中，由勾股定理得：AB2AF2BF2 即：4x(8x)，解得：x3， ∴DF835

(2)由折叠的性质得：BEBC8，DECD4，∠E90o，

222EFBEBF853，

∴SDEFSDBF11EF•DE346 2211SBDESDEFBE•DE684610

22(3)BDAD2AB2824245 设F到BD边上的距离为h 则SDBF11BD•h，即：1045h，解得：h5 22∴F到BD边上的距离为5

【点睛】

本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键．