余杭区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B1 CD

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的

2． 双曲线

离心率为（ ） A．2

B．

C．4

2D．

3． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象 可以为（ ）

A． B． C. D． 4． 如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．

B．|a|＞|b|

C．a2＞b2

D．a3＞b3

5． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.

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6． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则则r=（ ） A．C．

B． D．

，类比这个结论可

知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，

7． 已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4

D．y=﹣x

8． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 9． 已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（ ） A．[1，+∞） B．[0.2} C．[1，2] D．（﹣∞，2]

10．若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（ ） A．[5，10]

B．（5，10）

C．[3，12]

D．（3，12）

11．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）

A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b 12．下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44

D．b＜1＜a

x44x24,gxx2 B．fx=x2C．fx1,gx1,x033 D．fx=x，gxx 1,x0

二、填空题

13．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=

2

π（）2dx=x3|=

．

据此类推：将曲线y=x与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．

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15．已知线性回归方程

=9，则b= ．

16．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

17．不等式ax2a1x10恒成立，则实数的值是__________.

18．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．

三、解答题

19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex． （1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；

23

（3）当m=0时，求证：f（x）≥x+x．

（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；

20．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一

2

年的销售量为（x﹣10）万件．

（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；

（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

21．已知函数f（x）=2x2﹣4x+a，g（x）=logax（a＞0且a≠1）． （1）若函数f（x）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m的取值范围； （2）若f（1）=g（1） ①求实数a的值；

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②设t1=f（x），t2=g（x），t3=2x，当x∈（0，1）时，试比较t1，t2，t3的大小．

22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

12x+2|x|x0223．已知函数f(x)．

(1)x1x02（1）画出函数f(x)的图像，并根据图像写出函数f(x)的单调区间和值域；

3（2）根据图像求不等式f(x)的解集（写答案即可）

2第 4 页，共 16 页

y321-3-2-10-1-2-3

24．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=（1）求（∁RA）∩B；

（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．

25．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若x=0，其中的偶数共有多少个？

（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．

}

123x第 5 页，共 16 页

26．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若

，求

的值．

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余杭区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得2． 【答案】D

【解析】解：双曲线

﹣

，故选D。

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，

22

∵渐近线被圆M：（x﹣8）+y=25截得的弦长为6，

∴

22∴a=3b， 22∴c=4b，

=4，

∴e==故选：D．

．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．

3． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 4． 【答案】D

【解析】解：若a＞0＞b，则

，故A错误；

若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误； 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．

5． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 6． 【答案】 C

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【解析】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 则四面体的体积为 ∴R=故选C．

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，上去．一般步骤： 得出一个明确的命题（或猜想）．

7． 【答案】A

【解析】解：∵点A（1，1），B（3，3）， ∴AB的中点C（2，2）， kAB=

=1，

∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为： y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4． 故选：A．

8． 【答案】A 【解析】

考

点：斜二测画法．

9． 【答案】C

22

【解析】解：f（x）=x﹣2x+3=（x﹣1）+2，对称轴为x=1．

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所以当x=1时，函数的最小值为2． 当x=0时，f（0）=3．

2

2

由f（x）=3得x﹣2x+3=3，即x﹣2x=0，解得x=0或x=2． 故选C．

2

∴要使函数f（x）=x﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．

10．【答案】A 【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b） 即

解得：x=3，y=1

即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b） ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4， ∴3≤3（a﹣b）≤6 故选A

y，是解答的关键．

∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，

11．【答案】A

【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，

作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：

∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

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12．【答案】D111] 【解析】

考

点：相等函数的概念.

二、填空题

13．【答案】 （0，2）

0

【解析】解：令x=0，得y=a+1=2 故答案为：（0，2）． 函数的图象必过的定点

14．【答案】 8π ．

【解析】解：由题意旋转体的体积V=故答案为：8π．

【点评】本题给出曲线y=x与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重

2

x

∴函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （0，2）

【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求

==8π，

考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．

15．【答案】 4 ．

【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4 故答案为：4

【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．

16．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，

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8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=． 故答案为：．

=．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

17．【答案】a1 【解析】

试题分析：因为不等式ax2a1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

a0a0当a0时，应满足，即，解得a1.1 22(a1)4a0(a1)0考点：不等式的恒成立问题. 18．【答案】

．

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=故答案是

Sh=．

×

×2×1=

2

．

【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．

三、解答题

19．【答案】

2x2

【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x+mx+m）e=0，所以x+mx+m=0．

2

因为函数f（x）没有零点，所以△=m﹣4m＜0，所以0＜m＜4．

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x2xx

（2）f'（x）=（2x+m）e+（x+mx+m）e=（x+2）（x+m）e，

令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m， 当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表： x

（﹣∞，﹣m） ﹣m （﹣m，﹣2） ﹣2

0

﹣

m

（﹣2，+∞） +

0 ↘

f'（x） + f（x） ↗

me﹣m 2

（4﹣m）e﹣ ↗

当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣． 所以f（x）无极大值．

2x

当m=2时，f'（x）=（x+2）e≥0，f（x）在R上为增函数，

当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：

x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，﹣m） ﹣m （﹣m，+∞） f'（x） + f（x） ↗

0

﹣

2

0 ↘

+ me﹣m

↗

2

（4﹣m）e﹣

当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣， 所以

2xxx

（3）当m=0时，f（x）=xe，令ϕ（x）=e﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e﹣1，

当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数， 所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．

2x2323

因此xe≥x+x，即f（x）≥x+x．

xx

所以φ（x）≥φ（0）=0，e﹣1﹣x≥0，所以e≥1+x，

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解 析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为： L（x）=（x﹣7）（x﹣10）2，x∈[7，9]， 令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），

2

（Ⅱ）L′（x）=（x﹣10）+2（x﹣7）（x﹣10）=3（x﹣10）（x﹣8），

∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0， ∴L（x）在x∈[7，8]上单调递增，在x∈[8，9]上单调递减， ∴L（x）max=L（8）=4；

答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4万元．

【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．

21．【答案】

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【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1， 所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， 因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调， 所以3m＞1，…（2分） 得

，…（3分）

（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分） 所以实数a的值为2．…

②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， t2=g（x）=log2x， t3=2x，

所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分） t2∈（﹣∞，0），…（9分） t3∈（1，2），…（11分） 所以t2＜t1＜t3．…（12分）

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 22．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

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23．【答案】（1）图象见答案，增区间：,2，减区间：2,，值域：,2；（2）3,1。 【解析】

试题分析：（1）画函数fx的图象，分区间画图，当x0时，fx口向下，配方得fx12x2x，此时为二次函数，开2112x4xx22，可以画出该二次函数在x0的图象，当x0时，2211fx()x1，可以先画出函数y()x的图象，然后再向下平移1个单位就得到x0时相应的函数图

223

象；（2）作出函数fx的图象后，在作直线y，求出与函数fx图象交点的横坐标，就可以求出x的

2

取值范围。本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。 试题解析：（1）函数fx的图象如下图所示：

由图象可知：增区间：,2，减区间：2,，值域为：,2。 （2）观察下图，fx

3的解集为：3,1。 2考点：1.分段函数；2.函数图象。 24．【答案】

2

【解析】解：（1）A={x|x+2x＜0}={x|﹣2＜x＜0}，

B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，

∴∁RA={x|x≤﹣2或x≥0}， ∴（∁RA）∩B={x|x≥0}；…

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（2）当a≥2a+1时，C=∅，此时a≤﹣1满足题意； 当a＜2a+1时，C≠∅， 应满足

，

解得﹣1＜a≤﹣； 综上，a的取值范围是

25．【答案】

【解析】

．…

【专题】计算题；排列组合．

【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；

（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案； 位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值． 【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，

2

在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A3=6种情况，

即能被5整除的三位数共有6个； （2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；

又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，

3

取出的三个数字为1、2、9时，有A3=6种情况， 3

取出的三个数字为2、4、9时，有A3=6种情况，

则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数； （3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；

又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，

111

当末位是2或4时，有A2×A2×A2=8种情况，

2

当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A3=6种情况，

此时三位偶数一共有6+8=14个，

111

（4）若x=0，可以组成C3×C3×C2=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，

则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，

故x=0不成立；

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111

当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C4×C3×C2=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，

则每个数字用了=18次，

则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7． 两种情况讨论．

【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否26．【答案】

【解析】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE又AE⊥DE ∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴DE是的⊙O切线

（II）解：过D作DH⊥AB于H， 则有∠DOH=∠CAB

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x 由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x 又由△AEF∽△DOF可得

∴

【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．

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