数学建模产品生产销售问题论文

产品生产销售优化问题

（宝鸡文理学院 物理系 段文瑞 数学系 韩莹 张晔）

摘要： 本问题属于产品生产销售优化模型，通过对某企业生产的手工产品的生产销售及其他因素的具体分析，我们可以列出许多不同变量，从而确定目标函数和约束条件，利用线性规划的方法，使用LINDO软件得出结果。对于问题（1），在不促销的情况下，成本最小为1164492元 ，利润最大为1110518元，每月的生产量分别为835，1365，1575，1475，1600，1500件，每月工人的数量为8，13，15，14，15，14人；对于问题（2），7月份促销的情况下，成本最小为1164578元，利润最大为935422元 ，11月份促销的情况下，成本最小为1164692元 ，利润最大为935308元。通过比较可以得出：不促销时，成本最小利润最大。本模型为该企业的生产销售提供了可行性方案。 关键字：利润最大化 成本 生产 销售 线性规划

1

一、问题重述：

企业生产一种手工产品，在现有的营销策略下，根据往年经验，现对下半年6个月的产品需求预测如表1所示。

表1 产品需求预测估计值（件）

10月份 7月 8月 9月 月 120预计估计值 0 0 0 0 0 0 140155150月 160月 15011127月初工人数为12人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。7月出的库存量为400台。产品的销售价格为260元/件。该产品的销售特点是，如果当月的基本需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。12月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。

表2 产品各项成本的费用 原材料成本 100元/件 解聘费用 100元/人 库存成本 10元/件/月 产品加工时间 1.6小时/件 缺货损失 20元/件/月 工人正常工资 12元/小时/人 外包成本 20元/件 工人加班工资 18元/小时/人 培训费用 50元/人 （1） 建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；

（2） 预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为240元/件时，则接

下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就7月份（淡季）促销和11月

2

份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销方案。

二．问题分析：

通过对产品生产销售优化问题的分析，可把问题转化为生产成本最低问题，而生产成本又与原料成本，库存成本，缺货成本，包装成本，培训成本，解雇费用，工人正常工资和加班工资有关，总成本=原料及包装成本+库存成本+缺货成本+培训成本+解雇费用+工人正常工资+加班工资，要使成本最小.利润最大，就必须求出成本最低方案。

由上面部分，可设每月生产的产品数量Xi，每月的缺货量Yi,,每月的库存量Zi,每月解雇的工人数Mi ,每月培训的工人数Ni ,每月所有工人总加工时间Ti ,每月的工人数Si ,其中i=1,2,3,4,5,6.可得总成本的表达式为：

M=

120X20Y10Z100Mi50N2016S18T

iiiiiii16再根据题中约束条件，可列出线性关系，利用线性方程规划原理，使用Lindo软件，得出最优解，再根据程序运行结果对7月份和11月份促销方案进行判断、并改变相应的数字利用Lindo求解，得到最优结果与未促销时的方案比较得到最优的产销规划方案。 三．模型假设：

（1）所有工人都在正常情况下（不允许请假离职）工作； （2）工厂正常生产且销售连续不间断； （3）生产的产品都合格且都进行外包装；

（4）市场稳定即各项费用及销售价格均不发生变化 ；

（5）在问题（2）中，促销只把12月份的需求提前到促销月11月中； （6）假设预计需求量就是销售量 ；

3

四．符号说明：

Xi : i+6月生产的产品数量（i=1…6） Yi : i+6月末的缺货量 (i=1…6) Zi :i+6月末的库存量(i=1…6) Mi :i+6月解雇的工人数(i=1…6) Ni :i+6月培训的工人数(i=1…6) Ti : i+6月所有工人总加工时间(i=1…6) Si ：i+6月的工人数(i=1…6) Ki ：i+6月的预计销售量（i=1…6)

五．模型建立与求解

（一）问题（1）：

通过对生产销售问题的分析可得，目标函数为： min M=

120X20Y10Z100Mi50N2016S18T

iiiiiii16约束条件：（1）第i+6月，所有工人正常工作8小时的加工产品件数（21*8/1.6）

*Si

和加班时的加工件数Ti/1.6与生产件数Xi满足(21*8/1.6)*Si+0.625Ti-Xi>0（i=1……6）(2)七月初人数为12人：S0=12; 则i+6月的人员调动满足:Si-1-Si=Mi-Ni; (3)在i+6月加工时间应满足：10Si-Ti>0 (i=1……6);

(4)在i+6月生产量在满足本月预计需求的情况下与相邻两月的库存量或缺货量满足：Xi+Yi-Zi-Yi-1+Zi-1=Ki;其中Ki=1200,1400,1550,1500,1600,1500; (5)

生

产

量

和

七

月

初

的

库

存

总

和

满

足

：

4

Xi=1200+1400+1550+1500+1600+1500-400=8350；

i16编写程序用LinDo软件运行结果的(程序及运行结果见附录一)

不促销时成本最低的方案 表一

生产量 件 缺货量 件 库存量 件 解雇人数 X1 X2 835 Y1 1365 X3 1575 X4 1475 X5 1600 X6 1500 总成本1164492元，预计销售额：260*8750=2275000元,利润=预计销售额-总成本=1110508元。

Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 48 S6 14 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 1 T5 40 S5 15 Y4 0 Z4 0 M4 1 N4 0 T4 8 S4 14 Y3 0 Z3 25 M3 0 N3 1 T3 0 S3 15 Y2 0 0 Z1 Z2 35 0 M1 M2 5 2 人 雇用人数 N1 N2 0 0 人 加工时间 T1 T2 0 0 S1 S2 8 13 小时 工人数 人 5

（二）问题（2）：本问题第一部分的模型在七月份进行促销只需对问题（1）模型中（4）

的Ki值做适当调整，其中K1=1200+1400*6%+1550*6%=1377， K2=1400*(1-6%)=1316, K3=1550*(1-6%)=1457, K4=1500, K5=1600, K6=1500;

分别表示七月促销时，第7,8,9,10,11,12月的销售量。 编写程序用LinDo软件运行结果(程序及运行结果见附录二)

7月促销时成本最低的方案 表二

生产量 件 缺货量 件 库存量 件 解雇人数 X1 1033 X2 1260 X3 1470 X4 148Y4 0 Z4 0 M4 1 N4 0 T4 27 S4 14 Y3 0 Z3 13 M3 0 N3 0 T3 0 S3 14 Y2 0 Z2 0 M2 2 N2 0 T2 0 S2 12 Y1 0 Z1 56 M1 0 人 雇用人数 N1 0 人 加工时间 T1 0 S1 10 小时 工人数 人 6

7 X5 1600 X6 1500 总成本：1164578元，预计销售额：240*1377+260（1316+1457+1500+1600+1500）=2247720元，利润=预计销售额-总成本=1083142元；

本问题第二部分的模型在十一月份进行促销只需对问题（1）模型中（4）式中的Ki做适当调整得其中K1=1200，

K2=1400， K3=1550， K4=1500,

K5=1600+1500*6%=1690, K6=1500*(1-6%)=1410.

分别表示十二月促销时，第7,8,9,10,11,12月的销售量 编写程序用lindo软件运行结果的(程序及运行结果见附录三)

11月促销时成本最低的方案 表三

生产量 件 缺货量 件 库存量 件 解雇人数 人 雇用人数 人 加工时间 小时 工人数 人 Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 48 S6 14 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 1 T5 40 S5 15 7

X1 X2 835 Y1 1365 Y2 0 0 Z1 Z2 35 0 M1 M2 5 2 N1 N2 0 0 T1 T2 0 0 S1 S2 8 13 X3 1575 Y3 0 Z3 25 M3 0 N3 1 T3 0 S3 15 X4 1475 Y4 0 Z4 0 M4 2 N4 0 T4 8 S4 14 X5 1690 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 3 T5 16 S5 16 X6 1410 Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 72 S6 13 总成本;1164692元， 预计销售额:240*1690+260*（1200+1400+1550+1500+1410）=2241200元，利润=预计销售额-总成本=1076508元。 六．模型解释：

(1)第一问：通过模型分析、建立及程序运行结果:

当在七月份8名员工不加班的情况下能生产835件产品，本月底有库存35件，为下月培训新员工5人；在八月份13名员工不加班的情况下能生产1365件产品，本月底既不库存也不缺货，并招新培训2名员工；在九月份15名员工不加班的情况下能生产1575 件产品，本月底有库存35件，解聘1人；在十月份14名员工加班8小时的情况下能生产1475件产品，本月底既不库存也不缺货 并招新培训1名员工；在十一月份15名员工加班40小时的情况下能生产1600 件产品，本月底既不库存也不缺货解聘1人；在十二月份14名员工加班48小时的情况下能生产1500件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解

8

聘员工；

通过对“影子价格”的分析知：当10,11,12月份的产量每增加1件时，成本可减少28.79元，对各个月加班时间适当调整不影响成本。

(2)第二问：通过对七月份进行促销的模型分析、建立及程序运行得结果：

当在七月份10名员工不加班的情况下能生产1033件产品，本月底有库存56件，既不招新也不解聘员工；在八月份12名员工不加班的情况下能生产1260件产品，本月底既不库存也不缺货，并招新培训2名员工；在九月份14名员工不加班的情况下能生产1470 件产品，本月底有库存13件，既不招新也不解聘员工；在十月份14名员工加班的27小时情况下能生产1487件产品，本月底 既不库存也不缺货，并招新培训1名员工；在十一月份15名员工加班40小时的情况下能生产1600 件产品，本月底既不库存也不缺货，解聘1人；在十二月份14名员工加班48小时的情况下能生产1500件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解聘员工；

通过对“影子价格”的分析知对10,11,12月份的产量每增加一件成本可减少28.79元，对各个月加班时间适当调整不影响成本。

(3)通过对十一月份进行促销的模型分析、建立及程序运行得结果;

当在七月份8名员工不加班的情况下能生产835件产品，本月底有库存35件，解聘5名员工；在八月份13名员工不加班的情况下能生产1365件产品，本月底既不库存也不缺货，解聘2名员工；在九月份15名员工不加班的情况下能生产1575 件产品，本月底有库存25件，招聘新1员工；在十月份14名员工加班的8小时情况下能生产1475件产品，本月底既不库存也不缺货，并解聘2名员工；在十一月份16名员工加班16小时的情况下能生产1690 件产品，本月底既不库存也不缺货，招新3名员工；在十二月份13名员工加班72小时的情况下能生产1410件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解聘员

9

工。

通过对“影子价格”的分析知：当10,11,12月份的产量每增加一件时，成本可减少28.79元，对各个月加班时间适当调整不影响成本。

通过对三个方案结果的比较，不促销时，利润最大，所以我们认为，应采用方案一。 六，模型应用与推广

本模型适用于企业工作人员任意变动，加班时间任意变化的优化模型；当销售量变化时，只需对模型中的相应Ki作以修改；本模型的条件中每月加班时间不超过10小时，如改变需对模型适当修改。在问题（2）中，我们只考虑利润，而确定了方案一比较好，没有考虑销售时间，如对时间有规定，则可对模型稍作改动，就可求解。 【参考文献】

【1】王兵团。数学建模基础[M].北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004。 【2】王连堂主编，《数学建模》，西安：陕西师范大学，2008,.5。

【3】姜启源，谢金星，叶俊。数学建模（第三版）【M】.北京：高等教育出版社，2003。 【4】《优化建模与LINDO/LINDO软件》，谢金星，薛毅编著，北京：清华大学出版社，

2005,7。

【5】姜启源，数学模型【M】.北京：高等教育出版社，1993.2

10

11

附录一

程序：

min

120x1+120x2+120x3+120x4+120x5+120x6+20y1+20y2+20y3+20y4+20y5+20y6+10z1+10z2+10z3+10z4+10z5+10z6+100m1+100m2+100m3+100m4+100m5+100m6+50n1+50n2+50n3+50n4+50n5+50n6+2016s1+2016s2+2016s3+2016s4+2016s5+2016s6+18t1+18t2+18t3+18t4+18t5+18t6 st

105s1+0.625t1-x1>0 105s2+0.625t2-x2>0 105s3+0.625t3-x3>0 105s4+0.625t4-x4>0 105s5+0.625t5-x5>0 105s6+0.625t6-x6>0 s0=12

s2-s1-m1+n1=0 s3-s2-m2+n2=0 s4-s3-m3+n3=0+

12

s5-s4-m4+n4=0 s6-s5-m5+n5=0

x1+x2+x3+x4+x5+x6=8350 x1+y1-z1=800 x2+y2-z2-y1+z1=1400 x3+y3-z3-y2+z2=1550 x4+y4-z4-y3+z3=1500 x5+y5-z5-y4+z4=1600 x6+y6-z6-y5+z5=1500 10s1-t1>0 10s2-t2>0 10s3-t3>0 10s4-t4>0 10s5-t5>0 10s6-t6>0 end gin 36

运行结果：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

26)

1164492.

13

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 835.000000 120.000000 X2 1365.000000 120.000000 X3 1575.000000 120.000000 X4 1475.000000 148.800003 X5 1600.000000 148.800003 X6 1500.000000 148.800003 Y1 0.000000 20.000000 Y2 0.000000 20.000000 Y3 0.000000 20.000000 Y4 0.000000 20.000000 Y5 0.000000 20.000000 Y6 0.000000 20.000000 Z1 35.000000 10.000000 Z2 0.000000 10.000000 Z3 25.000000 10.000000 Z4 0.000000 10.000000 Z5 0.000000 10.000000 Z6 0.000000 10.000000 M1 5.000000 100.000000 M2 2.000000 100.000000 M3 0.000000 100.000000

14

M4 1.000000 100.000000 M5 0.000000 100.000000 M6 0.000000 100.000000 N1 0.000000 50.000000 N2 0.000000 50.000000 N3 1.000000 50.000000 N4 0.000000 50.000000 N5 1.000000 50.000000 N6 0.000000 50.000000 S1 8.000000 2016.000000 S2 13.000000 2016.000000 S3 15.000000 2016.000000 S4 14.000000 -1008.000000 S5 15.000000 -1008.000000 S6 14.000000 -1008.000000 T1 0.000000 18.000000 T2 0.000000 18.000000 T3 0.000000 18.000000 T4 8.000000 0.000000 T5 40.000000 0.000000 T6 48.000000 0.000000 S0 12.000000 0.000000

15

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 -28.799999 6) 0.000000 -28.799999 7) 0.000000 -28.799999 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000 20) 0.000000 0.000000

16

21) 80.000000 0.000000 22) 130.000000 0.000000 23) 150.000000 0.000000 24) 132.000000 0.000000 25) 110.000000 0.000000 26) 92.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 272

BRANCHES= 27 DETERM.= 1.000E 0

附录二

程序：

min

120x1+120x2+120x3+120x4+120x5+120x6+20y1+20y2+20y3+20y4+20y5+20y6+10z1+10z2+10z3+10z4+10z5+10z6+100m1+100m2+100m3+100m4+100m5+100m6+50n1+50n2+50n3+50n4+50n5+50n6+2016s1+2016s2+2016s3+2016s4+2016s5+2016s6+18t1+18t2+18t3+18t4+18t5+18t6 st

105s1+0.625t1-x1>0 105s2+0.625t2-x2>0 105s3+0.625t3-x3>0 105s4+0.625t4-x4>0 105s5+0.625t5-x5>0

17

105s6+0.625t6-x6>0 s0=12

s2-s1-m1+n1=0 s3-s2-m2+n2=0 s4-s3-m3+n3=0+ s5-s4-m4+n4=0 s6-s5-m5+n5=0

x1+x2+x3+x4+x5+x6=8350 x1+y1-z1=977 x2+y2-z2-y1+z1=1316 x3+y3-z3-y2+z2=1457 x4+y4-z4-y3+z3=1500 x5+y5-z5-y4+z4=1600 x6+y6-z6-y5+z5=1500 10s1-t1>0 10s2-t2>0 10s3-t3>0 10s4-t4>0 10s5-t5>0 10s6-t6>0 end gin 36

18

运行结果:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

26)

1164578.

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1033.000000 120.000000 X2 1260.000000 120.000000 X3 1470.000000 120.000000 X4 1487.000000 148.800003 X5 1600.000000 148.800003 X6 1500.000000 148.800003 Y1 0.000000 20.000000 Y2 0.000000 20.000000 Y3 0.000000 20.000000 Y4 0.000000 20.000000 Y5 0.000000 20.000000 Y6 0.000000 20.000000 Z1 56.000000 10.000000 Z2 0.000000 10.000000 Z3 13.000000 10.000000 Z4 0.000000 10.000000 Z5 0.000000 10.000000 Z6 0.000000 10.000000

19

M1 2.000000 100.000000 M2 2.000000 100.000000 M3 0.000000 100.000000 M4 1.000000 100.000000 M5 0.000000 100.000000 M6 0.000000 100.000000 N1 0.000000 50.000000 N2 0.000000 50.000000 N3 0.000000 50.000000 N4 0.000000 50.000000 N5 1.000000 50.000000 N6 0.000000 50.000000 S1 10.000000 2016.000000 S2 12.000000 2016.000000 S3 14.000000 2016.000000 S4 14.000000 -1008.000000 S5 15.000000 -1008.000000 S6 14.000000 -1008.000000 T1 0.000000 18.000000 T2 0.000000 18.000000 T3 0.000000 18.000000 T4 27.200001 0.000000

20

T5 40.000000 0.000000 T6 48.000000 0.000000 S0 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 17.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 -28.799999 6) 0.000000 -28.799999 7) 0.000000 -28.799999 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000

21

20) 0.000000 0.000000 21) 100.000000 0.000000 22) 120.000000 0.000000 23) 140.000000 0.000000 24) 112.800003 0.000000 25) 110.000000 0.000000 26) 92.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 202

BRANCHES= 20 DETERM.= 1.000E 0

附录三

程序：

min

120x1+120x2+120x3+120x4+120x5+120x6+20y1+20y2+20y3+20y4+20y5+20y6+10z1+10z2+10z3+10z4+10z5+10z6+100m1+100m2+100m3+100m4+100m5+100m6+50n1+50n2+50n3+50n4+50n5+50n6+2016s1+2016s2+2016s3+2016s4+2016s5+2016s6+18t1+18t2+18t3+18t4+18t5+18t6 st

105s1+0.625t1-x1>0 105s2+0.625t2-x2>0 105s3+0.625t3-x3>0 105s4+0.625t4-x4>0 105s5+0.625t5-x5>0

22

105s6+0.625t6-x6>0 s0=12

s2-s1-m1+n1=0 s3-s2-m2+n2=0 s4-s3-m3+n3=0+ s5-s4-m4+n4=0 s6-s5-m5+n5=0

x1+x2+x3+x4+x5+x6=8350 x1+y1-z1=800 x2+y2-z2-y1+z1=1400 x3+y3-z3-y2+z2=1550 x4+y4-z4-y3+z3=1500 x5+y5-z5-y4+z4=1690 x6+y6-z6-y5+z5=1410 10s1-t1>0 10s2-t2>0 10s3-t3>0 10s4-t4>0 10s5-t5>0 10s6-t6>0 end gin 36

23

运行结果：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1164692.

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 835.000000 120.000000 X2 1365.000000 120.000000 X3 1575.000000 120.000000 X4 1475.000000 148.800003 X5 1690.000000 148.800003 X6 1410.000000 148.800003 Y1 0.000000 20.000000 Y2 0.000000 20.000000 Y3 0.000000 20.000000 Y4 0.000000 20.000000 Y5 0.000000 20.000000 Y6 0.000000 20.000000 Z1 35.000000 10.000000 Z2 0.000000 10.000000 Z3 25.000000 10.000000 Z4 0.000000 10.000000 Z5 0.000000 10.000000 Z6 0.000000 10.000000

24

M1 5.000000 100.000000 M2 2.000000 100.000000 M3 0.000000 100.000000 M4 2.000000 100.000000 M5 0.000000 100.000000 M6 0.000000 100.000000 N1 0.000000 50.000000 N2 0.000000 50.000000 N3 1.000000 50.000000 N4 0.000000 50.000000 N5 3.000000 50.000000 N6 0.000000 50.000000 S1 8.000000 2016.000000 S2 13.000000 2016.000000 S3 15.000000 2016.000000 S4 14.000000 -1008.000000 S5 16.000000 -1008.000000 S6 13.000000 -1008.000000 T1 0.000000 18.000000 T2 0.000000 18.000000 T3 0.000000 18.000000 T4 8.000000 0.000000

25

T5 16.000000 0.000000 T6 72.000000 0.000000 S0 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 -28.799999 6) 0.000000 -28.799999 7) 0.000000 -28.799999 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000

26

20) 0.000000 0.000000 21) 80.000000 0.000000 22) 130.000000 0.000000 23) 150.000000 0.000000 24) 132.000000 0.000000 25) 144.000000 0.000000 26) 58.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 270

BRANCHES= 27 DETERM.= 1.000E 0

论文题目

产品生产销售优化问题

27

1 2 3

姓 名 张晔 段文瑞 韩莹 专业 数学系 物理系 数学系 28