２００９年第６期 中学数学教学 ２５ 一道高考试题的另解 （邮编：２３８３００） 安徽省无为第一中学 仰宏丽 试题 已知二次函数Ｙ—ｇ（－ｚ）的导函数的 图像与直线ｙ一２ｘ平行，且Ｙ—ｇ（ ）在ｚ一一１ 处取得极小值ｍ一１（ ≠Ｏ）．设－厂（ ）一 ． （１）若曲线ｙ＝：＝厂（ ）上的点Ｐ到点Ｑ（Ｏ，２） 的距离的最小值为￣／２，求 的值； （２）ｋ（ｋ Ｅ－Ｒ）如何取值时，函数 一厂（ｚ）一 存在零点，并求出零点． 此题为２００９年高考广东卷第２Ｏ题，该题的 第（２）问对新课标新增内容之一——函数的零 点进行了考察．求函数的零点常用的数学思想是 转化与化归思想，即将求函数的零点转化为求对 应方程的根．此题恰好可转化成求一元二次方程 的根．而对一元二次方程的根的讨论我们是很熟 悉的．所以此题一转化以后，解答起来就不困难 了．《２００９年全国各省市高考试卷总汇及详解》提 供的解答依据的就是这一思路．具体解答如下： 解 （２） ＝＝： （ ）一ｋｘ的零点即方程 ＋ （１一ｋ）ｘ＋２—０的解，（注：易求得厂（ｚ）一 ｚ ＋ｚ＋２ １．Ｉ 因为 ≠０，所以 ＋（１一 ）ｚ＋２—０与 Ｚ （愚一１） 一２ｘ—ｍ一０有相同的解． ①若志＝＝＝１，（愚一１） 一２ｘ—ｍ一０ 一一 ｍ≠０． 所以函数Ｙ一厂（ ）一 有零点ｚ一～ ． ②若是≠１，（是一１）－ｚ。一２ｘ— 一０的判别 式△一４１１＋ｍ（ｋ一１）］， 若Ａ—ｏ 忌一１一 ，此时函数Ｙ一厂（Ｌｚ）一 有一个零点ｚ一一 ． 若△＞Ｏ １＋ｍ（ｋ一１）＞０，故当 ＞０， 忌＞１—１或 ＜０，是＜１一 时， 方程（忌一１） 。一２ｘ—ｍ一０有两个解－ｚｌ一 １－＋－￣／ １－Ｆ ｏｒ广（ｋ－－１）和 一—１－—，，／ １－Ｆ ｍ—ｒ（ｋ－－１）， 一１ 一１ 此时函数ｙ一厂（ｚ）一ｋｘ有两个零点 和ｌｚ２． 若△＜０ １＋ｍ（ｋ一１）＜０， 故当 ＞０，志＜１一 或ｍ＜０，ｋ＞１一 时， 方程（尼一１）ｌｚ。一２ｘ—ｍ一０无实数解，此时 一厂（ｚ）一ｋｘ无零点． 以上的解答由１＋ｍ（ｋ一１）＞０得到ｍ＞０， 志＞１一 或 ＜０，志＜１一 有些迁强；另外， 联想到平时遇到的函数零点问题很多都不能转 化为我们熟悉的一元二次方程的根，而是三次方 程或超越方程的根．而三次方程或超越方程的根 是很难求的，这样就达不到转化的目的．由此，我 就想：该题有无其它解法？思考之后，我发现该题 也可如下作答： 由题目条件可求得：－厂（ ）一一ｍ＋ｚ＋２， 故 一厂（ｚ）一 一 ＋ｚ＋２一如， 令Ｙ一０得：丝一（最一１） 一２， 则原问题转化为求双曲线Ｙ一一ｍ与过定点 （Ｏ，一２）的直线的交点个数的问题． （１）当最一１时，画图可知，双曲线与直线有 一个交点（一罟，一２），所以函数 一厂（．ｚ）一 有一个零点ｚ一一 ｍ； （２）当志一１≠０时， 若ＩＴ／＞０，则： ２６ 中学数学教学 ２００９年第６期 ①当ｋ—ｌ＞０时，由图可得：双曲线与直线 １一、 ＿二 有两个交点．即函数 一－厂（ｚ）一如有两个零点． 一——— ＝＝＿广一 ②当ｋ一１＜０时，令过点（０，一２）且与ｙ一 当是一１一 时，函数 一，（ ）～ｂ有一 相切的直线 ：ｙ一是 一２且切点为（ｚ。，ｙ。）， ．２７ 个零点为 一一 则： 当ｋ＜１一 时，函数Ｙ一厂（ ）一ｋｘ无零 ｛ｆＩ ｋ ｚ－－ 解得点． ：【 ｋ ｚ 一２ ｛一一 ， ｌ ～。 一一 ’ 若 ＜０，同理可得： 一０ 所以结合图形可知： 当ｋ＜１一 ，函数 一厂（ ）一 有两个零 点为 一—１＋，，／ １＋ ｅｒ—广（ｋ－－１）， 定——上 １一 ＿＝ｊ ．＝＝二＿ｊ 一５＼ — ’ ０ ５ ｌ（ ｚ一——— ＝＝＿广一 —Ｉ 当ｋ一１—１时，函数 一＿厂（ｚ）一 有一 个零点为 ＝＝＝一 ； 当ｋ＞１—１时—ｆ ，函数Ｙ一－厂（ ）～ 无零 ＼ ＼ ｙ＝ｋ＇ｘ－２ 一｛ ，…一ｒ 一１、 一， 点． 综上： （ａ）当是～１一是 即是一１一 时，直线 （１）当ｋ＝＝＝１时，函数ｙ一＿厂（ ）一 有一个 （志一１） 一２与双曲线ｙ一 仅有一个交点（一 零点为 一一 ； ，一１），所以函数ｙ： （ ）一 有一个零点为 （２）当ｋ≠１时， ３７一—— ： 当 ＞ｏ，志＞ｌ一 或 ＜０，ｋ＜１一 时， ｍ （ｂ）当ｋ一１＜ｋ 即ｋ＜１一 时，直线ｌ与 Ｔｔ＇ｌ 函数 一 （ ）一ｈ有两个零点为 双曲线无交点，所以函数Ｙ一厂（ ）一 无零点； ，ＺＩ一１＋、——— ／１＋ｍ（ｋ一１）二 —一 ’ （ｃ）当ｋ一１＞ｋ 即ｋ＞１一ｌｌ一时，直线ｚ与 ｝｝ｔ １一√１＋ （ 一１） 双曲线有两个交点，所以函数 一厂（ ）一妇有 ｚ 一———百二ｒ一 两个零点． 当ｋ一１一 时，函数ｙ一＿厂（ ）一ｋｘ有一 ｆ｝ｔ 由上可知： 个零点为 一～Ⅲ； 当ｋ＞１或ｋ＞１一 即ｋ＞１一 时，函 ｉｌ ｉ ｙＬ 当Ⅲ＞０，ｋ＜１一 或ｍ＜０，ｋ＞１一 时， ｒＨ ｌ ｙＬ 数Ｙ一厂（ ）一ｂ有两个零点． 函数Ｙ一厂（ｚ）一 无零点． 由丝一（志一１） 一２得： （收稿日期：２００９—０９—２６） １＋ ／Ｔ 二 一——— 广一’