华中师范大学2013年随机过程试题A卷附答案

 -- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -------学号：---- -- --- -- -- -- --- -- -- -- ---- 线 ： ------姓名-------学生---- -- --- -- -- --- 封 -： ----年级----- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- 密 --专业：------ -- -- --- -- -- -- --- -- -- --： ）---------院（系---------- 华中师范大学 2012 –2013 学年第 1学期 期末考试试卷（A卷答案） 课程名称 应用随机过程 课程编号 83610101 任课教师 李波 题型 一 二 三 四 五 总分 分值 10 26 30 24 10 100 得分 得分 评阅人 一、判断题：（共5题，每题2分） 1． 随机过程X(t,)固定时可以看成是一个t的函数，称为过程的一个轨道。（ T ） 2． 泊松过程是连续时间马氏链，是纯生过程的一个特例。 （ T ） 3． 有限状态的马氏链状态的一个状态i如果正常返就是遍历。 （ F ） 4． 零均值独立随机变量序列的部分和是鞅。 （ T ） 5． 设Bt是标准布朗运动，则YttBt也是标准布朗运动。 （ F ） 得分 评阅人 二、证明题：（共3题，6 、7题8分 8题10分，） 6． 14．设X1(t)和X2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明 （1）Y(t)X1(t)X2(t)是具有参数1+2的泊松过程； （2）证明Z(t)X1(t)X2(t)不是泊松过程。 证明(1) 显然{Y(t)}是独立增量过程，且P{Y(t)Y(t)n} =P{X1(t)X2(t)X1(t)X2(t)n}

P{X1(t)X1(t)X2(t)X2(t)n} = i0nP{X2(t)X2(t)ni}P{X1(t)X1(t)i} 1= i0ne(1)i(2)ni2 ei!(ni)!=e(12)((12))n故{Y(t)}服从参数(12)的泊松过程。 5分 n!（2）EZ(t)E[X1(t)X2(t)]EX1(t)EX2(t)(12)t, DZ(t)D[X1(t)X2(t)]DX1(t)DX2(t)(12)t 由于EZ(t)DZ(t)，故Z(t)不是泊松过程。 8分 7 .设 X(n)sinUn,nN，这里U为(0,2)上的均匀分布。证明X(n)sinUn是宽平稳过程。 EX(n)20sintn1dt0 3分 2 EX(n)X(n)20211sin(tn)sin[(n)t]dt{cos[(2n)t]cos[t]}dt 022cos[t]021dt 只与有关。所以是宽平稳过程。 8分 2 8．设Zi,i1,2,...为一串独立同分布的离散随机变量，P(Zik)pk,nk0,1,2,... 记 XnZi，X00试证Xn为马氏链，写出Xn的状态空间和转移矩阵。 i1证明：独立增量所以马氏 状态空间{0,1,2,} 5分 p000转移矩阵P0p1p000p2p1p00p3p2p1p0 8分 p1 第 1 页(共 3 页)

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 得分 评阅人 三、计算题：（共3题，每题10分） 9．某网站以顾客的接入时长收费，每单位时间一元钱。假设顾客以强度 的Poisson过程N(t) 进入该网站，进入即开始计算使用时长，试计算该网站(0,t]收益的期望。 解：由题意设顾客的到达时间为i，则使用时长为 ti N(t)总收费为S(t)N(t)k1(tk1k) N(t)k1E(S(t))E{(tk)}E{E[(tk)|N(t)]} N(t)k1nE[(tk)|N(t)n]ntE[k|N(t)n] k1由定理在 N(t)=n条件下n个k的联合分布等价与[0,t]上n个相互独立服从均匀分布的随机变量 t1nt的联合分布。所以可计算E[k|N(t)n]E[Uk]nxdx 0t2k1k1nn t2ntt E(S(t))(nt)P{N(t)n}nP{N(t)n}222n1n111． 设河流每年的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次Markov链，状态空间I={1，2，3}，是按BOD浓度为低，中，高分别表示的，BOD浓度高时河流视为被污染，其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为 0.90.050.050.1P=0.10.8 0.20.10.71）求该Markov链的平稳分布 2) 求河流再次达到污染的平均时间（即状态 3 的平均返回时间）。 解： 1） 易知此Markov链式遍历的，则平稳分布存在，由定理可得方程组 10.910.120.230.050.80.12123  0.050.10.712331231解上述方程组得平稳分布为

1=1034=0.5882 2==0.23594 3==0.17647 … … … … 8分 17171717=5.667年 … … … … … … … …10分 32） 状态3的平均返回时间 u3= 11.分支过程中一个体产生后代的分布为p0数的均值方差及全体消亡概率。 解：Xn111,p1,p2,初始为一个母体，试求第n代个424Zi1Xn1i E(Xn)E(Xn1)n DXnDZn{1EXn1,DXn1412n 214n1}=nDZ 5分 (s)sss2, 解得消亡概率为s1 10分 得分 评阅人 四、综合题：（共2题，每题12分） 12 机器维修问题。用状态0表示机器正常工作，用状态1表示机器出现故障。正常工作时间 (寿命)服从参数为的指数分布，维修时间同样服从参数为的指数分布。求Q矩阵，分别求 向前向后方程，求初始正常t＝5时正常的概率，求该过程的平稳分布。 解：由题意有 p01(h)ho(h) P(t)P(t)Q Q p10(h)ho(h)(t)p00(t)p01(t)()p00(t) p00p00(t)e()t 第 2 页(共 3 页)

limp00(t)t0limp10(t) t ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- limp11(t)t0limp01(t) t平稳分布 00则在t时刻  10 P(X50|X00)p00(5)00e5() 13．用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动Bt计算E(BtBs)，E(Bt4)， 解：布朗运动有很多好性质比如 布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。 布朗运动具有平稳增量，且BthBsh的分布就是n维的正态分布 N (0, (t-s) I ). 布朗运动是鞅 （需写出鞅性的表达式） 布朗运动的数字特征有 cov(Bs,Bt)st等。 布朗运动平移变换尺度变换后仍然是布朗运动等 布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的但对几乎每条样本轨道上的任意一点t0，其导数几乎处处不存在。 等等 Bt~ N(0,2t) p(x)12t4ex2/2t2 E(B)=x4t12tex2/2t2dx=2t2()=34t2 423252E(BtBs)st

得分 评阅人 五、论述题：（共1题，一题10分，） 14．论述随机过程遍历性。可从依时间平均和依统计平均的概念、关系以及相等的条件入手。在此基础上讨论一两个例题。如，X1(t)acos(t) （Y是方差大于零的随机变量）的均值遍历性 1） 思路如下：1.随机过程概念，一族随机变量 2.依时间平均和依统计平均的解释 3.平稳性和状态历经性 4.均值遍历定理 2）先验证X1(t),X2(t)都具有平稳性。 U(0,2),0,t和X2(t)Y2Ta22a2(1cos2T)(coscos)d  2T02T42T2001T2Ta2(1)R()d2T22T(1)cosda2(1cos2T)由a(1cos2T)有界得，lim0 22T4T2X1(t)具有均值遍历性。 12TDY)R()d而 (1T02TT2T0(12T)dDY0 X2(t)不具有均值遍历性。 第 3 页(共 3 页)