试题含答案 15.1 分式
一、选择题
1. [2018·武汉]
若分式
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ( )
C.x=-2
D.x≠-2
A.x>-2
B.x<-2
2. 下列分式中，最简分式是 ( )
C.
D.
A.
B.
3. 分式和的最简公分母是 ( )
B.a2-a D.a(a2-1)(a-1)
A.(a2-1)(a2-a)
4. 若
C.a(a+1)(a-1)
x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是 ( )
B.
C.
D.
A.
5.
有下列等式:①( )
=;②=;③=;④=.其中成立的是
A.①②
6. 当分式
B.③④ C.①③ D.②④
的值为0时，x的值是 ( )
B.-5
C.1或5
D.-5或5
A.5
7. 若将分式与分式通分后，分式的分母变为2(x-y)(x+y)，则分式
的分子应变为 ( ) A.6x2(x-y)2
8. 下列各项中，所求的最简公分母错误的是 ( B.2(x-y)
C.6x2
D.6x2(x+y)
)
A.与的最简公分母是6x2 B.C.D.
二、填空题
x－1
9. 若代数式
x有意义，则x的取值范围是________．
10. 当
与与与
的最简公分母是3a2b3c 的最简公分母是m2-n2 的最简公分母是ab(x-y)(y-x)
5
x＝6时，分式的值等于________．
1－x与
的最简公分母是 .
11. 分式
12. 请你写出一个分母是二项式且能约分的分式: .
13. 不改变分式的值，使分子、分母中
x的系数都变为正数，则= .
14. 当
y≠0时，=，这种变形的依据是 .
15. 如果
=成立，那么a的取值范围是 .
三、解答题
16. 某单位全体员工在植树节义务植树240棵.原计划每小时植树m棵，实际每小
时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了 小时完成任务.(用含m的式子表示)
17. “约去”指数:如
==，….你见过这样的约分吗?面对这“荒谬”
的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确!这是为什么呢?仔细观察
式子，我们可作如下猜想:式x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)]
18. 已知无论
=.试说明此猜想的正确性.[参考:立方和公
x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围.
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开. 解:
=
= .
(1)请将小明对此题的解题过程补充完整; (2)利用小明的思路，解决下列问题无论x取何实数，分式
:
都有意义，求m的取值范围.
人教版 八年级数学 15.1 分式 课后训练-答案
一、选择题
1. 【答案】D [解析] ∵分式在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得x≠-2.
2. 【答案】B [解析] ==，
=
，只有选项B是最简分式. [解析] ∵a2-1=(a+1)(a-1)，
3. 【答案】C a2-a=a(a-1)，
∴分式
和的最简公分母是a(a+1)(a-1).故选C.
4. 【答案】A [解析] 根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2
倍，有=.
所以选项A符合题意.
5. 【答案】D [解析] ①=，故①错误;③=，故③错误.
6. 【答案】B [解析] 由分式的值为0，得
-5=0，解得x=±5.但当x=5时，x2-4x-5=0，
故舍去，所以分式
7. 【答案】C 的值为0时，x的值是-5.
[解析] 分式
=
的分母变为2(x-y)(x+y)，说明公分母为2(x-y)(x+y)，=
.
所以
=
8. 【答案】D
二、填空题
x－1≥09. 【答案】x≥1 【解析】要原式有意义，则，∴x≥1.
x≠0
10. 【答案】－1
55
【解析】当x＝6时，＝＝－1.
1－x1－6
11. 【答案】x2-x
12. 【答案】答案不唯一，如
13. 【答案】-
[解析] ==-.
14. 【答案】分式的基本性质
15. 【答案】a≠
[解析] 由=成立，得2a-1≠0，解得a≠.
三、解答题
16. 【答案】
- [解析] 原计划需要的时间为小时，实际上每小时植树(m+10)棵，
小时，所以实际比原计划提前了
-小
因此植树240棵所需的时间为
时.
17. 【答案】
解:∵==
，
∴猜想正确.
18. 【答案】
解:(1)==
.
因为无论x取何实数，(x-1)2+(m-1)都不等于0，所以m-1>0.所以m>1. (2)
=
=
.
因为无论x取何实数，3(x-1)2+m-3都不等于0，所以m-3>0. 所以m>3.
15.2 分式的运算
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 分式
1
2
2abab
与1
2
的最简公分母是 ( ) B．2a2b2
C．a2b2
D．2a3b3
A．ab
b2
2. 计算ab·，结果是( )
a63
A．a5b5 C．ab5
3. 计算(
3
B．a4b5 D．a5b6
2xy2
2y22y3
)·()÷(－)的结果是( )
xx8xA.6
y
8xB．－6
3
yC.
16x2
y5
16xD．－5
2
y
4. 计算
21
÷的结果是( ) x2－1x－1
B.2
x3－1
A.C.
2
x－12
x＋1
D．2(x＋1)
a2－b2ab－b2
5. 化简－等于( )
abab－a2
A. B. C. － D. －
baabbaab
6. 若△÷
a2－11
＝，则“△”可能是( ) aa－1
B.a
a－1
C.a
a＋1
D.a－1
a
a＋1A. a
7. 计算
x－y1
÷(y－x)·的结果是( ) x＋yx－y
B.D.
A.C.
1
x－y22y－x x＋yx－y x＋y1
y－x2
2
8. 不改变分式
0.2x－1
的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为
0.4x＋3
( ) 2x－1A. 4x＋3C.
9. 若把分式
D.
B.
x－5
2x＋15
2x－1
4x＋302x－10
x＋3
3xy
(x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) x－y
1
B．缩小为原来的
3D．扩大为原来的6倍
A．扩大为原来的3倍 C．不变
10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的
式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图K－42－1所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A．只有乙 C．乙和丙
B．甲和丁 D．乙和丁
二、填空题（本大题共6道小题）
a2－b2
11. 若a＝2b≠0，则2的值为________．
a－ab
12. 若＝，则
a2b3a＋b＝________． b
13. 若
y5xy·M＝，则分式M＝________． x－1x2－1
14. 约分：
a2＋2ab
＝________．
a2b＋2ab2
15. 要使
x＋5（x＋5）（3m＋2）
＝成立，则m＝________． 2x＋1（2x＋1）（7－2m）
16. 已知
a≠0，S1=-3a，S2=，S3=，S4=，…，S2020=，则S2020= .
三、解答题（本大题共4道小题）
3－xx2＋x13
17. 先化简，再求值：－2÷，其中x＝－2. x＋1x－6x＋9x－3
2x－x18. 先化简，再求值：(1－)·2，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．
x－1x－6x＋9
2
x2－1x2＋x3x－3x19. 2先化简：÷2＋2，再求当x＋1与x＋6互为相反数x－2x＋1x＋3x＋6x＋9x－1时代数式的值．
20. (1)通分：
zyx，，； xyxzyz
zyx
(2)求证：＋＋的值不能为0；
xyxzyz
a－bb－cc－a
(3)求证：＋＋的值不能为0.
（b－c）（c－a）（a－b）（c－a）（a－b）（b－c）
人教版 八年级数学 15.2 分式的运算 培优训
练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】A
2x32y22y8x4yx16x
3. 【答案】D [解析] (2)·()÷(－)＝6·2·(－)＝－5.
yxxyx2yy
4. 【答案】C [解析] 原式＝3
2
2
22
·(x－1)＝.故选C. x2－1x＋1
5. 【答案】B 【解析】原式＝
（a＋b）（a－b）
ab－
b（a－b）（a＋b）（a－b）b＝＋＝
a（b－a）aba（a＋b）（a－b）＋b2
aba2－b2＋b2a2a＝＝＝，故答案为B.
ababba2－11（a＋1）（a－1）1a＋1
·＝·＝. aa－1aa－1a
6. 【答案】A [解析] △＝
7. 【答案】C [解析]
x－y1x－y1111
÷(y－x)·＝··＝＝22. x＋yx－yx＋yy－xx－y（x＋y）（y－x）y－x
8. 【答案】B [解析]
0.2x－15×（0.2x－1）x－5
＝＝.
0.4x＋35×（0.4x＋3）2x＋15
9. 【答案】A [解析] 由题意得
3·3x·3y3·9xy3·3xy
＝＝，所以分式的值扩大为原来
3x－3y3（x－y）x－y
的3倍．
10. 【答案】D [解析] 因为
x2－2xx2x2－2x1－xx2－2x－（x－1）
÷＝·＝·＝x－11－xx－1x2x－1x2
x（x－2）－（x－1）－（x－2）2－x
·＝＝，所以出现错误的是乙和丁．
x－1x2xx
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】 【解析】原式＝
3
253
（a＋b）（a－b）a＋b2b＋b3
＝，∵a＝2b≠0，∴原式＝＝.
a（a－b）a2b2
a＋b2k＋3k5k5
＝＝＝. b3k3k3
12. 【答案】 【解析】因为＝，则设a＝2k，b＝3k，代入分式得
a2
b3
13. 【答案】
5x5xyy5xyx－15x [解析] 由题意，得M＝÷＝·＝. x＋1x2－1x－1（x＋1）（x－1）yx＋1
14. 【答案】 [解析]
1ba2＋2aba（a＋2b）1
＝＝.
a2b＋2ab2ab（a＋2b）b
15. 【答案】1 [解析] 根据题意，得3m＋2＝7－2m，
移项，得3m＋2m＝7－2， 合并同类项，得5m＝5， 系数化为1，得m＝1.
16. 【答案】-
[解析] S1=-3a，S2==-，S3==-3a，S4==-，…
∴S2020=-.
三、解答题（本大题共4道小题）
17. 【答案】
1x－3x－3
解：原式＝＋(2分) 2·
x＋1（x－3）x（x＋1）＝
11＋(3分) x＋1x（x＋1）
x＋1＝ x（x＋1）1
＝.(4分) x
312
当x＝－时，原式＝＝－.(6分)
233
－2
18. 【答案】
x－1－2x（x－1）
解：原式＝·2(2分)
x－1（x－3）x－3x（x－1）＝·2 x－1（x－3）＝
x
.(4分) x－3
∵x－1≠0，x－3≠0, ∴x≠1且x≠3， ∴ 取x＝2，(5分) 2
∴原式＝＝－2.(6分)
2－3
19. 【答案】
x（x＋3）3（x－1）
解：原式＝·＋(2分)
x＋3x（x＋1）（x＋1）（x－1）x＋33＝＋(3分) x＋1x＋1x＋6＝.(4分) x＋1
∵由“x＋1与x＋6互为相反数”得(x＋1)＋(x＋6)＝0，解之得x＝－3.5，(5分)
2
∴原式＝
－3.5＋62.5
＝＝－1.(6分)
－3.5＋1－2.5
20. 【答案】
解：(1)最简公分母是xyz. zz2yy2xx2＝，＝，＝. xyxyzxzxyzyzxyz
zyxz2y2x2x2＋y2＋z2
(2)证明：＋＋＝＋＋＝. xyxzyzxyzxyzxyzxyz因为分子x2＋y2＋z2≥0，
所以只有当x＝y＝z＝0时分式的值才能等于0，但在分式有意义的前提下，x，y，z均不为0，
zyx
所以＋＋的值不能为0.
xyxzyz
(3)证明：令a－b＝x，b－c＝y，c－a＝z， xyz
则原式＝＋＋.
yzxzxy
由(2)可知，上式的值不能为0.
a－bb－cc－a
故＋＋的值不能为0. （b－c）（c－a）（a－b）（c－a）（a－b）（b－c）
15.3分式方程
一．选择题
1．下列等式是四位同学解方程A．x﹣1＝2x 2．若x＝3是分式方程A．﹣5 3．方程＝A．
﹣1＝
过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） C．x﹣x﹣1＝﹣2x
D．x﹣x+1＝﹣2x
B．x﹣1＝﹣2x ﹣B．5
的解为（ ）
B．﹣
＝0的解，则m的值是（ ）
C．﹣3
D．3
C．1 D．﹣1
4．下列方程中，以x＝0为解的方程是（ ） A．x+1＝2 5．方程
＝
B．x2﹣2x+1＝0 的解为（ ）
B．x＝4
C．x＝1
D．x＝﹣1
C．x（x+1）＝x+1
D．
＝2
A．x＝﹣4
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A．3（x﹣1）＝C．3x﹣1＝
B．D．
＝3 ＝3
7．若解关于x的分式方程A．﹣4
＝1时出现了增根，则m的值为（ ）
C．4
D．2
B．﹣2
8．已知关于x的分式方程A．﹣2或﹣3 9．关于x的方程A．m＜
﹣1＝无解，则m的值是（ ）
C．﹣3或3
D．﹣3或0
B．0或3
＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ） B．
C．m＜且m≠ D．m＜且m≠0
10．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了40分钟．若设原来的平均车速为（xkm/h），则根据题意可列方程是（ ） A．C．
﹣﹣
＝ ＝40
B．D．
﹣﹣
＝40 ＝
二．填空题 11．方程12．方程＝
＝
的解是x＝ ． 的解为 ．
+
＝6有增根，则a的值为 ． 的解为非负数，则a的取值范围是 ．
13．若关于x的分式方程14．若关于x的方程
15．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x人，则可列分式方程 ． 三．解答题 16．解下列方程： （1）（2）
，过程如下：
17．小明在解一道分式方程第一步：方程整理
第二步：去分母…
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ； （2）请把以上解分式方程过程补充完整．
18．2019年底在人类社会中传播一种新型病毒﹣﹣新型冠状病毒，此病毒传染性较强，但经过医学专家、医护人员及全国人民的共同努力，2020年4月新冠肺炎病毒得到有效控制．某学校为迎接学生返校上课，购买了一批口罩，其中购买A工厂口罩花费了3000元，购买B工厂口罩花费了1600元，A工厂口罩的每盒单价是B工厂口罩每盒单价的1.2倍，购买A工厂口罩的数量比购买B工厂口罩数量多20盒．求：A和B两工厂口罩的每盒单价分别为多少元？（单位：盒）
参考答案
1．解：两边都乘以x﹣1，得：x﹣（x﹣1）＝﹣2x，即x﹣x+1＝﹣2x， 故选：D．
2．解：把x＝3代入分式方程得解得m＝5． 故选：B．
3．解：两边都乘以x（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6x， 解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）＝﹣1×（﹣2）＝2≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1， 故选：D．
4．解：A、x+1＝2，解得：x＝1，故此选项不合题意； B、x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，故此选项不合题意； C、x（x+1）＝x+1，解得：x1＝﹣1，x2＝1，故此选项不合题意； D、
＝2，
，
去分母得：x﹣2＝2（x﹣1）， 解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣1≠0，故x＝0是原方程的解，故此选项符合题意． 故选：D．
5．解：方程的两边同乘（x﹣3）（x﹣2）得， x﹣2＝2（x﹣3）， 解这个方程得，x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解． 故选：B．
6．解：依题意，得：3（x﹣1）＝故选：A．
7．解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x+m＝x﹣2， ∵分式方程有增根， ∴分式方程的增根为x＝2，
将x＝2代入2x+m＝x﹣2，得：4+m＝0， 解得m＝﹣
4，
．
故选：A．
8．解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3， 整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得
，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程∴
或
，
﹣1＝无解，
解得m＝﹣3． ∴m的值是﹣2或﹣3． 故选：A．
9．解：两边都乘以x﹣1，得：x﹣m﹣2m＝2（x﹣1）， 解得x＝2﹣3m， ∵方程
＝2的解为正数，
∴2﹣3m＞0，且2﹣3m≠1， 解得m＜，且m≠， 故选：C．
10．解：设原来的平均车速为x（km/h），则提速后的平均速度为（1+50%）x（km/h）， 依题意，得：故选：A．
11．解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1， 解这个方程，得：x＝﹣3， 经检验，x＝﹣3是原方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．解：去分母得： 9（x﹣1）＝8x 9x﹣9＝8x x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0， 所以x＝9是原方程的解．
﹣
＝．
故答案为：x＝9．
13．解：分式方程去分母得：x﹣a﹣2a＝6（x﹣2）， 解得：x＝
，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， ∴
＝2，
解得：a＝． 故答案为：．
14．解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣2a﹣2a＝2（x﹣2）， 解得x＝4﹣4a，
∵分式方程的解为非负数， ∴4﹣4a≥0且4﹣4a≠2， 解得a≤1且a≠， 故答案为：a≤1且a≠． 15．解：依题意，得：故答案为：
﹣
﹣＝10．
＝10．
16．解：（1）两边都乘以x（x﹣2），得：3x＝9（x﹣2）， 解得x＝3，
检验：当x＝3时，x（x﹣2）＝3≠0， ∴分式方程的解为x＝3；
（2）两边都乘以3（x﹣2），得：3（5x﹣4）＝4x+10﹣3（x﹣2）， 解得x＝2，
检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0， ∴x＝2是分式方程的增根， ∴分式方程无解．
17．解：（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质； （2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5， 去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5， 合并得：﹣2x＝﹣6， 系数化为1得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解．
18．解：设B工厂口罩每盒的单价为x元，则A工厂口罩每盒的单价为1.2x元， 依题意，得：解得：x＝45，
经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝54．
答：A工厂口罩每盒的单价为54元，B工厂口罩每盒的单价为45元．
﹣
＝20，
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