丁青县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（ ） A．7049 B．7052 C．14098 D．14101

2． 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 3． 函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ A．f（2）＜f（π）＜f（5） B．f（π）＜f（2）＜f（5）

C．f（2）＜f（5）＜f（π）

f（π）＜f（2）

4． 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

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）

D．f（5）＜

A．1 B． C． D．

5． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° B．45° C．60° D．90°

6． 已知函数f（x）=ax﹣1+logax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（ ） A．

B．

C．2

D．4

7． 用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除

8． 直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（ ）

A．2x+y﹣2=0

B．2x﹣y﹣6=0

C．x﹣2y﹣6=0

D．x﹣2y+5=0

9． 某程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）

A．11 B．19 C．26 D．57

10．已知，其中i为虚数单位，则a+b=（ ）

A．﹣1

B．1

C．2 D．3

11．满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是（ ）

A.f(ex)|x| B.f(ex)e2x C.f(lnx)lnx2 D.f(lnx)x1x 【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.

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）12．已知在△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角C等于（ ）

A．135° B．90° C．45° D．75°

二、填空题

13．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值等于_________. 14．设f(x)x开始，在区间[0,3]上任取一个实数x0，曲线f(x)在点x0,f(x0)处的切线斜率为k，则随机xen1事件“k0”的概率为_________. 15．在平面直角坐标系中，a(1,1)，bS，记(1,2)5,T1(,)M|OMab，其中O为坐标原点，给出结论如下：

①若(1,4)(,)，则1； ③若1，则(,)表示一条直线； ④(1,)ST？否②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； SS4T2T是输出 n结束(,2)(1,5)； )表示的一条线段且长度为⑤若0，0，且2，则(,n22． n1其中所有正确结论的序号是 ． 16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数fxxlnxax有两个极值点，则实数a的取值范围是．

17．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：

那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．

18．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．

三、解答题

19．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；111]

（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点， 线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

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20．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为

（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；

（t为参数）．

（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知平面向量a(1,x)，b(2x3,x)，(xR). （1）若a//b，求|ab|；

（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.

22．已知数列{an}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

，数列{bn}满足bn=log2

，

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（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．

23．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

24．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；

（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

sin2

]上的最小值．

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丁青县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

+

【解析】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，

∴

，可得an+1=an﹣1，

因此数列{an}是周期为2的周期数列． a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4， ∴S2015=1007（3+4）+3=7052．

【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．

2． 【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0， 故选：A

3． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数， ∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1）， ∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1）， ∴f（π）＜f（2）＜f（5） 故选：B

【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

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＞0且x1x2=＞0，（a＞0），

4． 【答案】 C

【解析】解：第一次循环第四次循环得到的结果…

所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S ∵2011=502×4+3 所以输出的S是 故选C

5． 【答案】C

第二次循环得到的结果

第三次循环得到的结果

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

6． 【答案】A

【解析】解：分两类讨论，过程如下：

①当a＞1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是增函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递增，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，舍去；

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②当0＜a＜1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是减函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递减，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，符合题意；

故选A．

7． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故应选B．

【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

8． 【答案】B 【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣， ∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2， 化为一般式可得2x﹣y﹣6=0 故选：B

故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），

【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

9． 【答案】C

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 k=2，S=4

不满足条件k＞3，k=3，S=11 不满足条件k＞3，k=4，S=26

满足条件k＞3，退出循环，输出S的值为26． 故选：C．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

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10．【答案】B

【解析】解：由另解：由故选B．

得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1

得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．

【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．

11．【答案】D. 【

解

析】

12．【答案】D

【解析】解：由正弦定理知∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，

∴C=180°﹣A﹣B=75°， 故选：D．

=

×

=

，

=

，

二、填空题

13．【答案】6

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，S9,T2,n2,ST；第2次运行后，

S13,T4,n3,ST；第3次运行后，S17,T8,n4,ST；第4次运行后，

S21,T16,n5,ST；第5次运行后，S25,T32,n6,ST，此时跳出循环，输出结果n6程

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序结束． 14．【答案】

3 5【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．

kf(x0)1x02k0，由得，，∴随机事件“”的概率为． f(x)0x1003ex015．【答案】②③④

【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．

21由ab(1,4)得，∴，①错误；

124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；

记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确； 由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与b不共线，∴∴④正确；

1

，∴aba2b(1,5)，

2

21xy2xy0x33设M(x,y)，则有，∴，∴且x2y60，∴(,)表示的一

11xy0y2xy33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．

16．【答案】

.

【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx

令f′（x）=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，

函数fxxlnxmx有两个极值点,等价于f′（x）=lnx−2mx+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，

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，

1时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切， 21由图可知,当021则实数m的取值范围是（0,），

21故答案为：（0,）.

2当m=

17．【答案】1464

【解析】【知识点】函数模型及其应用

【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3， 房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是故答案为：1464 18．【答案】

【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2

元。

三、解答题

19．【答案】（１） y4x；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】

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（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则直线：yk(x1)，M(x1x2y1y2,)， 22y24x,由得k2x2(2k24)xk20， yk(x1),(2k24)24k416k2160，

考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．

''【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当f(x)不含参数时，可通过解不等式f(x)0(f(x)0)直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件

f'(x)0(f'(x)0),x(a,b)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意

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参数的取值是f'(x)不恒等于的参数的范围． 20．【答案】

【解析】

【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 简曲线C2的参数方程为普通方程； 股定理，即可得到最小值．

22

可化为直角坐标方程x+y﹣2x+4y+4=0， 22

即圆（x﹣1）+（y+2）=1；

【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化

（t为参数），

（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾

2

【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，

曲线C2的参数方程为

可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．

（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d=则切线长为

=

．

．

=4，

故这条切线长的最小值为

【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．

21．【答案】（1）2或25；（2）(1,0)【解析】

试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量a,b的夹角为锐角的充要条件是ab0且a,b不共线，由此可得范围． 试题解析：（1）由a//b，得x0或x2， 当x0时，ab(2,0)，|ab|2， 当x2时，ab(2,4)，|ab|25.

2（2）与夹角为锐角，ab0，x2x30，1x3，

(0,3)．

又因为x0时，a//b， 所以的取值范围是(1,0)(0,3).

考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．

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【名师点睛】由向量的数量积ababcos可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos0，但当cos0时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是

abab0且a,b不同

向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是22．【答案】

【解析】（本小题满分13分） 解：（1）当n=1时，a2=2a，则

；

abab0且a,b不反向．

当2≤n≤2k﹣1时，an+1=（a﹣1）Sn+2，an=（a﹣1）Sn﹣1+2， 所以an+1﹣an=（a﹣1）an，故

n1+2+…+（n﹣1）

=∴Tn=a1×a2×…×an=2a

=a，即数列{an}是等比数列，

，

．…

*

，

bn=（2）令当n≥k+1时，

=

，则n≤k+，又n∈N，故当n≤k时，

．…

，

|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣| =

=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+bk） =[=由

，

2

，得2k﹣6k+3≤0，解得*

+（）+…+（）…

+k]﹣[]

，…

又k≥2，且k∈N，所以k=2．…

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．

23．【答案】

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【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

=2π；

sin2

）﹣．

∈[﹣

，2﹣

]，

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

24．【答案】

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，

＞2，

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∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣， ∴

|x1﹣x2|

．

=

=

=

．

【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．

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