2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

2010年普通高等学校招生全国统一考试

一．选择题 (1)复数

32i23i

(A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i

1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

32i23i(32i)(23i)(23i)(23i)69i4i613i.

(2)记cos(80)k,那么tan100

1kk2A. B. -1kk2 C.

k1k2D. -k1k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】sin80sin80cos801cos80221cos(80)21k2,所以tan100tan80

1kk.

y1,(3)若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为

xy20,(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为zmax12(1)3.

xy0

y

yx A 1 l0:x2y0O 2 x A xy20 2 （4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

aaa=

(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知

1a1a2a3(a)a313，a25a2a7a8a9(a7a9)a8a8310,所以a2a8353503,

13所以a4a5a6(5)(12(a4a6)a5a(a2a8)(506)5233

x)(1x)5的展开式中x的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】(12x)3(13x)(1655x12x8xx)(13x)5 x

的

项

为

故

3(12x)(1333x)的

0展开式中含

1C5(3x)12xC510x12x2x,所以x

的系数为-2.

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4121种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的

1选法.所以不同的选法共有C31C42+C32C4181230种.

(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

A

23 B

33 C D

3263

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

A

D A1

O C B

VD1ACD,即

D1

B1

C1

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与

平面ACD1所成角相等,设DO⊥平面ACD1，由等体积法得VDACD13SACD1DO13SACDDD1.设DD1=a,

1则SACD112ACAD1sin6012(2a)23232a,SACD212ADCD12a.

2所以DOSACDDD1C1DSA33a323a33a,记DD1

与平面AC

D1所成角为,则

sinDODD1,所以cos1263.

（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32=

121log23, b=In2=

1log2e,而log23log2e1,所以ac=5=

15,而52log24log23,所以c022 (9)已知F1、F2为双曲线C:xy1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60，则P

到x轴的距离为 (A)

32 (B)62 (C) 3 (D) 6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a(c2|PF|1e[0x)]a0ex1，2|xPF2|e[x00a2c)]ex0a2x01.由余

弦定理得 cos∠F1PF2=

|PF1||PF2||F1F2|2|PF1||PF2|32222,即cos600(12x0)(2x01)(22)2(12x0)(2x01)222,

解得x0252,所以y0x0122，故P到x轴的距离为|y0|62

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若010.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2baA,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b又0f(1)=1+

212a1a2a22,从而错选

，所以a+2b=a2a

,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a(0,1)上

=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PAPB的

最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

【解析】如图所示：设PA=PB=x(x0),∠APO=,

O 则∠APB=2，PO=1x，sin2A 11x2P ，

B 22PAPB|PA||PB|cos2=x(12sin)=

x(x1)x1222=

xx242x1，令PAPBy，则yxx242x1，即x(1y)xy0，由x422

是实数，所以

22[(1y)]41(y)0，y6y10，解得y322或y322.

故(PAPB)min322.此时x21. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

233 (B)

433 (C) 23 (D)

833

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

V四面体ABCD132122h23h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax22123,故

22Vmax433.

绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x1x1的解集是 .

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 2x21(x1)2,解析:原不等式等价于解得0≤x≤2.

x102

(14)已知为第三象限的角，cos214．1735,则tan(42) . 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第三象限的角,所以2(2(2k1),cos2352k(21)k)(Z，又

45<0, 所以2(22(2k1),2(2k1))(kZ),于是有sin2,

tan2sin2cos243,所以tan(4tan2)4tan21tan4tan231.

471314(15)直线y1与曲线yxxa有四个交点，则a的取值范围是 .

15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形

452结合的数学思想.

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yxxa,观图可知，a的a15,解得1a. 取值必须满足4a1414122y xx12 yxxay=1 2a (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段

uuruurBF的延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为 . 16.

23x O y4a14

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图，|BF|bca,

22y B uuruur作DD1y轴于点D1,则由BF2FD，得

|OF||DD1||BF||BD|23O F D x D1 c,

,所以|DD1|32|OF|322即xD

3c2,由椭圆的第二定义得|FD|e(ac3c2)a3c22a

又由|BF|2|FD|,得c2a3ca2,整理得3c22a2ac0.

23两边都除以a2,得3e2e20,解得e1(舍去)，或e.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．． 已知VABC的内角A，B及其对边aC．

，b满abacotAbcotB，求内角

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．． 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望． 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)(x1)lnxx1.

（Ⅰ）若xf'(x)x2ax1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x1)f(x)0 .

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

8（Ⅱ）设FAFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c1an .

（Ⅰ）设c52,bn1an2，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围 .

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.