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实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系 起来，找出题目中的相等关系 . 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： (1) 方程两边表示的是同类量； (2)同类量的单位要统一； (3) 方程两边的数值要相等 . 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，
画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；
；；
(2) 相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直
观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3) 航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
② 船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③ 顺水速度－逆水速度＝ 2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行， 解题方法与船顺水航行、 逆水航行问题类 似。
2．工程问题： 工作效率×工作时间 =工作量 . 3．商品销售利润问题： (1)
利润＝成本(进价)×利润率；
利润＝售价－成本 (进价)；(2) ；(3)
(4) 标价＝成本 (进价)×(1 ＋利润率 )；(5)实际售价＝标价×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是
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按
标价的十分之几或百分之几十销售。 （例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八
十） 4．储蓄问题：
（1）基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。 ④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× （1＋利率×期数 ） ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④ 税后利息＝利息× （1－利息税率 ） ⑤年利率＝月利率× 12 ⑥ 。 注意： 免税利息 = 利息
5．配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例 = 每一套各部分之间的
比例。
6．增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量× （1 ＋增长率 ）＝增长后的量； 原
量×（1 －减少率 ）＝减少后的量 .
7 ．和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×
倍量 .
8．数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表
示。如当 n 为整 数时，奇数可表示为 2n+1（ 或 2n-1） ，偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位
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数= 十位数字 10+ 个位数字
9．浓度问题： 溶液质量×浓度=溶质质量 .
10 ．几何问题： 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11 ．年龄问题： 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永
远不 会变的
12 ．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅 行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点 ,比较几种方案得出最佳
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 1．审题:弄清题意及题目中的数量关系； 2．设未知数 :可直接设元，也可间接设元； 3．找出题目中的等量关系； 4．列出方程组 :根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程， 并组成方程组； 5．解所列的方程组，并检验解的正确性； 6 ．写出答案 .
要点诠释：
(1) 解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结
果 是否合理，不符合题意的解应该舍去；
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 . (4) 列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意 用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带
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方程组与解方程组时，
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单位，列
不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含 的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
分类练习：
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1 小时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再
次 出发半小时后追上了拖拉机 . 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
【变式 1 】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多 少千米？
变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静 水中的速度和水流速度
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类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付两组费用
共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：
(1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天
完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6周完成需工钱 5.2 万元；若甲公 司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元 .若只选一个公司单独完成， 从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由 . 类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%, 共可获利 46 元。价
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格调整后，甲商品的利润率为 4% ，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分
别是多少元？
【 变式 1】（ 2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利
18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种
蔬菜各种 植了多少亩？
变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：
A
B 1000 1200 进价（元 / 件） 售价（元 / 件） 1200 1380
注：获利 = 售价 — 进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；
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类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元
钱，一种是年利率为 2.25 ％的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 ％的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额× 20% ，教育储蓄没有利息所得 税）
【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得 利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24% ，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公 民应缴利息所得税 =利息金额×20% ）
【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱 .第
一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息
2.25% ； 第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%. 三年后同时取出共得利息 303.75 元（不计 利息税 ），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
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类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5．某服装厂生产一批某种款式的秋装， 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只 . 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 （ 不考虑布料的损耗 ），应分别用多少布料才能使
做的衣 身和衣袖恰好配套？
【变式 1 】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成
一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【 变式 2 】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓
14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓， 多少人生产螺母， 才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿
300 条。现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿， 做出的桌
面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？
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类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
6. 某工厂去年的利润 （总产值—总支出） 为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20% ，总
支出比去年减少了 10% ，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
变式 1 】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8% ，农村人口增加 1.1% ，这样全 市人口增加 1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口。
类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7. （2011 年北
京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产 帐篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职 工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的
1.6 倍、 1.5
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倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内， “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐 篷多少千顶？
【 变式 1】 （2011 年北京门头沟区中考一模试题 ） “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年 3月最后一个星期六 20时30 分— 21时
30 分熄 灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳
生活．中国 内地去年和今年共有 119 个城市参加了此项活动， 且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个， 问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
【 变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到 蓝色与红色的游泳帽一样多， 而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有 多少人吗？
类型八：列二元一次方程组解决——数字问题
8. 两个两位数的和是 68 ，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；
在较大的两位数的左边写上较小的两位数， 也得到一个四位数， 已知前一个四位数比后一个四位数大
2178 ，求这两个两位数。
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【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23 ；这个两位数除以它的各位 数字之和，商是 5 ，余数是 1 ，这个两位数是多少？
变式 2 】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字5，如果把十位上的数字与个位上的数 大
字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9 ，求这个两位数？
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【变式 3 】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9 ，如果百位数字减 1，个位 数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题
9．现有两种酒精溶液， 甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的
比是 4 ∶1，今要得到酒精与水的比为 3 ∶2 的酒精溶液 50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
【变式 1 】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10% 的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需
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多少？
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【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到 1.75% 时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农 药加水多少千克，才能配成 1.75% 的农药 800 千克？
类型十：列二元一次方程组解决——几何问题
10．如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多
少？
【变式 1 】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形， 若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，
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则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
变式 2 】一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m ，它的周长是 132m ，则长和宽分别为多少？
类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题
11．今年父亲的年龄是儿子的 5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，求现在父亲和儿子
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的年龄各是多少？
【变式 1 】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一 .小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的 三分之一 .试求出今年小李的年龄 .
类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：
12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为
1000 元；经粗加工后销
售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元. 当地一家农工商公司收获这 种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 16 吨；如果进 行细加工，每天可加工 6 吨. 但两种加工方式不能同时进行 . 受季节条件的限制，公司必须在 15 天 之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
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15 天完成
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举一反三：
【变式 1 】某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视 机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。
(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进
货方 案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、中， 为使获利最多，你选择哪种进货方案？
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200 元、250 元，在以上的方案
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【变式 2 】某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，
B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件， B 种纪念品 6 件。
（1 ） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？
（2 ） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该
商 店准备用不超过 900 元购进 A、B两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候总获利 不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
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