2020年高考一轮热点难点精讲与专题03：集合与幂指对函数相结合

考纲要求:

1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有{a1，a2，a3，…，an}的子集有2个，真子集有2－1个.

nn3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算. 基础知识回顾: 1、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为 符号表示 A∪B A∩B ∁UA 图形表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 2、集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B； ②A∩A＝A，A∩＝； ③A∪A＝A，A∪＝A；

④A∩∁UA＝，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A，∁U（A∪B）=∁UA∩∁UB,∁U（A∩B）=∁UA∪∁UB 应用举例:

类型一：集合与对数函数

例1．【河北省衡水中学2020届高三第十七次模拟考试】设集合集合A.

（ ）

B.

C.

D.

,集合,则

【答案】C

例2．【峨眉山市第七教育发展联盟2020届高考适应性考试】已知集合Ax|log2x12 ,

Bxx13x0,xN，则AB=（ ）

A. 3 B. 1,0,1,2,3 C. 0,1,2,3 D.  【答案】C

【解析】分析：解对数不等式，可以得到A=x|-1＜x3 ，解一元二次不等式，得到Bx|1x3 ，注意B集合取非负整数，然后求交集即可得到正确答案。

详解：解log2x12 不等式得1＜x3，所以A=x|-1＜x3 

解x13x0不等式得Bx|1x3 ，又因为xN，所以B=1,0,1,2,3 所以AB0,1,2,3 所以选C

点睛：本题主要考查了对数不等式和一元二次不等式的解法，注意本题中一元二次不等式的系数为负数，所求解集为非负整数解，属于简单题目。 类型二：集合与指数函数

例3．已知全集为R，集合A. {x|x≤0} B. {x|2≤x≤4} C. {x|0≤x<2或x>4} D. {x|0=[0,+ ,故选C.

，B={x|x2－6x+8≤0}，则 ( )

], B={x|x2－6x+8≤0}=[2,4],所以，

例4．【2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷】已知集合M1,1， N{x|则MN

A. 1,1 B. 1 C. 0 D. 1,0 【答案】B

12x14,xZ}，2类型三：集合与三角函数

例5．【山东省日照市2018届高三4月校际联合期中考试】设函数

，已知集合

，

取值范围是（ ） A. C. 【答案】A

【解析】分析：先理解集合详解：集合一定在直线

表示函数上，且当

时，

B. D.

，若存在实数，使得集合中恰好有个元素，则的

的含义，将问题转化为三角函数的周期进行求解．

的最值对应的点

由得，

中恰好有个元素，

若存在实数，使得集合即可将函数

适当平移，

则解得

，即

.故选A．

，

点睛：本题以集合为载体考查三角函数的对称性、周期性，是高考命题创新型试题的一个热点，解决与集合有关的复合命题的关键是准确理解集合的实质，把问题转化为我们熟悉的基本运算和基本性质． 例6．设集合

，

，i为虚数单位，

，则M∩N为（ ）

A. （0，1） B. （0，1] C. [0，1） D. [0，1] 【答案】C

类型四：集合与一元二次不等式

例7．【2020年全国普通高等学校招生统一考试新课标I卷】已知集合A. C. 【答案】B

【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式所以所以可以求得

，

，故选B. 得

，

的解集，从而求得集合A，之后根据集合补

B.

D.

，则

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二

次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 例8．【成都市2020年高考模拟试卷】已知集合A. 【答案】A

【解析】分析：求出集合详

解

：

选A.

点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 类型五：集合与排列组合

【例9】【2020保定市高三调研】已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，

，即可得到

.

，

B.

C.

D.

，

,则

=( )

x【答案】17

【例10】【2020浙江省温州市高三摸底考试】从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )

A．32个B．34个C．36个D．38个

【答案】A

【解析】先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)． 类型六：集合与排列概率

【例11】已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合

2

P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；

1【答案】.

3

【例12】设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，

b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有

可能值为( )

A．3B．4C．2和5D．3和4

【答案】D

【解析】分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4. 方法、规律归纳:

1、一个性质：要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性． 两种方法

2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

3、注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 实战演练:

1．【安徽省六安市第一中学2020届高三下学期适应性考试】若则

中的元素有（ ）

，

，

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B

【解析】分析：先分别求出A和B，然后再求出解析： 则

. 的元素个数为1.

，

，最后求出

，

，从而得到

的元素个数.

，

故选：B.

点睛：解决集合运算问题的方法

在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．

(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．

(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解． 所给答案A错误.

2．【江西师范大学附属中学2020届高三年级测试（三模）】已知集合则A.

（ ） B.

C.

D.

，

【答案】A

3．【四川省德阳市2020届高三二诊考试】已知集合

，则

A.

B.

C.

（ ） D.

，集合

，若

【答案】A 【解析】

得到

故选A.

4．【2020年4月2018届高三第二次全国大联考】已知集合

，则

，

A. C.

B. D.

【答案】B 【解析】∵∵∴

，∴

，

，∴，∴

，即

,∴

，

.

，故选B．

5．【2020年5月2020届高三第三次全国大联考】已知集合则A.

B.

C.

D.

，，

【答案】A

6．对于集合M、N，定义：设

＝

，0] B. [

，，0) C.

且

，，则 D.

= （ ）

，

A. （

【答案】C

【解析】试题分析： Q设A{y|yx3x,xR},B{x|ylog2x,xR}，

2399Q yx3xx，

24422A{y|y94}{x|x94}， B{x|x0}，

Q集合M,N，定义MN{x|xM且xN}， MNMNNM，

9AB{x|xA且xB}{x|x0}， BA{x|xB且xA}{x|x}，

49ABABBA,0,．

4考点：集合间交、并、补的运算，函数的定义域、值域的求法，根据新概念解决问题的能力．

【易错点晴】本题中易错的地方是已知条件中集合A所能取到的数是函数yx3x中y能取到的数，集合B所能取到的数是函数ylog2x中x能取到的数，实际上是考查了一些常见的基本初函数的定义域、值域问题．另外，注意练习运用新概念解决问题的能力，可以经历读题、转化成所学知识、列出式子、得到答案过程． 7．集合P＝{x|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}．则P∩Q＝( ) A.

2B. {α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} C. {α|－4≤α≤4} D. {α|0≤α≤π} 【答案】B 【解析】

令k＝0，±1，在数轴上标注出P与Q如图所示，可知选B.

8．【2020届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题】已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b=( ) A. -3 B. 1 C. -1 D. 3 【答案】A

9．【重庆市2020届高三4月调研测试（二诊）】设集合Ax,y|x3siny3cos221,R，

Bx,y|3x4y100，记PAB，则点集P所表示的轨迹长度为（ ）

A. 25 B. 27 C. 42 D. 43 【答案】D

10．【北京市城六区2020届高三一模】某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____． 【答案】22

【解析】设只会乒乓球、篮球、排球分别为由题意可知

第一个式子的2倍减去后三个式子得

，填22.

.会乒乓球和篮球，篮球和排球，乒乓球和排球分别为

,

求

,。把