维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第３期 ２００７年８月 贵州师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｌａ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖ０ｌ＿２５．Ｎｏ．３ Ａｕｇ．２００７ 文章编号：１００４－－５５７０（２００７）０３—００６６—０３ 完备凸度量空间中两个映射的公共不 动点的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代强收敛定理 刘才贵 （淮海工学院东港学院，江苏连云港２２２０６９） 摘要：设Ｃ是完备凸度量空间（ ，ｐ）的一个非空闭凸子集，ｓ，Ｔ是Ｃ上的两个自映射，在Ｓ，Ｔ具有性质（Ａ）或 （Ｂ）的条件下，当Ｓ，Ｔ生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列强收敛时，则其收敛点为Ｓ与 的公共不动点；当Ｓ与 的公共 不动点非空时，则由Ｓ，Ｔ生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列强收敛到Ｓ，Ｔ的唯一公共不动点。文章的结论改善并推广了 部分作者的相关结果。 关键词：完备凸度量空间；公共不动点；Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列 文献标识码：Ａ 中图分类号：０１７７ Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｓｈｉｋａｗａ ｉｔｅｒａｔｅｓ ｔｏ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔｗｏ ｍａｐｐｉｎｇｓ ｉｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃｏｎｖｅｘ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅｓ ＬＩＵ Ｃａｉ—ｇｕｉ （Ｄｏｎｇｇａｎｇ ｃｈｏｏｌ，ＨｕａｉＳｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，“ａｎｙｕｎｇ肌ｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ ２２２０６９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ｔｈｅ ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｃｏｎｖｅｘ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃｏｎｖｅｘ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅ，Ｓ ａｎｄ Ｔ ａｒｅ ｔｗｏ ｓｅｌｆｍａｐｐｉｎｇｓ ｏｎ Ｃ ａｎｄ ｌｅｔ Ｓ，Ｔ ｓａｔｉｓｆｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ（Ａ）ｏｒ（Ｂ）．Ｉｆ ｔｈｅ Ｉｓｈｉｋａｗａ ｉｔｅｒａｔｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｆｒｏｍ Ｓ ａｎｄ Ｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｍｍｏｎ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｏｆ Ｓ ａｎｄ ；ｉｆ ｈｅ ｃｏｍｍｏｎ ｔｉｘｅｄ ｐｏｉｆｎｔ ｏｆ Ｓ ａｎｄ Ｔ ｉｓ ｎｏｎｅｍｐｔｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｉｓｈｉｋａｗａ ｉｔｅｒａｔｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｆｒｏｍ Ｓ ａｎｄ Ｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｏｎ— ｌｙ ｃｏｍｍｏｎ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｐａｐｅｒｓ［ｓｅｅ：ｌ，２，３，４，５，７，８］． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｖｅｘ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅ；ｃｏｍｍｏｎ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ；Ｉｓｈｉｋａｗａ ｉｔｅｒａｔｅｓ 度量空间 叫凸度量空间。 １ 预备知识 定义１ Ｃ６ ３ 设 是一个度量空间，，＝［０，１］， 连续映射 ：Ｘ×Ｘ×，一 被称为 上的一个凸结 构，女口果Ｖｘ，ｙ∈Ｘ，Ａ∈，，有Ｐ［Ｚ，Ｗ（ｘ，ｙ，Ａ）］ ＜ Ａｐ（ｚ， ）＋（１一Ａ）Ｐ（ｚ，Ｙ），Ｖ ∈Ｘ。具有凸结构的 收稿日期：２００６—１１—１４ 注１：Ｂａｎａｃｈ空间或其任何凸子集都是凸度量 空间，其上的凸结构可取为：Ｗ（ｘ，Ｙ，Ａ）＝Ａｘ＋（１一 Ａ）ｙ。更一般地，如果 是一个赋以平移不变度量Ｐ 的线性空间并满足性质：．１口（从＋（１一Ａ）ｙ，Ｏ）≤ Ａｐ（ｘ，０）＋（１一Ａ）Ｐ（Ｙ，０），则 是一个凸度量空间。 基金项目：国家自然科基金资助项目（１０１７１０８７）；淮海工学院院级科研资助项目（Ｚ２（Ｄ４０４Ｃ） 作者简介：刘才贵（１９６３．１２一），讲师，研究方向：泛函分析。 ６６ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 刘才贵：完备凸度量空间中两个映射的公共不动点的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代强收敛定理 定义２ 设（ ，Ｐ）是一个具有凸结构 的凸 度量空间，Ｃ是 的一个非空闭凸子集，．ｓ， 是Ｃ上 的两个自映射，由．ｓ， 生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列 ｛ ｝定义为： ｒ 。∈Ｃ （０＋ｂ＋ｃ）ｐ（ｓｘ ， ）＋（ａ＋ｂ＋２ｃ）ｐ（ ， ） 由于０ 口＋ｂ＋ｃ＜ｌ，整理后即得： （６）ｐ（ｓｘ ， ） （ ） 由（４）式，并对（６）式两边取极限，有 （ＩＳ）｛Ｙ ＝ＩＴ，＇（Ｓｘ ， ， ） ０，０ ， １ （７）ｌｉｍＳｘ ＝Ｐ ｔｘ川＝ （ ， ， ） ２ 主要结果 定理ｌ 设（ ，Ｐ）是一个具有凸结构 的完 备凸度量空间，Ｃ是 的一个非空闭凸子集，．ｓ， 是 Ｃ上的两个自映射且满足条件（Ａ）：Ｐ（Ｓｘ， ） ａｏ（ｘ，Ｙ）＋６ｐ（ｓｘ， ）＋ｃｐ（ ，Ｙ），其中口，６，ｃ是非 负实数且口＋ｂ＋ｃ＜ｌ，｛ ｝是由．ｓ， 生成的 Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列且ｌｉａｒ ｉｎｆｏｔ ＞０，若｛ ｝收敛到 Ｐ，则Ｐ是．ｓ， 的唯一公共不动点。 证明： ｐ（ｘ，ｙ） ｐ［ｘ，ｌｅ（ｘ，ｙ，Ａ）］＋ｐ［ｙ，ｗ（ｘ，ｙ，Ａ）］ Ａｐ（ ， ）＋（１一Ａ）ｐ（ｘ，Ｙ）＋Ａｐ（ｙ， ）＋ （１一Ａ）ｐ（ｙ，Ｙ）＝ｐ（ｘ，Ｙ） 故 （１）ｐ ｒｘ，ｌｅ（ｘ，ｙ，Ａ）］＝（１一Ａ）ｏ（ｘ，Ｙ） （２）Ｊ９［，，， （ ，Ｙ，Ａ）］＝ＡＪ９（ ，Ｙ） 由式（２）与（ｉｓ）得： （３）ｐ（ｘ ， ＋ ）＝ｐ ｒｘ ， （７ｙ ， ， ）］＝ （ ， ） 因为ｌｉｍｘ ＝Ｐ，ｌｉａｒ ｉｎ ＞０，对（３）式两边取极限 得： （４）ｌｉａｒ ＝Ｐ 由（２）以及（ＩＳ）我们有： （５）ｐ（ｘ ，Ｙ ）＝ｐ ｒｘ ， （Ｓｘ ， ， ）］＝ （Ｓｘ ， ）ｓ Ｐ（Ｓｘ ， ） 由条件（Ａ），我们可得： ｐ（ｓｘ ， ） ａｏ（ｘ ，Ｙ ）＋６ｐ（ｓｘ ， ）＋ｃｐ（ ，Ｙ ） ａｐ（ｘ ，Ｙ ）＋６ｐ（Ｓｘ ， ）＋ｃ ｒｐ（ ， ）＋ｐ（Ｘ ，Ｙ ）］ ＝（口＋ｃ）ｐ（ｘ ，Ｙ ）＋６ｐ（Ｓｘ ， ）＋ ｃｐ（ ， ） 将（５）式代入上式得： Ｐ（Ｓｘ ， ） ｓ（口＋ｂ＋ｃ）ｐ（Ｓｘ ， ）＋ （７ ， ） （口＋ｂ＋ｃ）［Ｐ（Ｓｘ ， ）＋Ｐ（ ， ）］＋ ｃｐ（ ， ） 由（５）式与（７）式可得： （８）ｌｉｍｙ ＝Ｐ 依据条件（Ａ），我们有 Ｐ（Ｓｘ ， ） ａｐ（ｘ ，Ｐ）＋６ｐ（Ｓｘ ， ）＋ｃｐ（ ，Ｐ） 令ｎ ∞，并注意到（７）式，我们可得ｐ（ｐ， ）ｓ ｃｐ（ｐ， ），又０ ｃ＜ｌ，故ｐ（ｐ， ）＝０，这就证明 了Ｐ是 的不动点。 类似地，我们有 Ｐ（ｓｐ， ） （ｐ，Ｙ ）＋６ｐ（ｓｐ，Ｐ）＋ｃｐ（ ，Ｙ ） 令ｎ ∞，并注意到（４）式与（８）式便得，Ｐ（ｓｐ，Ｐ） ｓ ６ｐ（ｓｐ，Ｐ），又０ ６＜ｌ，故ｐ（ｐ，ｓｐ）＝０，这就证 明了Ｐ是．ｓ的不动点。因此，我们证明了Ｐ是映射．ｓ 与 的公共不动点。 最后，我们证明．ｓ与 的不动点是唯一的。如 若不然，设Ｐ，ｇ是．ｓ与 的两个不同的不动点，则由 条件（Ａ）我们有 ｐ（ｐ，ｇ）＝Ｐ（ｓｐ， ） ａｐ（ｐ，ｇ）＋６ｐ（ｓｐ，Ｐ）＋ ｃｐ（ｇ， ） ＝ （ｐ，ｇ） 由于口是非负实数且口＋ｂ＋ｃ＜ｌ，因此，ｐ（ｐ，ｇ）＝ ０，从而Ｐ＝ｇ，这就证明了．ｓ与 的公共不动点是唯 一的。 注２：若将定理ｌ中的条件（Ａ）改成条件（Ｂ）： Ｐ（Ｓｘ， ） （ ，Ｙ）＋６ｐ（Ｓｘ，Ｙ）＋ｃ（ｘ， ） 我们得到如下结论： 定理２ 设（Ｘ，Ｐ）是一个具有凸结构 的完 备凸度量空间，Ｃ是 的一个非空闭凸子集，．ｓ， 是 Ｃ上的两个自映射且满足条件（Ｂ）：ｐ（ ， ）ｓ ａｐ（ｘ，Ｙ）＋６ｐ（Ｓｘ，Ｙ）＋ｃ（ｘ， ），其中口，ｂ，ｃ是非负 实数且口＋ｂ＋ｃ＜ｌ，｛ ｝是由．ｓ， 生成的 Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列且ｌｉａｒ ｉｎｆｏｔ ＞０，若｛ ｝收敛到 Ｐ，则Ｐ是 ，．ｓ的唯一公共不动点。定理２的证明过 程完全类似于定理１的证明，这里略去。 定理３ 设（ ，Ｐ）是一个具有凸结构 的完 备凸度量空间，Ｃ是 的一个非空闭凸子集，．ｓ， 是 Ｃ上的两个自映射且满足条件（Ａ）： Ｐ（Ｓｘ， ） ａｐ（ｘ，Ｙ）＋６ｐ（Ｓｘ， ）＋ｃ（ ，Ｙ） 其中ａ，ｂ，ｃ是非负实数，ａ＋ｂ＋Ｃ＜ｌ且ａ＋２ｃ＜ ｌ，｛ ｝是由．ｓ， 生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列且∑Ｏｔ ６７ 维普资讯 http://www.cqvip.com 贵州师范大学学报（自然科学版） 第２５卷 ＝∞，若Ｆ（Ｓ）ｎ Ｆ（Ｔ）≠ ，这里Ｆ（Ｓ）与Ｆ（ ）分 别表示映射Ｓ与 的不动点集，则｛ ｝收敛到Ｓ与 的唯一公共不动点。 证明 类似定理１中唯一性的证明方法，我们 可以证明结论：若Ｆ（Ｓ）ｆｌ Ｆ（Ｔ）≠ ，则Ｆ（Ｓ）ｎ Ｆ（ ）是单元素集。不妨设Ｆ（Ｓ）ｎ Ｆ（Ｔ）＝｛Ｐ｝。 由（ＩＳ），我们有 （９）Ｐ（Ｐ， ＋ ）＝Ｐ［Ｐ，Ｗ（７ ， ，ｏｔ ）］ ≤ａｄａ（ｐ，ＴＺ ）＋（１一ｏｌ ）ｐ（ｐ， ） 在条件（Ａ）中，令 ：＝Ｐ，Ｙ：＝Ｙ 得 Ｐ（Ｐ， ）ｓ ａｐ（ｐ，Ｙ ）＋６ｐ（Ｓｐ，Ｐ）＋Ｗ（Ｙ ， ）ｓ ａｐ（ｐ，Ｙ ）＋ｔｉｐ（ ，Ｐ）＋Ｐ（Ｐ，Ｙ ）］ 即 （１Ｏ）ｐ（ｐ， ）ｓ尚（ｐ，Ｙ ） 另一方面， （１１）Ｐ（Ｐ，Ｙ ）＝Ｐ［Ｐ，Ｗ（Ｓｘ ， ， ）］ ｓｆｌｄａ（Ｐ，Ｓｘ ）＋（１一卢 ）Ｐ（Ｐ， ） 在条件（Ａ）中，令Ｙ：＝Ｐ， ：＝ 得 Ｐ（Ｓｘ ，Ｐ）ｓ ａｐ（ ，Ｐ）＋６ｐ（Ｓｘ ， ）＋ｃｐ（ ，Ｐ） ｓ ａｐ（ ，Ｐ）＋ｂ［Ｐ（Ｓｘ ，Ｐ）＋Ｐ（Ｐ， ）］ 即 （１２）ｐ（ｓ ｐ）ｓ尚（ ｐ） 由（９），（１０），（１１），（１２）得 （１３）Ｐ（Ｐ， 川）ｓ ｛－ １一 １ ＋ ）】］】Ｄ（ ） 当ａ，ｂ，ｃ是非负实数，ａ＋ｂ＋ｃ＜１且ａ＋２ｃ＜１时， 容易证明： 卜 １—１３ ＋ ） ６ 其中 ＝ｍ ｎ｛－一 —兰 ， ）Ｅ （０，１）， 根据（１３），我们有 Ｐ（Ｐ， ＋１）ｓ（１— ）Ｐ（Ｐ， ） （１４） ｓ兀（１— ＾）・Ｐ（Ｐ， 。） 由ＴＯ＜ ＜１， Ｅ［０，１］以及∑ｏｌ ＝∞，因此， 有 ｌｉｍｎ—●∞＾ ， Ｕ （１— ＾）＝ｏ ６８ 依据（１４），得 ｌｉｍｐ（ｐ， ＋１）＝０ 即，序列｛ ｝收敛到ｓ与 的唯一公共不动点Ｐ。 注３：若将定理１中的条件（Ａ）改成条件（Ｂ）： Ｐ（Ｓｘ，ｚ ）ｓ ａｐ（ ，Ｙ）＋６ｌｐ（Ｓｘ，Ｙ）＋ｃ（ ，Ｚｙ） 我们得到如下结论： 定理４ 设（Ｘ，Ｐ）是一个具有凸结构 的完 备凸度量空间，ｃ是 的一个非空闭凸子集，Ｓ， 是 ｃ上的两个自映射且满足条件（Ｂ）： Ｐ（Ｓｘ， ）ｓ叩（ ，Ｙ）＋６ｐ（Ｓｘ，Ｙ）＋ｃ（ｘ， ） 其中ａ，ｂ，ｃ是非负实数且ａ＋ｂ＋ｃ＜１，｛ ｝是由 ｓ， 生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列且∑ ＝∞，若 Ｆ（Ｓ）ｎ Ｆ（Ｔ）≠ ，这里Ｆ（Ｓ）与Ｆ（ ）分别表示 映射．ｓ与 的不动点集，则｛ ｝收敛到．ｓ与 的唯 一公共不动点。定理４的证明可仿照定理３的证明， 这里从略。 注４：在定理３中，若在条件（Ａ）中令Ｓ＝Ｔ，ａ ＝０，ｂ＝ｃ，便得到Ｐ（Ｔｘ， ）ｓ Ｓ Ｅｐ（ ， ）＋Ｐ（Ｙ， ）］，因而定理３，４推广了文［１］的Ｔｈｅｏｒｅｍ２。 注５：在定理４中，若在条件（Ｂ）中令Ｓ＝Ｔ，ａ ＝０，ｂ＝ｃ，则由Ｃｈａｔｔｅｒｊｅａ映射 （即ｐ（Ｔｘ， ） ｓ ｂ［ｐ（Ｔｘ，Ｙ）＋ｐ（ｘ， ）］，Ｖｘ，ｙ Ｅ Ｘ，其中０＜ｂ ＜１／２）生成的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列强收敛到 的不 动点，从而推广了文［７］中的主要结果。 参考文献： ［１］Ｖ．Ｂｅｒｉｎｄｅ．Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｓｈｉｋａｗａ ｉｔｅｒａｉｔｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｑｕａｓｉ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ． Ｕｎｉｖ．Ｃｏｍｅｍａｎａｅ，２００４，ＬＸ￣（ＩＩＩ（１）：１１９－１２６． ［２］Ｉｓｈｉｋａｗａ，Ｓ．Ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｂｙ ａ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． Ｐｒｏｃ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．ＳＯｃ．１９７４，４４（１）：１４７－１５０． ［３］Ｋａｎｎａｎ，Ｒ．Ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ［Ｊ］．Ｂｕｌ１．Ｃａｌ－ ｃｕｔｔａ Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．１９６８，１０：７１－７６． ［４］Ｎａｉｍｐａｌｌｙ，Ｓ．Ａ．ａｎｄ Ｓｉｎｇｈ，Ｋ．Ｌ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｉｆｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ Ｒｈｏａｄｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐｅｌ， １９８３，９６：４３７４４６． ［５］Ｔａｋａｈａｓｈｉ，Ｗ．．Ａ ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ ｉｎ ｍｅｔｒｉｃ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ｎｏｎｅｘ－ ｐａｎｓｉｖｅ ｍａｐｐｉｎｇｓ［Ｊ］．Ｋｏｄｉａ Ｍａｔｈ，Ｓｅｍ．Ｒｅｐ，１９７０， ２２：１４２－１４９． ［６］Ｒｈｏｄｅｓ，Ｂ．Ｅ．Ｃｏｍｍｅｎｔｓ ｏｎ ｔｗｏ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐｅｌ，１９７６．５６：７４１－７５０． ［７］Ｃｈａｔｔｅｒｊｅａ，Ｓ．Ｋ．Ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ ｈｔｅｏｒｅｍｓ［Ｊ］．Ｃ．Ｒ．Ａｃａｄ． Ｂｕｌｇａｒｅ Ｓｃｉ，１９７２，２５：７２７－７３０．