2021年长沙市中考数学试题及答案

注意事项:1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分)1．1

的倒数是2

A．2B．2

C．2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是A．圆锥B．六棱柱C．球3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是A．3和3B．3和4C．4和34．平行四边形的对角线一定具有的性质是A．相等B．互相平分C．互相垂直5．下列计算正确的是A．25

12

D．D．四棱锥12

D．4和4D．互相垂直且相等D．aaa

347B．(ab2)2ab4C．2a3a6a

6．如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm(第6题图)(第7题图)(第8题图)7．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是A．x>1B．x≥1C．x>3D．x≥38．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是A．1B．3C．2D．23第1页共6页9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是10．函数y

a2

与函数yax(a0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是x

AB二、填空题(本题共8个小题，每小题3分，共24分)CD度．11．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=70°，则∠2=12．抛物线y3(x2)5的顶点坐标是2

．(第11题图)(第13题图)13．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=14．已知关于x的一元二次方程2x3kx40的一个根是1，则k=2

度．．15．100件外观相同的产品中有5件不合格．现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE2

，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为BC3．(第16题图)(第17题图)(第18题图)17．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．第2页共6页三、解答题(本题共2个小题，每小题6分，共12分)19．计算:(1)

2014

1

38()12sin45．3

1x22x1

20．先化简，再求值:(1，其中x=3．)

x2x24

四、解答题(本题共2个小题，每小题8分，共16分)21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙——我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．调查问卷在下面四种长沙小吃中，你最喜爱的是()(单选)A．臭豆腐B．口味虾C．唆螺D．糖油粑粑请根据所给信息解答以下问题:(1)请补全条形统计图；(2)若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？(3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．22．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．(1)求证:△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，AB=3，求△AOC的面积．(第22题图)五、解答题(本题共2个小题，每小题9分，共18分)23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行．某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造．已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．(1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？第3页共6页24．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．(1)求证:DE⊥AC；(2)若AB=3DE，求tan∠ACB的值．(第24题图)六、解答题(本题共2个小题，每小题10分，共20分)25．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(1,1)，(0,0)，(2,2)，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．(1)若点P(2，m)是反比例函数y

数的解析式；(2)函数y3kxs1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；(3)若二次函数yaxbx1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1)，B(x2,x2)，且满足2＜x1＜2，x1x2=2，令tbb取值范围．26．如图，抛物线yaxbxc(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0,0)和(a,22

2

n

(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函x157

，试求t的481

)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．16(1)求a，b，c的值；(2)求证:在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0)，N(x2,0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．(第26题图)第4页共6页2021年长沙市中考数学试卷参考答案

一．选择题:ACBBDBCCAD二．填空题:11.110°12.(2,5)13.50°14.215.1

2016.1817.618.(-1,0)三、解答题:x25

，代入求值得；x121

21.(1)略，(2)560(3)1619.120.22.(1)略(2)323.(1)甲300棵，乙100棵(2)甲种树苗至少购买240棵；24.(1)(略)(2)352设DE=b,EC=a,则AB=3b,AE=3b-a,∵AD⊥BC,DE⊥AC,易证∠C=∠ADE,2

2

2

则△ADE∽△DCE,∴DE2=AE●EC,即:b(3ba)a，化简得:b3aba0；35b35b35，故tan∠ACB=；a，则

2a2a24

25.(1)y

x

(2)由y3kxs1得当yx时，(13k)xs1

1

当k且s=1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；31

当k且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；31s1s1s1当k，方程的解为x，此时的“梦之点”存在，坐标为(，)313k13k13k解得:b

yax2bx12

(3)由得:ax(b1)x10则x1,x2为此方程的两个不等实根，yx

由x1x2=2，又-2＜x1＜2得:-2＜x1＜0时，-4＜x2＜2；0≤x1＜2时，-2≤x2＜4；1b1b

，故-3＜＜32a2a11571092222

由x1x2=2,得:(b1)4a4a，故a＞；tbb=(b1)

84848109126111172

=4a4a+=4(a)，当a＞时，t随a的增大而增大，当a=时，t=,∴a

48248286117＞时，t。86∵抛物线yax(b1)x1的对称轴为x

2

第5页共6页26.(1)a

1

,bc04x2(y2)2，又y

121x，则r=x2(x22)2，化简44(2)设P(x,y),⊙P的半径r=得:r=114x4＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；4161211414a)，∵PA=a4，作PH⊥MN于H,则PM=PN=a4,又PH=a2,(3)设P(a,

416164则MH=NH=116a44(14a2)22，故MN=4，∴M(a2，0)，N(a2,0)，又A(0，2)，∴AM=(a2)24,AN=(a2)24当AM=AN时，解得a=0，当AM=MN时,(a2)24=4，解得:a=223，则1

4a2=423；当AN=MN时,(a2)24=4，解得:a=223，则14a2=423综上所述，P的纵坐标为0或423或423；yAPM●

OHN第6页共6页x