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电磁学09稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

2023-01-07 来源：钮旅网



电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

01磁感应线

为描述空间磁场的分布，人为引入一系列假想的曲线(1831年法拉第首次引入)。曲线的疏密反

映磁感应强度的大小，曲线每一点切线方向表示磁感应强度的方向。这些假想的曲线称为磁感应线。

量

n

如图XCH003_106 所示，在磁场分布的空间一点选取一面积元

dS

，面积元法线方向用单位矢

表示，该面积元在磁感应强度方向上的投影大小

dS

。

磁感应强度大小：

B

d

m

——通过垂直

B

方向上单位面积的磁感应线条数，也称为磁感应线密度



dS




磁感应强度方向沿该点磁感应线的切线方向，即小磁针放在该点静止时，N 所指的方向。



02 磁通量

如图XCH003_106 所示，通过

dS

的磁通量：

d

m

B dS


0

——

d

m

为正；

2






——

d

m

为负

2






穿过曲面

S

的磁通量：

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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

m



SB dS

——如图XCH003_097 所示

规定面元法线方向由里向外为正，如图XCH003_107 所示，通过一个闭合曲面

S

的磁通量：

m

S

B dS

——穿过闭合曲面

S

的磁通量为净穿过闭合曲面磁感应线的总条数

03磁场的高斯定理

SB dS

0

——无源场

S

，穿入的磁感应线的总数必然等于穿出的

由于磁感应线是闭合线，因此，对于一个闭合曲面

磁感应线总数，即通过任一闭合曲面的磁通量总是零。稳恒磁场的高斯定理是电磁场理论的基本方

程之一。

04安培环路定理

1安培环路定理

在恒定电流产生的磁场中，磁感应强度沿任一闭合回路

L

的线积分，等于闭合回路包围的所有

电流代数和的

0

倍。

L

B dr

0

L

I

int

——安培环路定理的数学表达式

安培环路定理的证明

1) 无限长载流直导线——平面闭合回路

L

垂直于导线，回路绕行方向和电流满足右手螺旋关系

导线周围的磁感应强度：

B

0

I

，如图XCH003_126 所示。




2r



L

B dr

0

I

dr

cos





由几何关系：

dr

cos

rd





B dr

I


L

B dr

2

0

0

Id

0

I

2

0 d



2

2


L


0



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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

2)无限长载流直导线——平面闭合回路垂直于导线，回路绕行和电流不满足右手螺旋关系，如

图XCH003_126_01所示。

B dr

L

0

I

dr

cos

——

dr

cos

dr

cos(

)

rd

L


2r









L

B dr

2

0

0

Id



0

I

2

2


2



LB dr

0

I

——电流

I

对环路积分的贡献与电流方向有关

——规定电流与闭合回路绕行方向满足右手螺旋关系时，对回路积分贡献为正

3)无限长载流直导线——平面闭合回路L不垂直于导线，绕行方向和电流满足右手螺旋关系

dr在电流方向和垂直于电流方向投影：

drdr

//dr

——如图XCH003_126_02所示

L

BdrL

Bdr

//L

Bdr


LBdr

0——dr

与电流同方向，与磁场垂直

L

B dr

L

B dr

//cos

——如图XCH003_126_03 所示


dr

//cos

rd

——

B

0

I

2r


L

B dr

20 Id

0 2

0

I

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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

4) 无限长载流直导线——平面闭合回路

L

不包围电流，如图XCH003_127 所示。



L

B dr

L 1



B dr

L 2



B dr

d


B dr

L 1

0

I

d

L 2

0

I

L

2

2



0

I

d

0 ( I

2

)

L 2

2


——积分方向与电流不是右手螺旋关系

L

B dr

0 I

2

0 ( I

2

)

0




5) 任意形状电流___闭合回路为非平面___多个电流同时存在的情况

可以证明安培环路定理依然成立：

L

B dr

0

L

I

int

如图XCH003_126_04 所示。

安培环路定理的意义

L

B dr

0

L

I

int

——与

L

形状大小无关，只与闭合回路包围的电流有关

L

B dr

0

L

I

int

——与闭合回路的绕行方向满足右手螺旋关系的电流对积分贡献为正，反

之为负，式中的磁感应强度是空间所有电流在积分回路上共同产生的。

闭合回路与包围电流的含义：
与闭合回路相铰链的电流为回路包围的电流，如图XCH003_128_01 所示的电流1 和电流2 为回路包围的电流，电流3 和电流4 则不是。



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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

对环路

L

的积分：



LB dr

0

(

I

1

I

2

)

cfabc

和电流回路

cdefc

形成的。

如图XCH003_128_02 所示的螺旋型电流，可以看作是电流回路

对环路

L

的积分：

L

B dr

0

L

I

int

——

I

int

I

I

2

I

LB dr

20

I

05安培环路定理的应用
1)分析电流分布的对称性
无限长均匀载流直导线、圆柱面、圆柱体；无限长载流直螺线管、环形载流螺线管；无限大载流平面。

2)分析磁场分布对称性
无限长均匀载流导线、圆柱面、圆柱体：磁力线为环绕中心轴线的同心圆，一个圆环上各点的磁感应强度大小相等，方向沿切线方向。

无限长直螺线管：管内磁场沿轴线方向，同一条磁力线上各点磁感应强度大小相等。

环形螺线管：管内磁场沿环形切线方向，同一个圆环上各点磁感应强度大小相等。

各种电流分布产生的磁场，磁感应强度方向总是与电流方向满足右手螺旋关系。

3)选取积分回路
回路上各点磁感应强度大小为常数、方向沿回路各点切线方向，或回路上部分磁感应强度积分为零，部分磁场为常数；规定闭合回路绕行的正方向。

4)应用安培环路定理

根据

L



B dr

0

L

I

int

进行计算

5)对于电流分布不对称的情况
由安培环路定理计算对称电流的磁场，再应用磁场叠加原理计算。

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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

计算无限长均匀载流圆柱面在空间产生的磁场。设电流为

I

，圆柱面半径为

R

。

电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性——到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等

假设距轴线r处点磁感应强度可分解为三个垂直方向：

Br,Band B a t，如图XCH003_129_01所示

选取半径为r，底面积和侧面积分别是SandS的圆柱面为高斯面。

应用高斯定理：

SBdS0

BaBaS)BrS0

Br 0 ——磁场在垂直于轴线方向上无分量

再在通电圆柱面外选取一个矩形闭合回路，回路正方向为顺时针，如图XCH003_129_02所示。

应用安培环路定理：

LBdr 0Ii——BaBal)0

BaBa ——意味着到轴线距离不相同的点，磁感应强度大小相等

根据电流分布的特点，磁场应该为非均匀分布，因此：

B a

Ba

0

——磁场在平行于轴线方向上无分量

通电圆柱面在空间激发的磁场：

磁感应线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

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圆柱面外磁场的计算

选取半径

r r

R

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_129_03 所示

应用安培环路定理：

LB dr

B

2r

0

I

B0 I

2r

——与无限长载流直导线产生磁场一致

圆柱面内磁场的计算

选取半径

r r

R

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_129_04 所示

应用安培环路定理：

LB dr

B

2r

0


B

0

——磁场分布如图XCH003_129_05 所示

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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

计算无限长均匀载流圆柱导体产生的磁场。设均匀电流

I

在圆柱面内，圆柱体半径为R。如图

XCH003_141_00所示

电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性，即到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等；

距离不同的点，磁感应强度不同。

磁场线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

r

R

区域：取半径为

r r

R

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_141_01 所示

应用安培环路定理：



LB dr

B

2r

0

I

B0 I

2r

——与无限长载流直导线和通电圆柱面产生磁场一致

r

R

区域：取半径为

r r

R

)

的圆为闭合回路，如图XCH003_141_02 所示。

应用安培环路定理：

B

2r

0

I


I



jS

I
(
R


)r

2


2

2



B

2r

0

I


r



R

2



B

2


0

R
I

2 r

磁场分布如图XCH003_141_03所示

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计算长直螺线管内部的磁场。已知长直螺线管单位长度的匝数为

n

，导线内通有电流

I

。



根据电流分布的对称性，可以得出管内磁感应线是一系列于轴线平行的直线，到轴线相同的点，磁感应强度大小相等。长直螺线管的外部，可以认为场强近似为0。

P

点的磁感应强度的计算：过

P

点作矩形闭合路径

L

，如图所示。

B

沿闭合路径

L

的线积分：





L

B dl

ab

B dl

bc

B dl

cd

B dl

da

B dl






abB dl

B ab








应用安培环路定理：

LB dr

0 nI ab

B ab

0 nI ab

B

0 nI



由于

P


点是任取的，所以长直螺线管内任一点的

B

值均相同，方向平行于轴线。

通电螺绕环，总匝数为

N

，导线内通有电流

I

，假设螺绕环的半径比环管的截面半径大许多。求

空间磁场分布。

环内的磁力线为同心圆，同一条磁力线上各点的磁感应强度大小相等，如图XCH003_130 所示。

区域：

r 1

r

r 2

：应用安培环路定理：






LB dr

B

2r

0

NI

——

B

0

NI


2r

r 1

r 2

)

螺绕环的半径比环管的截面半径大许多：

r

R

1 ( 2

B

0

NI

2R






B

0 nI

——

n

N

：螺绕环单位长度的匝数

2R






r

r 1

的空间：

L



B dr

0

i

I

i

0

——

B

0

r

r 2

的空间：

L



B dr

0

i

I

i

0

——

B

0

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电磁学——第九讲稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理_20121001

空气中有一半径为

r

的“无限长”直圆柱金属导体，竖直线

OO

为其中心轴线，在圆柱体内挖一

个直径为

1
2r

的圆柱空洞，空洞侧面与

OO

相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流

I

，方向沿

OO

向下，如图Q_02178_03 所示，在距轴线3r处有一电子（电量为e）沿平行于OO轴方向，在中

心轴线OO和空洞轴线所决定的平面内，向下以速度v

飞经P点，求电子经P点时所受的力。



利用补偿法计算

P

点磁感应强度(负电流法)

P

点的磁感应强度由电流密度为

j

(



I

2

/16)

半径为

r

、电流向下的“无限长”直圆柱金属导



r

2

r



体和电流密度为：

j




I


/16)

半径为

r

/ 4

、电流向上“无限长”直圆柱金属导体共同产生的。

(

r

2

r

2

如图Q_02178_04 所示。

P

点的磁感应强度：


B


B 1


B 2

B 1

0

I

1

——将

I

1

(

r

2

I r

2

/16)

和

d 1

3 r

代入得到:

2

d

1

r

2

B 1

0

1

(

r

2

I r

2

/16)

，

B 1

0

I

16

——方向垂直纸面向里

2

3 r

r

2

6r

15

B 2

0

I

2

——将

I

2

(

I r

2

/16

和

d

2

3 r

1

r

代入得到

2

d

2

r

2

r

2

/16)


4


B 2

0

(3 r

1

1

r

)

(

I r

2

/16

，

B 2

0

I

2

——方向垂直纸面向外

2

r

2

r

2

/16)

11r

15

4

P

点的磁感应强度大小:

B

B 1

B 2

，

B

82
495

0

I

——方向垂直纸面向里

r

电子受到的洛伦兹力：F




e v


B

F 820 Ie v

——方向向左，如图Q_02178_03 所示

495r

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