高考物理万有引力定律的应用专项练习

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T，地球质量为M、半径为R，引力常量为G．

（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；

（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1和h2的大小，并说出你的理由．

22πGMT3【答案】（1）=；（2）h1=R （3）h1= h2 2T4【解析】 【分析】

（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】

（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度=（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2GMT解得：h1=3R 24π2π TMm2π2=m(Rh)() 1(Rh1)2T

（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T，根据牛顿运动定律，G2GMT解得：h2=3R 24Mm22=m(Rh)() 2(Rh2)2T因此h1= h2．

22πGMT3故本题答案是：（1）=；（2）h1=R （3）h1= h2 2T4【点睛】

对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．

2．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L =20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5 T，将太阳帆板视为导体．

（1）求M、N间感应电动势的大小E；

（2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0.3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；

（3）取地球半径R=6.4×103 km，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）． 【答案】（1）1.54V（2）不能（3）4105m 【解析】 【分析】

【详解】

（1）法拉第电磁感应定律

E=BLv

代入数据得

E=1.54V

（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流． （3）在地球表面有

G匀速圆周运动

Mmmg 2RMmv2G=m (R+h)2R+h解得

gR2h2R

v代入数据得

h≈4×105m 【方法技巧】

本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不

大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．

3．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R，己知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求： （1）a、b两颗卫星周期分别是多少？ （2） a、b两颗卫星速度之比是多少？

（3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1）2【解析】

【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解；

解：（1）卫星做匀速圆周运动，F引F向， 对地面上的物体由黄金代换式GR8R ，16 （2）速度之比为2 ；g7gR gMmmg 2RGMm42m2R a卫星2RTa解得Ta2R gGMm42m2·4R b卫星

(4R)2Tb解得Tb16R g（2）卫星做匀速圆周运动，F引F向，

GMmmva2a卫星 R2R解得vaGM RMmv2mb卫星b卫星G 2(4R)4R解得vbGM 4RVa2 所以 Vb22 （3）最远的条件

TaTb解得t87R g

4．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g月； (2)月球的质量M；

(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T.

Rt2v02R2v0【答案】(1)；(2)；(3)2 2v0tGt【解析】 【详解】

(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有t2v0 g月2v0 t(2)假设月球表面一物体质量为m，有

月球表面的重力加速度大小g月GMm=mg月 2R2R2v0月球的质量M Gt(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有

Mm2 G2mR RT飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期

2T2

Rt 2v05．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动,周期为T，已知万有引力常量为G，求: (1)该天体的质量是多少? (2)该天体的密度是多少?

(3)该天体表面的重力加速度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少?

2342(Rh)342(Rh)33(Rh)34(Rh)； (2)；(3)； (4)【答案】(1) 2GT2R2T2GT2R3RT【解析】 【分析】

（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解； （2）根据密度的定义求解天体密度；

（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解； （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度． 【详解】

（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:

2Mm2G=m(R+h) (Rh)2T42(Rh)3 ① 解得：M=2GT（2）天体的密度：

42(Rh)32M3(Rh)3GTρ===． 234VGTRR33（3）在天体表面，重力等于万有引力，故: mg=G

Mm ② 2R42(Rh)3 ③ 联立①②解得：g=22RTv2（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m

R④

234(Rh)． 联立③④解得：v=gR=2RT【点睛】

本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题．

6．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。

（1）2018年12月27日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共35颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为Me，地球半径为R，引力常量为G。 a.求该同步卫星绕地球运动的速度v的大小；

b.如图所示，O点为地球的球心，P点处有一颗地球同步卫星，P点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h= 5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15,sin810.99）

（2）今年年初上映的中国首部科幻电影《流浪地球》引发全球热议。根据量子理论，每个光子动量大小ph（h为普朗克常数，λ为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产

生持续的压力。设有一质量为m的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为G，光速为c，太阳质量为Ms，太阳单位时间辐射的总能量为E。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最

小面积s0。（忽略其他星体对飞行器的引力） 【答案】（1）a.vGMe b．至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行Rh器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s0 【解析】 【详解】

（1）a．设卫星的质量为m。 由牛顿第二定律GMemRh2v2m，

Rh得vGMe Rhb．如答图所示，设P点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ，至少需要N颗地球同步卫星才能覆盖全球。

由直角三角形函数关系cosR，h= 5.6 R，得θ= 81°。 Rh所以1颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ = 162°

N360=2.2 2所以，N = 3，即至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球

（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r时，光帆受到太阳光的压力F与太阳对飞行器的引力大小关系，有FG设光帆对太阳光子的力为F'，根据牛顿第三定律F' =F

设t时间内太阳光照射到光帆的光子数为n，根据动量定理：F't2nMsm r2h

设t时间内太阳辐射的光子数为N，则

NEtc h设光帆面积为s，当F=Gns N4r2Msm2cGMsms时，得最小面积 02rE由上式可知，s0和飞行器与太阳距离r无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不

需要改变光帆的最小面积s0。

7．一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R．已知R为地球半径，地球表面处重力加速度为ｇ． （1）求该卫星的运行周期．

（2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度ω0．某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？

23RVt＝【答案】（1）T＝6（2） 1gg033R【解析】 【分析】 【详解】

42＝m23R （1）对卫星运用万有引力定律和牛顿运动定律可得G2T3RMm地球表面的物体受到重力等于万有引力mg＝G联立解得T＝6Mm 2 R3R ； g（2）以地面为参照物，卫星再次出现在建筑物上方时，建筑物随地球转过的弧度比卫星转过弧度少2π． ω1△t-ω0△t=2π， 所以

Vt＝222＝＝102； 1g00T33R

8．双星系统由两颗彼此相距很近的两个恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的共同质量中心做周期相同的匀速圆周运动。现有一个天文观测活动小组为了测量一双星系统中的两个恒星的质量m1和m2，进行了如下测量：测出了该双星系统的周期T和质量为m1和m2的两个恒星的运动半径r1和r2。是根据上述测量数据计算出两个恒星的质量m1和m2。（万有引力恒量为G）

【答案】【解析】

，

试题分析：根据万有引力定律得：，解得：

，

考点：考查了万有引力定律的应用

9．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r的匀速圆周运动。卫星的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，不计地球自转的影响。求：

（1）卫星进入轨道后的加速度大小gr； （2）卫星的动能Ek。

mgR2gR2【答案】（1）2（2）

2rr【解析】 【详解】

Mm(1)设地球的质量为M，对在地球表面质量为m的物体，有：Gmg 2R对卫星，有：GMmmgr r2gR2解得：gr2

rMmv2(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：G2m

rr 卫星的动能为：Ek12mv 2mgR2解得：Ek

2r

10．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据

(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v＝7.9km/s，万有引力常量G＝6.67×l0－

11

m3kg－1s－2，光速C＝3×108ms－1；

(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速（逃逸速度为第一宇宙速度的2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．

在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达）

①试估算地球的质量；

②试估算太阳表面的重力加速度；

③己知某星体演变为黑洞时的质量为M，求该星体演变为黑洞时的临界半径R． 【答案】（1）6×1024kg（2）3103m/s2（3）【解析】

2GM C2GM地mv2m (1)物体绕地球表面做匀速圆周运动2R地RR地v2＝6×1024kg 解得：MG(2)在地球表面解得：g地GM地mmg地 2R地GM地 2R地GM日 2R日同理在太阳表面g日2M日R地32g日g310m/s 2地M地R日v12GMm(3)第一宇宙速度m

R2R第二宇宙速度v2c2v1 解得：R2GM C2【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．