浅谈逆矩阵的求法及其应用论文

2022-02-24 来源：钮旅网

本科生毕业论文（设计）册

论文（设计）题目：

浅谈逆矩阵的求法及其应用

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明

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注意事项

1.设计（论文）的内容包括：

1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明

3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）

6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢

9）附录（对论文支持必要时）

2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求：

1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写

2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画

3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上

5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文）

2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订

指导教师评阅书

指导教师评价：一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格（在所选等级前的□内画“√”）指导教师：（签名）单位：（盖章）年月日

评阅教师评阅书

评阅教师评价：一、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格二、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格（在所选等级前的□内画“√”）评阅教师：（签名）单位：（盖章）年月日

教研室（或答辩小组）及教学系意见

教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程 1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生答辩过程中的精神状态 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格教研室主任（或答辩小组组长）：（签名）年月日教学系意见：系主任：（签名）年月日

大学本科毕业论文（设计）任务书

论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用 1、论文（设计）研究目标及主要任务

研究几种可逆矩阵求逆的求法，进一步了解逆矩阵的一些在实际中的应用. 2、论文（设计）的主要内容

先介绍矩阵和逆矩阵的基础知识知识，然后是求逆矩阵的方法，最后是逆矩阵的几个应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线

矩阵是数学中的一个重要工具，矩阵及逆矩阵的相关基础知识，矩阵可逆的条件，可逆矩阵求逆的方法，逆矩阵的应用. 4、主要参考文献

【1】葛红军、阳军著. 矩阵方法，浙江大学出版社. 【2】邱森编著. 高等代数，武汉大学出版社. 【3】闫慧臻编著. 线性代数及其应用，科学出版社.

【4】邱森、朱林生编著. 高等代数探究性课题集，武汉大学出版社. 5、计划进度

1 2 3 4 5 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日

阶段论文任务书，开题报告毕业论文初稿写作论文二稿写作，中期检查进一步修改，并定稿论文答辩起止日期 2013.12.2-2013.12.27 2014.12.30-2014.3.28 2014.3.31-2014.4.15 2014.4.20-2014.5.8 2014.5.10-2014.5.16 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书

数学与信息科学学院数学与应用数学专业 2014 届

学生秦艳敏姓名指导麻常利教师课题论证：见附页论文（设计）题目专业教授职称浅谈逆矩阵的求法及其应用所属教研室数学教研室研究代数组合与编方向码方案设计：首先介绍矩阵以及逆矩阵的相关的基础知识，再详细介绍几种求逆矩阵的方法，最后探究几个逆矩阵在数学以及实际中的应用. 进度计划：1、论文任务书，开题报告 2013.12.2-2013.12.27 2、毕业论文初稿写作 2014.12.30-2014.3.28 3、论文二稿写作，中期检查 2014.3.31-2014.4.15 4、进一步修改，并定稿 2014.4.20-2014.5.8 5、论文答辩. 2014.5.10-2014.5.16 指导教师意见：指导教师签名：年月日教研室意见：教研室主任签名：年月日课题论证（附页）

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。根据世界数学发展记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。 1850年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，1814—1897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组是，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱（Caylag，1821—1895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。 1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律。两个非零矩阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。 1878年，德国数学家弗洛伯纽斯（Frobeniws，1849—1917）在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义，1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已经发展称为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表

现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标x0y逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可交换性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程个特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标x0y逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。求解可逆矩阵的逆矩阵有多种方法，陈东升的《线性代数与空间解析几何及其应用》中详细介绍了用初等变换法求解可逆矩阵的逆矩阵。逆矩阵的应用也是多方面的，在《矩阵方法》一书中，作者列举了逆矩阵在实际中的几个应用，比如有逆矩阵在解矩阵方阵中的应用、逆矩阵在解线性方程组中的应用、逆矩阵在信息传输中的应用等等。河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章

摘自张文博. 线性代数（第7版）求解线性方程组或许是数学问题中最重要的问题。超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某个阶段都涉及求解线性方程组。利用新的数学方法，通常可以将较为复杂的问题化为线性方程组。线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域。一般地，如果nm的线性方程组可以化简为严格三角形式，则它将有一个唯一解，并可通过三角形方程组的回代法得到。我们可将化简的过程看成是一个n-1步的算法。第一步，从矩阵的第一列所有非零元中选择一个主元。包含主元的行称为主行（pivotal row）。交换行（若需要）使得主行称为第一行。然后其余n-1行减去主行的某个倍数，使得从第二到第n行中的第一个元为0.第二步，从矩阵的第二行到第n行中选择第二列的一个非零元作为主元，将包含主元的行作为主行，消去第二列中主元下面的所有元。从第三列到第n-1列重复相同的过程。注意，在第二步中，第一行和第一列的元素并不发生变化；进行第三步时，前两行以及前两列的元素保持不变，以此类推。在每一个步骤中，方程组的维数实际上有效减少1。如果能像上述方式进行消元过程，n-1步之后，即可得到一个等价的严格三角形方程组。然而，上述过程中，如果在任何一步所有可能选择的主元均为0，此时该过程就将在这一步停止。当这种情况发生时，可以考虑将方程化为某种特殊的梯形或者阶梯形。阶梯形的方程组将在下一节进行讨论。他们还可用于nm的方程组，其中mn。给定一线性方程组Axb，可以在其两端同乘一系列特殊矩阵，以得到一个等价的行阶梯形方程组。我们将使用的这些特殊矩阵称为初等矩阵（elementary matrices）。它们将用来观察如何计算非奇异矩阵的逆矩阵，以及得到一个重要的矩阵分解。下面从考虑线性方程组两端同乘一个非奇异矩阵的作用开始。给定一个nm线性方程组Axb，可以通过再其两端同乘一个非奇异的nm矩阵M，得到它的一个等价方程组 Axb MAxMb 显然，任何（1）的解也将为（2）的解。另一方面，如x果为（2）的解，则 M-1MAx=M-1Mb Axb

因此，这两个方程组是等价的。为了获得一个容易求解的等价方程组，我们可以将一系列非奇异矩E1Ek阵应用到方程的Axb两端，从而得到一个较为简单的方程组： Uxc 其中U=EkE1A，且c=EkE1b。由于M=EkE1为非奇异的，因此新的方程组和原有的方程组是等价的。然而，因为M为非奇异矩阵的乘积，故它也是非奇异的。下面将说明三个初等行运算可以用A左乘一个非奇异矩阵来实现。如果从单位矩阵I开始，只进行一次初等行运算，得到的矩阵称为初等（elementary）矩阵。分别对应于三类初等行运算，有三类初等矩阵。类型1 第1类初等矩阵由交换矩阵I的两行得到。类型2 第2类初等矩阵由单位矩阵I的某一行乘以一个非零常数得到。类型3 第3类初等矩阵由矩阵I的某一行的倍数加到另一行得到。一般地，假设E为一nn的初等矩阵，我们可以认为E是由I经过一个行运算或一个列运算得到的。若A为一nr的矩阵，A左乘E的作用就是对A进行相应的运算，若B为一个mn的矩阵，B右乘E等价于对B进行相应的运算。数学和统计建模中的一个基本方法是，根据最小二乘（least squares）拟合平面上的点集。最小二乘曲线的图形通常是基本类型的函数，例如线性函数、多项式或三角多项式。由于数据可能会有测量误差或实验误差，我们不要求曲线通过所有数据点。事实上，我们需要在所有数据点处的y值和逼近曲线相应点处的y值之间误差的平方和最小意义下的最佳曲线。最小二乘技术是由勒让德（A. M. Legendre）和高斯（Carl Friedrich Gauss）独立地提出的。尽管有明确的证据表明，在高斯还是一个学生的时候，早于勒让德的文章九年就已经提出这种方法并使用它进行了天文计算，然而有关这个主题的第一篇文章是勒让德在1806年发表的。 Seven J. Leon. Linear Algebra with Application（Seventh Edition）

Probably the most important in mathematics is that of solving a system of linear equations .well over 75 percent of all mathematical problems encountered in scientific or industrial applications involve solving a linear system at some stage. By using the methods of modern mathematics ,it is often possible to take a sophisticated problem and reduce it to a single system of linear equations. Linear system arise in applications to such areas as business, economics, sociology, ecology, demography, genetics, electronics, engineering, and physics. In general, if an nn linear system can be reduced to strictly triangular form, then it will have a unique solution that can be obtained by performing back substitution on the triangular system. We can think of the reduction process as an algorithm involving n-1 step. At the first step, a pivot element is chosen from among the nonzero entries in the first column of the matrix. The row containing the pivot element is called the pivotal row. We interchange rows (if necessary) so that the pivotal row is the new first row. Multiples of the pivotal row are then subtracted from each of the remaining n-1 rows so as to obtain 0s in the first entries of 2 through n. At the second step, a pivot element is chosen from the nonzero entries in column 2, rows 2 through n, of the matrix. The row containing the pivot is then interchanged with the second row of the matrix and is used as the new pivotal row. Multiples of the pivotal row are then subtracted from the remaining n-2 rows so as to eliminate all entries below the pivot in the second column. The same procedure is repeated for columns 3 through n-1. Note that at the second step row 1 and column 1 remain unchanged, at the third step the first two rows and first two columns remain unchanged, and so on. At each step, the overall dimensions of the system are effectively reduced by 1 (see Figure 1.1.2). If the elimination process can be carried out as described, we will arrive at an equivalent strictly triangular system after n-1 step. However, the procedure will break down if, at any step, all possible choices for a pivot element are equal to 0. When this happens, the alternative is to reduce the system to certain special echelon, or staircase-shaped, forms. These echelon forms will be studied in the next section. They will also be used for mn systems, where mn. Given a linear system Axb, we can multiply both sides by a sequence of special matrices to obtain an equivalent system in row echelon form. The special matrices we will use are called elementary matrices. We will use them to see how to compute the inverse of a nonsingular matrix and also to obtain an important matrix factorization. We begin by considering the effects of multiplying both sides of a linear system by a nonsingular matrix. Given an mn linear systemAxb, we can obtain an equivalent system by multiplying both sides of the equation by a nonsingular mn matrix M:

Axb MAxMb Clearly, any solution of (1) will also be a solution of (2). On the other hand, if xis a solution of (2), then M-1MAx=M-1Mb Axb and it follows that the two systems are equivalent. To transform the system Axb to a simpler form that is easier to solve, we can apply a sequence of nonsingular matrices E1E2 to both sides of the equation. The new system will then be the form Uxc where U=EkE1A and c=EkE1b. The transformed system will be equivalent to the original, provided that M=EkE1 is nonsingular. However, M is nonsingular, since it is a product of nonsingular matrix. We will show next that any of the three elementary row operations can be accomplished by multiplying A on the left by a nonsingular matrix. If we start with the identity matrix I and then perform exactly one elementary row operation, the resulting matrix is called an elementary matrix. There are three types of elementary matrices corresponding to the three types of elementary row operations. Type 1 An elementary matrix of type I is a matrix obtained by interchanging two rows of I. Type 2 An elementary matrix of type 2 is a matrix obtained by multiplying a row of I by a nonzero constant. Type 3 An elementary matrix of type 3 is a matrix obtained from I by adding a multiple of one row to another row. In general, suppose that E is an nn elementary matrix. We can think of E as being obtained from I by either a row operation or a column operation. If A is an nr matrix, pre-multiplying A by E has the effect of performing that same row operation on A. If B is an mn matrix, post-multiplying B by E is equivalent to performing that same column operation on B. A standard technique in mathematical and statistical modeling is to find a least squares fit to a set of date points in the plane. The least squares curve is usually the graph of a standard

type of function, such as a linear function, a polynomial, or a trigonometric polynomial. Since the data may include errors in measurement or experiment-related inaccuracies, we do not require the curve to pass through all the data points. Instead, we require the curve to provide an optimal approximation in the sense that the sum of squares of errors between the y values of the data points and the corresponding y values of the approximating curve are minimized. The technique of least squares was developed independently by Adrien-Marie Legendre and Carl Friedrich Gauss. The first paper on the subject was published by Legendre in 1806, although there is clear evidence that Gauss had discovered it as a student nine years prior to Legendre’s paper and used the method to do astronomical calculations.

本科生毕业论文设计

浅谈逆矩阵的求法及其应用

作者姓名：秦艳敏指导教师：麻常利

所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）： 2014届数学A班

二〇一四年四月十六日

中文摘要、关键字 ........................................................... 1 1 基础知识 ................................................................ 2

1.1 矩阵的定义及性质 .................................................. 2 1.2 逆矩阵的定义及性质 ................................................ 4 1.3 矩阵可逆的充分必要条件1 .......................................... 5 2 求逆矩阵的方法 .......................................................... 5

2.1 定义法 ............................................................ 6 2.2 伴随矩阵法 ........................................................ 6 2.3 初等变换法 ........................................................ 9 2.4 分块矩阵法 ....................................................... 10 2.5 解方程组法 ....................................................... 14 3 逆矩阵的应用 ........................................................... 16

3.1 在解线性方程组中的应用 ........................................... 16 3.2 在解矩阵方程中的应用 ............................................. 18 3.3 在加密传输中的应用 ............................................... 20 3.4 用逆矩阵求不定积分 ............................................... 22 3.5 在投入产出分析中的应用 ........................................... 25 3.6 在调配问题中的应用 ............................................... 26 参考文献 .................................................................. 29 英文摘要、关键字 .......................................................... 30

浅谈逆矩阵的求法及其应用

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师麻常利作者秦艳敏

摘要：本论文主要讨论的是可逆矩阵的求法及其简单的应用。本论文总共分为三个章节，第一章简单的介绍了一些相关的基础知识，包括矩阵的定义及其性质、逆矩阵的定义及其性质；第二章介绍了几种求逆矩阵的方法，详细介绍了五种求逆矩阵的方法，包括定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法，并且分别举例进行进一步解释，并且研究了适用范围，指出了针对不同的矩阵采用不同的求逆方法；第三章介绍了逆矩阵的几个应用，分两个部分进行举例，一是在数学中的应用，二是在实际生活中的应用，具体包括在解线性方程组中的应用、在解矩阵方程中的应用、在解不定积分中的应用、在加密传输中的应用、在投入产出分析中的应用、在调配问题中的应用。

关键词：矩阵逆矩阵伴随矩阵分块矩阵初等变换

1 基础知识

1.1 矩阵的定义及性质

1.1.1 矩阵的定义

定义1 由mn个数a（排成的行列的数表：，2，，m；j1，2，，n）iji1a11a12aa2221A=am1am2a1na2n amn叫做m行n列矩阵，简称为mn矩阵，其中aij表示位于第i行第j列的数，又称矩阵的元.

矩阵常用大写黑体字母A，B，C，或者（aij），（bij），（cij），如果题目中需要指明矩阵的行数和列数，我们经常写坐Amn或A（aij）mn （i1,2，，m；j1,2，，n），这里下标指明行序数，下标指明列序数.

元是实数的矩阵为实矩阵，元是复数的矩阵是复矩阵.一般的矩阵除特别说明之外，都是指实矩阵.

如果mn，我们就称A为n阶矩阵或称为n阶方阵，n阶矩阵也可以记作An，只有一行的矩阵A称为行矩阵，为了避免元素之间的混淆，一般行矩阵也可记为：（a1a2an）表示.

b1b2，同理，只有一列的矩阵B称为列矩阵. A（a1，a2，，an）bn如果两个矩阵的行数和列数都相等，那么称这两个矩阵为同型矩阵.如果A和（aij）是同型矩阵并且这两个矩阵相对应的元素也相等，也就是aijbijB（bij）（i1,2,，m；j1,2，，n），那么我们就称这两个矩阵相等，记作AB.

（a）称只有一个元素a的矩阵为一阶矩阵，简记为，称所有元素都为数0的矩阵为零

矩阵，简记作0。注意不同型的零矩阵是不同的.

n阶方阵

10En001000 1叫做n阶单位矩阵，简记作E或I，容易看出，该方阵的特点是：从矩阵的左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素为1，其余的元素全部是数0，即

E（δij）

ij，1,?其中δij（i，j1,2，，n）.

ij0,?1.1.2矩阵的性质

性质1 矩阵的加法运算具有以下运算规律：（1）加法交换律：ABBA；

（2）加法的结合律：ABCABC；（3）A00AA；其中A、B、C都是mn阶矩阵.

性质2 矩阵的数乘运算具有以下运算规律：（1）klAklAlkA；（2）kABkAkB；（3）klAkAlA；

其中A、B、C都是mn阶矩阵，k、l为任意实数. 性质3 矩阵乘法运算满足的运算规律和性质：（1）结合律：ABCABC；

（2）分配律：ABCABAC，ABCACBC；（3）数与乘法的结合律：kABAkBkAB；（4）当A、B皆为n阶方阵时，有ABAB；（5）ABBTAT；

（6）rABminrA，rB；性质4 矩阵乘法不满足交换律.

1000例1 已知A，B10，求00和.

100000001000解：AB，， BA0010001000101.2 逆矩阵的定义及性质

1.2.1逆矩阵的定义

定义2 设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得并且称为的逆矩阵，简称为的逆阵或的逆，记为

1220例2：设A，B11120 1010E 011，则称矩阵是可逆的，.

1202则 AB111212BA1202010E 11011所以ABBAE，因而说是可逆矩阵，且B是A的逆矩阵

显然定义中矩阵A与B的地位是相同的，所以也可以说矩阵B可逆，而A是B的逆矩阵，并且从定义可知，可逆阵及其逆矩阵都是方阵.容易验证：单位矩阵E是可逆矩阵，且逆矩阵就是其本身，即E1E.

00设矩阵C 11我们可以看出，对任何二阶矩阵，乘积

的第一行元素必全为零，故总有CDE，

因而C可不能有逆矩阵，这说明，不是任何方阵都有逆矩阵.

1.2.2逆矩阵的性质

性质5 如果矩阵是可逆的，那么的逆矩阵是唯一的. 证明：设B和C都是方阵A的逆矩阵，则依定义有：

ABBAE，ACCAE

从而，BBEBACBACECC 即BC，这说明的逆矩阵只有一个.

性质6 若A是可逆矩阵，则A1也是可逆矩阵，且A1A；

1性质7 若A是可逆矩阵，k是不为零的数，则kA也是可逆矩阵，且kA性质8 若A是可逆矩阵，则AT也是可逆矩阵，且AT111A； k1A1T；

1性质9 若A与B均是n阶可逆矩阵，则AB也是n阶可逆矩阵，且ABB1A1；证明：因为ABB1A1ABB1A1AEA1AA1E；

BAB11A1ABB1A1ABB1EBB1BE；所以AB是可逆矩阵，且

B1A1.

1.3 矩阵可逆的充分必要条件1

本节给出判定矩阵可逆的一些充分必要条件

（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A0（也即rAn）；

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位阵；

（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得ABE（或BAE），则A可逆，且

A1B；

（5）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；

a11a12A例3 设，求A可逆的条件，在A可逆的条件下，求A1. a21a22解：A可逆Aa11a22a12a210，或

1 a11a21aa，或1112，当A0时， a12a22a21a22a22a121*1AA aaAa11a22a12a2121112 求逆矩阵的方法

2.1 定义法

此法要求我们对矩阵乘法运算比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可以直接看出满足条件的矩阵B，只需要验证ABE和BAE中的一个成立即可.

例4 设n阶矩阵A满足A23A4E0，求证A，A3E可逆，并求其逆矩阵.

A3E解：由A23A4E0，可得AA3E4E，即AE，

4故A可逆，且A1111A3E；A3E也可逆，且A3EA， 44对于元素没有具体给出的抽象矩阵A，判断该矩阵可逆以及求其逆矩阵常用如下结论

结论：设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得ABE（或BAE），则A可逆，其A1B.

注：对于需要证明A可逆且要求出A1的题目，利用上述结论可以将两个问题一并解决.

例5 设方阵A满足A3A22AE0，证明A及EA均可逆，并求A1和

EA1.

解：设EAA2aAbEcE，展开得A3a1A2abAbcE0

与所给等式相比较得，a11，ab2，bc1，于是，a0，

，c1

即EAA22EE，AA2A2EE 由此可得，A1A2A2E，EAA22E 该例题的方法亦可称为待定系数法.

12.2 伴随矩阵法2

定义3 设Aaijnn，令Aij为矩阵A中元素aij的代数余子式.将这n2个数排列成一个n阶方阵，记为A*，即 A（,2，，n）iji，j16

A11AA*12A1n*A21An1A22An2 A2nAnnTnn称A为A的伴随矩阵，即AAjiAijnn*

由行列式的展开定理知，AA*的第i行第j列元素为

A,ij ai1Aj1ai2Aj2ainAinaikAjkk10,ijn于是

AAA***AAAE，同理有A*AAAAE AA*A*即AAAAAE，当A0时，有AAE

AA定理1 方阵A是可逆矩阵的充要条件是A0，并且A11*A. A证明：必要性若方阵A可逆，则存在A1满足AA1A1AE，所以，

AA1A1AAA1E1，故A0，

充分性若A0，用矩阵

1*A右乘A，则得： AA1*1AAA* AAA21An1A00AA22An2 A2nAnn0000AE

Aa11a12a1nA11aAaa21222n12而AA* aaannA1nn1n2于是，A1*1AAEE， AA1*1*AAE，故A可逆，且A1A. AA7

同理可证

121的逆矩阵. 102例6 求矩阵130解：通过计算可以得出A70，于是A可逆，再计算出每个元素的代数余子式：

A116，A122，A133；A213，A221，A235；

A314，A321，A332；

A11则A*A21A31A12A22A32A13634211， A23A333526341*1. A211故A1A7352例7 设，请判断A是不是可逆矩阵，如果是可逆的，求出A1. 解：容易求得，A20，所以可逆，

又A112，A216，A314，A123，A226，A325，A132，A232，

A332，

A11所以，A*A12A13A21A22A23A31264365， A32A332223211*351. 故，AA3A22111注：（1）有些矩阵的阶数比较低（一般不超过3阶）或者矩阵元素的代数余子式易于计算，我们往往采用此法求其逆矩阵，但是一定要注意A*Aijnn元素的位置和符号，

a11a12a22*特别是2阶方阵A，其伴随矩阵是Aaaa212221a12. a11AB（2）对分开矩阵不能按上述规律求伴随矩阵. CD利用上述定理，不但可以判断矩阵是否可逆，还可用公式求出A的逆矩阵，当A是低阶矩阵时用公式求逆矩阵是方便的，尤其当A是二阶矩阵时更简单.但当阶数较高时，

求一个n阶方阵的逆矩阵时，先要计算n2个n1阶行列式和一个n阶行列式，还要作n2个除法，工作量是很大的.

2.3 初等变换法3

这是将要介绍的最常用的求逆矩阵的方法，这个方法蕴含在下面的定理之中. 定理2 n阶方阵A可逆充分必要条件是A可以表示成若干个初等矩阵的乘积. 证：必要性设方阵A可逆，则A~E，故经过有限次初等变换可变成，也就是存在有限个初等矩阵P1，P2，，Pr，使PP12PrEP1PsA，即APP12PrP1Ps，

充分性如果A可以表示成若干个初等矩阵的乘积的形式，并且由于初等矩阵是可逆的，由性质可得它们的乘积也是可逆的，于是得出，A可逆.

推论1 若A，B都是为mn矩阵，则这两个矩阵相似的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQB.

推论2 任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.

根据推论2，我们很容易得到另外一种求逆矩阵的方法，也就是利用初等行（列）变换求可逆矩阵的逆矩阵.

设A是可逆矩阵，因此由推论2可知，有初等矩阵P1，P2，，Pn，使

PP12PnAE，

将上述式子两边同时右乘A1，得到

1PP12PnEA，

上述两个式子说明，如果用一系列初等行变换把A化成E，那么可以用跟上述变换相同的步骤可以把E变成A1.

对于给定的阶可逆矩阵A，将一个阶单位矩阵放在A的右边，构成一个n2n阶矩阵，即

a11a12a1n1a21a22a2n0A，E an1an2ann00010

 01对上述n2n阶矩阵进行若干次初等行变换，最后把左边的A化为单位矩阵E，此时右边的E就是A1，即

A，E若干个初等行变换9

E，A

1

012，求逆矩阵A1. 114例8 设矩阵A210012100rr11401012作初等行变换：A，E114|010012|100

210001210001解：对

r32r1114010r3r11401032012|100012|100 038020002320r1r2r31002100211r31r2r32010|421010|4002321001321121

112因此

2A14321121

112注：（1）有些矩阵的阶数比较高（n3），我们一般采用初等行变换法求其逆矩阵，但是利用上述方法求逆矩阵时，只允许进行行变换.

A初等列变换E（2）也可以利用1，求得的逆矩阵.

EA（3）当矩阵A可逆时，可利用

AB初等行变换A初等列变换EEAB，CCA1

1A1B和CA1.这个方法的好处在于不用求出A的逆矩阵也不用进行矩阵乘法运求得 A1B和CA1. 算，只需进行初等行（列）变换就可以求出在n阶矩阵的可逆性未知的情况下，也可直接使用这个方法，如果在若干次初等变换之后发现左边的矩阵有一行元素全为零，那么表示矩阵A是不可逆的，这表明A0，则

A1不存在.

2.4 分块矩阵法4

（1）n阶方阵的分块对角（或次对角）矩阵

定义4 在n阶方阵A的分块矩阵中，如果除主对角线上有非零小方阵外，其余为零矩阵，即

A100A2A 0000 As则称矩阵A为分块对角阵.

分块对角矩阵的行列式AA1A2As，由此可得，若Ai（，则0i1，2，，s）A0，从而矩阵A可逆，并且

0A110100A2 A1 1A00s00同理，若A0A2 AS00A100，则A10As11 10A01As10 021例9 设A00100000?3200，求逆矩阵A1. 4302134，其中，， AA12A21023A1解：把A分块如下：A0由公式A11*01341A，可得出：A11， A2A1223100200 0?3402301故 A10011

500，求逆矩阵A1. 031例10 设A021A1解：将A分块为A00，其中，A15，A231，A2，可求得2111，所以 A21231500A210011 2301AA11000例11 已知A110021520021，求逆矩阵A1. 00A15212，其中，， AA12021110解：将A分块如下：AA2可求得，

A1112111121*， A1*AA222511A1A23231 3000从而，A11A110031A210300120250（2）分块三角矩阵

定理3 如果A可分块成为上三角块矩阵：

AaijmnBC 0D其中B是s阶可逆矩阵，D为t阶可逆矩阵，C为st阶矩阵，则A是可逆矩阵，且

B1B1CD1A 1D0112

如果A可分块为下三角块矩阵：

AaijmnB0 CD其中B为s阶可逆矩阵，D为t阶可逆矩阵，C为ts阶矩阵，则A是可逆矩阵，且

B10 A111DDCB1下面证明A可分块为下三角块矩阵的情况：

证：由拉普拉斯定理知，ABD，由于B，D是可逆矩阵，故

ABD0

所以，A也是可逆矩阵，假设A有可逆矩阵X，使AXE，将X按A的分法进行分块：

X1XX3X2 X4这样，应有

B0X1CDX3X2EsX400 Et这里Es及Et分别是s阶及t阶单位矩阵，将上述等式左边做矩阵乘法，并比较等式两边：

BX1EsBX20 CX1DX30CX2DX4Et由第1、第2式得：

X1B1，X2B100

将X20代入第四式，得：

X4D1

由第3式及X1B1可得：

DX3CX1CB1

所以，X3D1CB1，于是

B10 A111DDCB1

231，求逆矩阵A1. 112例12 设A004BC231解：设A，其中，CB112，D4,于是 0D513113114 ，D1，B1CD1B1412243124B1因此，A015134B1CD1312

4D11004有些矩阵比较特殊，那些阶数比较大并且能够化为对角子块阵或者三角块阵，利用这个方法比较简便，并且在求逆矩阵之前，应该把给定的矩阵先进行合理分块，然后再进行计算.

2.5 解方程组法

根据可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵仍是上（下）三角矩阵，并且其逆矩阵有特点，上（下）三角矩阵的逆矩阵的主对角线上的元分别是上（下）三角矩阵相对应的主对角线上的元素的倒数，于是我们可以先设逆矩阵为含有待定参数的矩阵形式.

又由于A1AAA1E，根据矩阵相等的定义，我们可以得出与待定参数有关的若干个方程，通过解方程就可以得到待定参数.

ab1adbc1A例13 设A，且，求. cd解：因为adbc10，所以A0，故A可逆.

xy设A的逆矩阵为B，由ABBAE得： zk14

axbzaxcy1aybkbxdy0 cxdzazck0cydkbzdk1解得，xd，yb，zc，ka，

db所以A1B. ca1例14 设A1210020132100，求逆矩阵A1. 040111解：设Aa212a31a32a41a420000，先求主对角下方的元素a21，a32，a43，再求a31，a42，

1031a434最后求a41，于是

011A1Aa212a31a32a41a42001001210311a4340020132100E 04比较等式两端，得到：

a2111110，得a21；2a320，得a32； 223611210，得a43；a31a320，得a31； 412323a432a42a4325110，得a42；a41a422a430，得a41； 4244815

1121所以，所求的逆矩阵为A121801216524001311200. 0143 逆矩阵的应用

3.1 在解线性方程组中的应用

3.1.1 解线性方程组中的应用5

利用可逆矩阵的逆矩阵可以解一些特殊的线性方程组，对于由个未知量个方程组成的线性方程组.

a11x1a12x2a1nxnb1，axaxaxb，22112222nn2 an1x1an2x2annxnbn，其矩阵形式是：AXB，其中

a11a12a1nb1x1abxaa21222n2，B，X2， A aaabn1n2nnxnn如果A可逆，则此线性方程组有解且唯一，此解为XA1B. 例15 利用逆矩阵求解线性方程组

2x12x23x37x1x2?=1 x2xx4231解：先将其写成矩阵的形式Axb，其中

223x17xxb1A110，2，，

121x3416

由于A10，所以A可逆，此时，线性方程组的解为

1x1223714371x1101153121102 x3416443所以，线性方程组的解为x11，x20，x33.

例16 利用逆矩阵解线性方程组x1x22x312x1x22x34.

4x1x24x32解：由矩阵乘法，我们可以将上述方程组改写为矩阵形式Axb

112其中，A212x11，xx，b42 414x32若A可逆，Axb两边左乘A1，得线性方程组的解为xA1b，

11233先求出A1：A102233， 1121211233所以此线性方程组的解为xA1b220113342， 1121202所以，线性方程组的解为x11，x22，x30. 3.1.2克拉默法则的证明中的应用考虑线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,a221x1a22x2a2nxnb2, an1x1an2x2annxnbn,17

1）（

a11a12a1nx1b1axbaa21222n22设A，x，b，

 aaaxn1n2nnbnn则线性方程组（1）可写为：

Axb，（2）

若A0，那么方阵A可逆，故A1存在，用A1左乘（2）式两边，得：

A1AxbA1，（3）

有A1AE，所以ExbA1，即

xbA1 （4）

也就是说，矩阵方程（2）有解，于是线性方程组（1）有解。若将A11*A代A入（4）式，并且将两个矩阵乘出来，就得到了克拉默法则所给出的公式解.

[6]3.2 在解矩阵方程中的应用

分析代数方程axb的求解过程，当a0时，用a1乘方程axb两边，得xa1b，类似地，可得矩阵方程的求解方法.

设n阶方阵A，B存在逆矩阵，解下列矩阵方程：（1）AXB

用A1左乘矩阵方程AXB的两边，有A1AXA1B，根据矩阵乘法的结合律，有A1AXEXXA1B，即有XA1B.

（2）XAB

用A1右乘方程XAB的两边，有XAA1BA1，根据矩阵乘法的结合律，有

XBA1.

（3）AXBF，用右乘方程AXBF的两边，用A1左乘方程AXBF的两边，根据矩阵乘法的结合律，有XA1FB1.

例17 解矩阵方程

2546（1）； X132118

1231321，20； 221C（2）AXBC，其中A，B533433125解：（1）设A，先求A1， 1325101 21AE213011035r21030112011rr3012r1r213012r13r5100112

523525461A得 A1，用左乘方程X1321的两边，得 123525354610223，XX121312210108

223即 X. 08（2）计算可得A20，B10，所以A，B均为可逆矩阵，于是A，B的伴随矩阵依次是

264，*31 A*365B52222（二阶矩阵求伴随矩阵有一口诀：“主换位，副变号”）

3211*311*3511所以A， BBA3A2B252111用A1左乘、B1右乘方程AXBC的两边，即

A1AXBB1A1CB1

于是

32131331113121502104 20XA1CB13525222310210411119

3.3 在加密传输中的应用6

若某方A要通过公共信道向另一方传递信息m。在传输过程中，由于缺少足够的安全保护，传输的信息很容易被第三者盗走，甚至很有可能被篡改。因此，在信息传输之前，我们一般要对需要传输的信息改成秘密的形式，把将要传输的没有改变成秘密形式的信息称作明文，明文的秘密形式就是密文，把明文变成密文的过程就是加密，如果有人知道密码且把密文变成明文的过程就是解密.

可逆矩阵可以用来对将要传输的信息进行加密，首先要做的事情是给每一个字母指派一个代码，比如将26个字母a，b，，y，z依次对应数字1,2，，25,26且规定空格键对应数字0。若要发出信息action，首先找到此信息的编码是1,3,20,9,15,14。将此信息

19。如果直接发送矩阵，这便是不加密的315对应的编码写成32矩阵（按列）X2014信息，很容易被破译。因此必须对信息进行加密，使得只有知道密钥的接受者才能准确、快速的破译。

A*为此，任选一个行列式等于1的整数矩阵A作为密钥矩阵，则由A可知，A1A1223（A1）。 112的元素也均为整数。如取A0122231968903154452,将传出信息经过乘A编成112令BAX“密码”后发出，012201443436890。 4452收到的信息为B4343接受者收到矩阵B后，用

0116890194452315241解码，XA1B，

12043432014所以经解密后的密码为1,3,20,9,15,14。最后，借助使用的代码将密码恢复为明码，得到信息action。

用MATLAB计算程序如下：

A223；112；012

X19；315；2014； BA*X A1inv（A） XA1*B

这里所说的只是是加密解密的原理，但是在实际的应用过程中，用于加密的可逆矩阵的阶数可能会很大，它的构造也可能十分复杂。

例18 在通讯中，我们经常将字符（信号）与数字对应，如

abcdexyz

12345242526比如信息are对应的矩阵是B1185，但是直接将该信息进行传输，很容易被第三方破译，于是我们必须通过加密过程队将要传输的信息进行加密，即用一个约定好的加密矩阵A乘以原信号B，传输信号为CABT，该传输信号是已经加密的形式，对方收到信号时，便可以通过解密将信号破译为BTA1C，如果第三方不知道加密矩阵是什么，那么信息就不会被盗取.

101T，则原信011如果设收到的信号为C212731，又已知加密矩阵是A111号B是什么？

解：先求出A1

101100rr10110013， 011011AE011010111001012101101100r3r2100011r2r3r3r1011010010121 001111001111100011010121

001111r121

011 121所以 A1111011214272 BTA1C1211113125即原信号是B4225

[4]3.4 用逆矩阵求不定积分

设V为实数域R上全体可微函数的集合，则V构成R上的一个线性空间.设是的一个有限维子空间（令dimSn），且在求导运算D所定义的线性变换下封闭，也就是说，若fxS，则Dfxf‘xS.现在讨论如何利用矩阵的工具来计算不定积分

fxdx，其中fxS.

设f1x，f2x，则线性变换在下的限制，fnx是S的一个基，矩阵是A.

根据学过的知识，我们可以注意到求积分其实是求导运算的逆运算，于是我们可以利用矩阵的可逆性，即利用逆矩阵计算不定积分fixdx.

问题提出：怎样利用逆矩阵计算不定积分sinxdx和cosxdx？（提示：设为由sinxcosx）和cosx张成的子空间L（sinx，）.

在这个基下的

问题解决：设SLsinx，则在求导运算D下封闭，即DSS，由于sinx和cosx，

cosx是S的一个基. cosx线性无关，故sinx，由于

Dsinxcosx，（1） Dcosxsinx，故线性变换Ds的值域DsSS。由线性变换的维数公式

dimSdimDsSdimDs10

可知，Ds的核Ds10的维数（即零度）为零，故Ds：SS是可逆的线性变换。

cosx下的由于求不定积分运算是求导运算的逆运算，于是我们就可以利用Ds在基sinx，矩阵A的逆矩阵A1来求S中的函数的不定积分.

具体的方法是：（1）先求矩阵A.

01cosx下的矩阵A由（1）式立即可得Ds在基sinx，. 10（2）求逆矩阵A1.

01显然，A的逆矩阵A1. 10（3）利用Ds的逆变换Ds的矩阵A1，求反导数，从而求得不定积分：将

cosx上可以得到它们的反导数：逆变换Ds作用在S的基向量sinx，11的

D1sinx0sinx1cosx，s 1Dscosx1sinxcosx，因此，sinxdxcosxC，cosxdxsinxC，其中C是任意常数.

cosx还有其它的相差一个常数的反导数.它们不出现是因为常熟函数的注意：sinx，子空间形成了求导线性变换的核D10，且

1D0S0

cosx的不定积分应写为：因此，在基S中，反导数是唯一的，而sinx，sinxdxcosxC，cosxdxsinxC

其中C是任意常数.

例19 利用逆矩阵计算不定积分x2exdx.

解：我们首先找一个子空间，它包含x2ex，且S在求导作用下是不变的，通过对x2ex进行连续求导运算就可以得知，SLx2ex，xex，ex，其中x2ex，xex，ex构成的一个基，并且有

Dx2ex1x2ex2xex0ex，sx2xxx Dsxe0xe1xe1e，x2xxxDe0xe0xe1e，s故

在基x2ex，xex，ex下的矩阵是：

100， A210011100， 210且A1211于是由A1的列可以知道：

2x2xxxxedxxe2xe2eC， xxxxedxxeeC， xxedxeC， 其中是任一常数.

即得结果：x2exdxx2ex2xex2exC，

同样，对任意正整数nN，利用逆矩阵计算不定积分，可得：

nnxxnn1n2C xedxexnxnn1x1n！，x2ex，xex，ex，其中是任一常数，这是因为这时SLxnex，在基

xnex，，x2ex，xex，ex下的矩阵是下面的矩阵：

1n0A00001n1000001000 000120000011000 001由于只需要求xnex的不定积分，故只需要求出A1的第一列，由于A1，故A1A*，由此很容易得到A1的第一列为：

n2n！n1n1，n，nn1，，1，1n！，1n！

2！T于是，

nnxxnn1n2C xedxexnxnn1x1n！24

其中是任意常数.

3.5 在投入产出分析中的应用5

我们所说的投入产出分析就是利用数学方法分析和研究国民经济或企业各部门的生产与分配之间的数量关系。这里所说的投入，就是指生产经营活动的消耗（如原材料、能源、设备、人的劳动等的消耗）。所谓的产出，则是指生产经营活动的消耗（如生产出来的产品、积累与消费等）。将资金、原材料和动力设备按照一定的比例投入生产后，就能生产出一定数量的产品。例如，投入生铁与废钢经过冶炼就能产出钢，投入棉花经过纺织就能生产出棉布等等。

例20 设有一个企业内部有三个部门，在某一生产周期内各个部门的直接消耗系数和最终产品量分别为

0.20.10.1265，Y305 A0.20.20.10.10.10.3415求各部门总产品和完全消耗系数.

27161850011，XEA1Y600 302720解：CEAE83201841750现在我们从经济的平衡发展这一角度来研究投入生产模型，仍假设国民经济包括个生产部门，第一年和第二年整个国民经济的生产量分别用向量

xx1，，xn，yy1，，yn

TT表示，其中和分别表示第部门在第一、第二年的产值. 假设第二年第部门生产1元产值需要消耗第部门的产值消耗第部门产品产值为xiaijyj

‘j1n元，那么第二年需要

显xi’xi然，若第一年各部门的产品完全消耗于第二年的生产，则

xiaijyj或xAy

i1n其中Aaij是消耗系数矩阵，因此，若已知第一年的产值向量，第二年的产值向量可由下式决定yA1x

例21 某一经济系统包括三个部门，消耗系数矩阵为

0.30.10.5 A0.20.20.40.30.40.1若第一年的产值向量为220396462，求第二年，第三年的产值向量.

141965 10122解：因为A111942T由公式yA1x，可求得第二年、第三年的产值向量分别为

110220330，3001000200

TT我们得到的上述结果是不合理的：（产值不能是负的），我们可以看出，这表示第二部门的产值过大（第二年大约过剩40），而其他部门缺乏相应的产品与之配合.这也说明该经济系统各部门发展不平衡，必然有一些产品闲置，而且因为相应部门的生产能力过大，这些产品永远不能够得到利用.因此，为了避免以上情况发生，使各部门平衡发展，管理部门需要调整初始产值.

要使国民经济均衡发展，不能只顾眼前利益，只发展一些见效快或易发展的产业，造成发展不平衡的状态，制约整个国民经济的良好发展，应该注意长短结合，防止经济危机的出现.特别是，要有更多的科技投入，也就是即改变消耗系数矩阵，只有这样才能真正使经济得到既迅速又均衡的发展.

3.6 在调配问题中的应用5

例22 设有三种酒甲、乙、丙，它们各含有三种主要成分X,Y,Z烦人含量如下表：

甲酒乙酒丙酒 X 0.70 0.60 0.65 Y 0.20 0.20 0.15 Z 0.10 0.20 0.20 66.5%，18.5%，15%，用上述三种酒配置出另外一种酒，使其中X,Y,Z的含量分别为：那么能否配置出符合要求的酒呢？如果可以，那么分配的比例是多少？如果甲酒缺货时，那么是否可以用三种主要成分为0.800.120.08的丁酒来替代呢？如果可以，那么分配的比例又是多少？

解：设甲、乙、丙三种酒分配的比例是abc，根据题意我们可以得到矩阵方程：

0.70.20.10.6650.1850.15 0.60.20.2abc0.650.150.2其正数解即为所求.

0.70.20.125421516 容易得出，0.60.20.240.650.150.2851故有

0.70.20.1 0.60.20.2abc0.6650.1850.150.650.150.21254 21516=0.6650.1850.15485=0.50.20.3

是正解，于是我们可以用甲、乙、丙三种酒配置出符合要求的酒，其分配的比例为甲

50%，乙20%，丙30%.

如果用丁来替代甲，那么有矩阵方程：

0.800.120.080.6650.1850.15 0.60.20.2abc0.650.150.24523130.800.120.085560.60.20.2 18330.650.150.22044733所以

4523355618 abc0.6650.1850.1533204473327

=0.41660.950.3666

上述方程含有负解，由此可知，不能通过替代配置出符合要求的酒.

参考文献

【1】徐仲. 高等代数考研教案. 西安：西北工业大学，2009. 【2】郑列. 线性代数应用与提高. 北京：科学出版社，2012.

【3】陈东升.线性代数与空间解析几何及其应用.北京：高等教育出版社，2010. 【4】邱森. 高等代数探究性课题集.武汉：武汉大学出版社，2010. 【5】葛红军. 矩阵方法. 杭州：浙江大学出版社，2007. 【6】闫慧臻. 线性代数及其应用. 北京：科学出版社，2011. 【7】张文博. 线性代数. 北京：机械工业出版设，2007.

Introduction to inverse matrix calculation methods and their

applications

Abstract：This thesis mainly discussed is invertible matrix are given and their simple applications. This paper altogether is divided into three chapters, the first chapter simply introduces some related basic knowledge, including the definition and properties of the matrix, the definition of inverse matrix and its properties; The second chapter introduces several inverse matrix, the method of five kinds of inverse matrix method was introduced in detail, including the definition method, adjoint matrix method, the elementary transformation method, partitioned matrix method, the solution of equations method, and respectively for further explanation, and studies the scope of application, points out the different matrix according to the different inversion methods; The third chapter introduces some application of inverse matrix, divided into two parts, for example, one is in the application of mathematics, 2 it is applied in the practical life, including in the application of solving linear equations, and its application in solving matrix equation, the solution, the application of indefinite integral, the encryption transmission, in the application of input-output analysis, the application in the application of the allocation problem.

Key Words：matrix Inverse matrix Adjoint matrix Partitioned matrix Elementary transformation

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作者签名: 二〇一〇年九月二十日

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（保密论文在解密后遵守此规定）

作者签名: 二〇一〇年九月二十日

致谢

时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。

首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。

首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。

其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。

另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。

最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。

四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。

回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。

学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。

在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。

最后，我要特别感谢我的导师赵达睿老师、和研究生助教熊伟丽老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思

路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。

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