人教版七年级数学下册14.实数(提高)典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc

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实数（提高）

责编：康红梅

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】

【：389317 立方根、实数，知识要点】 要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，

不能表示成分数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，

如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，

如5. 要点二、实数

有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数

按与0的大小关系分：

正有理数正数正无理数 实数0

负有理数负数负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

1

【典型例题】 类型一、实数概念

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

3

204152，，7，π，，2，，5，38，，0，0.3737737773……

3942（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

…

有理数集合

【答案与解析】 有理数有：

… 无理数集合

415， ，38，，0，

94220，5， 0.3737737773…… 3无理数有：32，7，π， 2，【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如32，7， 2，举一反三：

【：389317 立方根 实数 ，例1】

【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )

(8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 【答案】

(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.

(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.

(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才

是无理数.

(4)(×)0是有理数.

20，5. 3 2

(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)(×)如

，虽然带根号，但

＝9，这是有理数.

(7)(×)有理数还包括无限循环小数.

(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以

实数可以用有限小数和无限小数表示.

类型二、实数大小的比较

2、比较20101与19491的大小．

【思路点拨】根据ab，bc，则ac来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为201012025145144，194911849143144．

所以20101＜19491

【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 举一反三： 【变式】（2015•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ． 【答案】7． 解：∵， ∴， ∵x＜+1＜y， ∴x=3，y=4， ∴x+y=3+4=7． 类型三、实数的运算

3、求m23m3的值． 【答案与解析】

解：（1）当m≥0时，m2m，3m3m，

所以m23m3mm2m．

（2）当m＜0时，m2m，3m3m， 所以m2m3mm0． 即m2m3值为0或2m．

【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m的讨论，而开立方不需要讨论符号． 举一反三：

【：389317 立方根 实数 ，例3】

33 3

【变式】若a的两个平方根是方程3x2y2的一组解． （1）求a的值；

（2）求a的算术平方根． 【答案】

解：（1）∵ a的平方根是3x2y2的一组解，则设a的平方根为a1，a2，

则根据题意得：223a12a22,a12,解得

a1a20,a22. ∴ a为(2)4． （2）∵ a416．

∴ a的算术平方根为4．

类型四、实数的综合运用

【：389317 立方根 实数 ，例4】

24、已知(a2b1)b30，且3c4，求3a3b3c的值．

222【答案与解析】

22解：∵ (a2b1)b30，且(a2b1)0，b30．

2∴ (a2b1)0,且b30，即a2b10，b30．

解得 b＝3，a＝5，3c4得c＝64． ∴ 3a3b3c353336432166．

【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由a2b10，b30可求a、b，又3c4，所以c＝64，则3a3b3c可求． 举一反三：

x3y|x29|x【变式】已知，求的值． 0y(x3)2【答案】

x3y0①2解：知条件得x90②，

x30③由②得x9，x3，∵ x30，∴ x3，则x3．

2 4

把x3代入①得33y0，y＝1．

∴

x33． y15、（2015秋•萧山区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：

+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2

①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？

②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？

【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；

（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；

②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可． 【答案与解析】 解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π； 故答案为：﹣2π；

（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远； ②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17， Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，

1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π． 【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．

初中奥数题试题一

一、选择题（每题1分，共10分）

1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式

5

D．整式与整式的和是整式

3．下面说法中不正确的是 ( )

A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 6．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a

C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1

9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A．增多 B．减少 C．不变 D．增多、减少都有可能 二、填空题（每题1分，共10分） 1．19891990²－19891989²=______。

2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。

3．当a=－0.2，b=0.04时，代数式 a²-b的值是______。

4．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克。 三、解答题

11.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支100元，

5三年后负债600元，求每人每年收入多少？

6

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。

5．求和：

。

7

6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数。

初中奥数题试题二

一、选择题 1．数1是 ( )

A．最小整数 B．最小正数 C．最小自然数 D．最小有理数 2.a为有理数，则一定成立的关系式是 ( )

A．7a＞a B．7+a＞a C．7+a＞7 D．|a|≥7

8

3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( )

A．6.1632 B．6.2832 C．6.5132 D．5.3692

4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )

A．225 B．0.15 C．0.0001 D．1 二、填空题

1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。 2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。

3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于______。 4.不超过(-1.7)²的最大整数是______。 5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。 三、解答题

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？

3．如图1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。求证：DA⊥AB。

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4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。

5.王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)

6. 对k，m的哪些值，方程组

至少有一组解？

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初中奥数题试题三

一、选择题

1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A. x²y与-3x²z B.3.22m²n与 nm²

C.0.2a²b与0.2ab² D.11abc与 ab 2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( )

A．3x-3 B．x-1 C．3x-1 D．x-3 3.两个10次多项式的和是 ( )

A．20次多项式 B．10次多项式

C．100次多项式 D．不高于10次的多项式

4.若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A．a，-1，1，-a B．-a，-1，1，a C．-1，-a，a，1 D．-1，a，1，-a

5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a

6．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A．(a-b)(ab+a) B．(a+b)(a-b) C．(a+b)(ab+a) D．(ab-b)(a+b)

7．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( ) A．4a-b B．b-a C．a-9b D．7b

8．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．互为负倒数 D．相等

9．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5 B.8 C.12 D.13 二、填空题（每题1分，共10分）

1．2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______。 2.若P=a²+3ab+b²，Q=a²-3ab+b²，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是______。

3

3

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3．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于______。

4．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麦。 三、解答题

3. 液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量。

4. 6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。

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5. 甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离。

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