一．解答题（共40小题）
1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），
C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线y＝值范围是： ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，
（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取
F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
﹣
的值；
2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点．
1
①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是
时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，
B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝
）
x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x 2
轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点
P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的解析式； （2）若直线y＝﹣
x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
3
10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝
x2+x的图象上，点
A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
4
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点
N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点
N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝
时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝
时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．
14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
5
15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣
x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请
你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线
C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
6
17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝
．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC． ①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围； ②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；
③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣点B的坐标为（4，m）．
x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C． （1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，
OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝
MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．
8
22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”． （2）设b＝
c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别
相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若次函数的表达式．
＝
，求二
23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线
x＝﹣1．
9
（1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE＝
OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
10
26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移
1个单位，再向下
平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+
PA的最小值．
27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时
PN有最大值，最大值是多少？
11
28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求b，c的值；
（2）直线1与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．
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30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）． （1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上
33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、
B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
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（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过
A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B 15
的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段
OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+
PC的最小值；
个单位得到
PC取得最小值时，把点P向上平移
点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′
Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有
满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
38（．2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围． （3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝
，∠CAE＝∠OBE时，求
﹣
的值．
16
40．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ． （2）函数y＝
（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
17
参考答案与试题解析 一．解答题（共40小题）
1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），
C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 36 ；当双曲线y＝值范围是： 0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，
（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取
F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
﹣
的值；
【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6， ∴正方形面积为36；
有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0； 故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4， 当m＝﹣1，yQ最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4）， 当m＜﹣1时，yQ随m的增大而增大，当m＝﹣2时，yQ最小＝3， 当m＞﹣1时，yQ随m的增大而减小，当m＝4时，yQ最小＝﹣21， ∴3＞﹣21，
∴yQ最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），
∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）； ②当双曲线y＝∴N（4，1），
∵顶点P（m，n）在边BC上， ∴n＝﹣2，
∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，
∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F， ∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），
经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，
18
∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2， ∴
＝
﹣
，
∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1）， ∵AE＝NF，点F在点N下方，
∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2， ∴12a（m﹣1）＝3， ∴a（m﹣1）＝∴
＝
， ；
③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2）， ∴yM＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4）， 即yM＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4）， ∵a＞0，
∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，yM最小＝﹣2， 当m＝﹣2或4时，yM最大＝9a﹣2， 当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2， ∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2）， ∵点E在边AB上，且此时不与B重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， ∴0＜a≤
，
，
∴﹣2＜9a﹣2≤﹣∴yM≤﹣
，
同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2， ∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2）， ∵点F在边CD上，且此时不与C重合， ∴﹣2＜36a﹣2≤4， 解得0＜a≤
，
，
∴﹣2＜9a﹣2≤﹣∴yM≤﹣
，
综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；
2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
19
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；
），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题
（2）如图1，连接OP，设点P（x，意得C（0，﹣4）， ∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP
＝
＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8， ＝﹣x2﹣4x+12， ＝﹣（x+2）2+16．
+，
∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值， ∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大， 此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）． （3）
∴顶点M（﹣1，﹣
）．
，
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．
20
设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），
∴，
∴直线AM的解析式为y＝在Rt△AOC中，∵D为AC的中点， ∴
，
﹣3．
＝2
．
∵△ADE∽△AOC， ∴∴
∴AE＝5，
∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3， ∴E（﹣3，0）， 由图可知D（1，﹣2）
设直线DE的函数解析式为y＝mx+n， ∴
， ， ，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．
∴，
21
解得：，
∴G（）．
3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设k＝
，当k为何值时，CF＝
AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线∴
，解得：
y＝ax2+bx+3
，
过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20 ∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵
，
∴F为AD的中点， ∴∴
， ．
22
②在Rt△ACD中，tan在Rt△OBC中，tan∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝∠ACB，
，
，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3， ∴直线OF的解析式为y＝﹣3x， 设直线AD的解析式为y＝mx+n， ∴
，解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴，解得：，
∴F（﹣）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB， ∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x， ∴
，解得：
，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣
）或（﹣2，2）．
4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点 ∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
23
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3 ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3） ∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3 ∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2 即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2 ∵m＞0，m＝x﹣1 ∴x﹣1＞0 ∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4） ∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA ∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3 法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立 ∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0 ∴m＝∵x＞1 ∴1﹣x＜0 ∴x（x﹣2）＜0 ∴x﹣2＜0 ∴x＜2即1＜x＜2 ∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3
＞0
5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c 24
与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是
时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．
【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①， 令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②； （2）设点E（m，0），
直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC， 则直线EF的表达式为：y＝4x+n， 将点E坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③， 联立①③并解得：x＝则点F（
，
（m+1）， ），
×4×4﹣
×4m﹣（4﹣m）×
＝
，
S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝
解得：m＝故点E（
，
，0）、点F（2，2）；
，4），
（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（当x＝
时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（
）2+3×
+4≠4，
故点E′不在抛物线上．
6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，
B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
25
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1） ∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1 ∵抛物线经过点C（0，3） ∴4a﹣1＝3 解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3 （2）
解得：
，
）
∴A（1，0），B（4，3） ∴AB＝
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1） ∴OA＝OE＝1 ∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方 ∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大 过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D ∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45° ∴△CDQ是等腰直角三角形 ∴DQ＝
CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1） ∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣∴t＝
时，CQ最大值为
）2+
∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝
AB•DQ＝
（3）存在点P满足∠APB＝90°． ∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
26
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）
2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0
）2
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0 p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0 ∵p＜4 ∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0 展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0 （p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0 （p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0 ∵p＞1 ∴p﹣1≠0 ∴p2+p+1﹣4p＝0 解得：p1＝∴点P横坐标为
，p2＝
（舍去）
时，满足∠APB＝90°．
7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝
x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点
P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
27
【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝
x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝
（2）将直线y＝
x2+x+3；
x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1） ①当点B、C、M三点不共线时， |MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时， |MB﹣MC|＝BC
∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长， 过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝∴|MB﹣MC|取最大值为
；
＝
，
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 设点P坐标为（x，
x2+x+3）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°， 在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，
，
28
过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90° ∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA ∵∠PGA＝∠ACB＝90° ∴①当
△PAG∽△BAC， ∴
＝
， 时，
解得x1＝1，x2＝0，（舍去） ∴点P的纵坐标为∴点P为（1，6）； ②当
△PAG∽△ABC， ∴
＝3， 时， ×12+
×1+3＝6，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P 综上所述，存在点P（1，6）．
8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3）， 则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
29
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2， ∵﹣2＜0，故当x＝﹣
＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合； （3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的则S△PNC＝
×MN×GM＝
×2×3＝
， ，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH， 过点P作PK∥⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
，
S△PNC＝＝×PK×CD＝＝HG，
×PH×sin45°×3，
解得：PH＝
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝解得：x＝故点P（
， ，
），
，
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣联立①②并解得：x＝即点P′、P″的坐标分别为（故点P坐标为：（
，
）或（
，
＝﹣x+…②，
，
，
）、（
）或（
，
，
）；
）．
9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2． （1）求该二次函数的解析式；
30
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
【解答】解：（1）由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，
同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6； （2）联立
，解得：x＝﹣
，
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），
＝6， ×
＝3，
S△AOC＝
由题意得：
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10）， ∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，∴①当△DEB∽△AOC时，则
，
，
如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，
31
则Rt△BEG∽Rt△EDF， 则
，则BG＝3EF，
设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2， 则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h， ∵点E在二次函数上，故：
h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，
解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6）， 则点E（4，﹣6）； ②当△BED∽△AOC时，
，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，
则Rt△BEN∽Rt△EDM，则
，则NB＝
EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2， 则﹣q＝
（p﹣2），解得：p＝
或，
（舍去）； ）．
故点E坐标为（4，﹣6）或（
10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点
A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）
（1）求点A、B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
32
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝∴点A坐标为（﹣4，﹣4） 当y＝﹣2时，
×（﹣4）2+
×（﹣4）＝﹣4
x2+x＝﹣2
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限 ∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4） ∴OA＝OA'＝
∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B' ∴
解得：
∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4
33
∴对称轴为直线：x＝﹣＝6
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M＝90° ∴OA'2+A'M2＝OM2 ∴（4
）2+m2+8m+20＝36+m2
解得：m＝﹣2 ∴A'M＝∴S△OA'M＝
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似． ∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣
OA'•A'M＝＝8
x
解得：（即为点B'）
∴C（8，﹣4） ∵A'（4，﹣4） ∴A'C∥x轴，A'C＝4 ∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似 ∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3） ①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝
＝1
OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△
OA'C相似．
34
11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①； （2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
、DE＝1是常数，
35
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝
+
；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
+A′D+DC′＝+A′C′＝
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA＝
EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE，＝3：5或5：3， 则AE＝
或
，
，0）或（
，0），
即：点E的坐标为（
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3， 解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…② 联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点
N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
36
【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0）， 代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得
，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴C点坐标为（0，3）；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则有：
，解得
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵点E、F关于直线x＝1对称， 又E到对称轴的距离为1， ∴EF＝2，
∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中， 得：y＝﹣2+3＝1， ∴F（2，1）； （3）①如下图，
MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，
△AOC与△BMN相似，则，
即：，
解得：t＝或﹣
或3或1（舍去
、﹣
、3）， 故：t＝1；
37
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t）， ∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论， 第一种，当OQ＝BQ时， ∵QM⊥OB ∴OM＝MB ∴2t＝3﹣2t ∴t＝
；
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中 ∵∠OBQ＝45°， ∴BQ＝∴BO＝即3＝∴t＝
； ， ，
，
第三种，当OQ＝OB时， 则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意 综上述，当t＝
或
秒时，△BOQ为等腰三角形．
13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点
N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2
的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝
时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a＝﹣∴y＝﹣
，b＝
，
x2+x+2；
（2）C（0，2），
38
∴BC的直线解析式为y＝﹣当t＝
时，AM＝3，
x+2，
∵AB＝5， ∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝（3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m），
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴
•
＝﹣1
MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）； （4）当t＝
时，M（
，0），
上，
的交点分别为Q1与Q2，
∴点Q在抛物线对称轴x＝
如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝∵AB＝5， ∴AM＝
，
∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG，
又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（
，﹣
），
∵Q1与Q2关于x轴对称， ∴Q2（
，
），
，﹣
），（
，
）；
∴Q点坐标分别为（
39
14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0） ∴
解得：
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点M（1，4）
∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20 设点P坐标为（0，p）
∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2 ①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2 ∴20+9+p2＝17﹣8p+p2
40
解得：p＝﹣∴P（0，﹣
）
②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2＝20 解得：p1＝1，p2＝3 ∴P（0，1）或（0，3）
③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2 ∴20+17﹣8p+p2＝9+p2 解得：p＝∴P（0，
）
）或（0，1）或（0，3）或（0，
）时，△PAM为直角三角形．
综上所述，点P坐标为（0，﹣
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为（m，n） ∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n ∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m ∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m ∵DA＝OA＝3
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m ∴DG＝DH+HG＝m+n ∵DG2+AG2＝DA2
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32 ∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0 配方得：（m﹣
）2+（n+
）2＝，﹣
）的距离为
的圆在第一象限的弧上运动
∴点I（m，n）与定点Q（∴点I在以点Q（
，﹣
）为圆心，半径为
∴当点I在线段CQ上时，CI最小 ∵CQ＝
41
∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为
．
15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， ∵点C（0，4）在抛物线上， ∴4＝﹣27a， ∴a＝﹣
，
（x+3）（x﹣9）＝﹣
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）， 令﹣
x2+x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6， ∴点D的坐标为（6，4）；
（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，
42
∵点F是抛物线y＝﹣∴F（3，∴FH＝
）， ﹣4＝
，
x2+x+4的顶点，
∵GH∥A1O1， ∴△FGH∽△FA1O1， ∴
，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG， ∴S重叠部分＝＝＝＝
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M， ∵C2O2∥DE， ∴△OO2M∽△OED， ∴∴∴O2M＝∴S＝
②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N， 将点D（6，4）代入y＝kx， 得，k＝∴yOD＝
， ， ，
；
﹣S△FGH
A1O1•O1F﹣GH•FH
t，
＝
OO2×O2M＝t×t＝t2；
x，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，
43
得，解得，k＝
，b＝﹣
，
t+4，
x﹣t+4，
t+4，
∴直线A2C2的解析式为：y＝联立yOD＝得，
x与y＝x﹣
x﹣
x＝t+4，
解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+故点M到O2C2的距离为6﹣t， ∵C2N∥OC， ∴△DC2N∽△DCO， ∴∴∴C2N＝∴S＝＝＝＝﹣
， ， （6﹣t），
＝
﹣
t），
OA•OC﹣
×3×4﹣
×
C2N（6﹣t）
（6﹣t）（6﹣t）
t2+4t﹣6；
∴S与t的函数关系式为：S＝．
44
16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2
（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？
（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣
x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请
你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．
（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线
C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．
【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2； （2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0）， ∵直线y＝﹣∴b＝4，
x+b经过点A，
45
∴y＝﹣x+4，
x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣
， ），
y＝﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，
∴x＝3或x＝﹣∴B（﹣
，
设P（t，﹣∵PQ∥y轴，
t+4），且﹣＜t＜3，
∴Q（t，t2﹣2t﹣3）， ①当AP＝AQ时， |4﹣
t|＝|t2﹣2t﹣3|，
t＝t2﹣2t﹣3，
则有﹣4+∴t＝
，
∴P点横坐标为；
②当AP＝PQ时，
PQ＝﹣t2+
∴﹣t2+∴t＝﹣
t+7，PA＝（3﹣t），
t+7＝
；
（3﹣t），
∴P点横坐标为﹣；
（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2， ∴
，
则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，
△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0， ∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2， ∴E（∴﹣
，mn），
（n2﹣mn）×（
﹣n）﹣
（m2﹣mn）×（m[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣
）＝2，
46
∴（m﹣n）3﹣∴（m﹣n）3＝8， ∴m﹣n＝2；
＝4，
17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝
．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC． ①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围； ②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；
③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【解答】解：
（1）根据题意得：A（﹣2，0），B（6，0）， 在Rt△AOC中，∵（x+2）（x﹣6）得：
，
，且OA＝2，得CO＝3，∴C（0，3），将C点坐标代入y＝a 47
抛物线解析式为：整理得：y＝﹣
；
故抛物线解析式为：得：y＝﹣
；
（2）
①由（1）知，抛物线的对称轴为：x＝2，顶点M（2，4），设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4）， 则PC2＝22+（m﹣3）2，PQ2＝m2+（n﹣2）2，CQ2＝32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2＝CQ2，
即22+（m﹣3）2+m2+（n﹣2）2＝32+n2，整理得：
＝
（0≤
m≤4），∴当
所以，②
时，n取得最小值为；
；当m＝4时，n取得最大值为4，
由①知：当n取最大值4时，m＝4，
48
∴P（2，4），Q（4，0）， 则
，
，CQ＝5，
设点P到线段CQ距离为h， 由得：
③由②可知：当n取最大值4时，Q（4，0），∴线段CQ的解析式为：设线段CQ向上平移t个单位长度后的解析式为：
，
，
，
，故点P到线段CQ距离为2；
当线段CQ向上平移，使点Q恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时对应的点Q'的纵坐标为：将Q'（4，3）代入
，
得：t＝3，
当线段CQ继续向上平移，线段CQ与抛物线只有一个交点时，
联解
得：
由△＝49﹣16t＝0，得
，化简得：x2﹣7x+4t＝0，
，∴当线段CQ与抛物线有两个交点时，
．
18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E． （1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
49
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8， ∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°， ∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC， 此时
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k， ∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
，即：
，
，解得：
，
k＝0或
则点P（
（舍去0）， ，
）；
（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC， ∴
，
∴S△PDF＝而S△BOC＝∴S△PDF＝
•S△BOC，
OB•OC＝
•S△BOC＝
＝16，BC＝＝4，
PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大， 将B、C坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
50
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8）， 则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，PD的最大值为4， 故当PD＝4时，∴S△PDF＝
PD2＝．
19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣点B的坐标为（4，m）．
x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+
，
m＝﹣4+＝﹣，
），
）代入y＝﹣
∴B的坐标为（4，﹣
将A（3，2），B（4，﹣x2+bx+c，
解得b＝1，c＝，
；
），则E（m，﹣m+
）﹣（﹣m+
）＝
）， ＝﹣
（m﹣2）2+2，
∴抛物线的解析式y＝（2）设D（m，
DE＝（
51
∴当m＝2时，DE有最大值为2， 此时D（2，
），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2）， ∴A'（﹣1，2），
A'D＝
即PD+PA的最小值为
；
＝，
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝∴M（1，4）， ∵A（3，2），
∴AH＝MH＝2，H（1，2） ∵∠AQM＝45°， ∠AHM＝90°， ∴∠AQM＝
∠AHM，
，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
52
∴QH＝HA＝HM＝2 设Q（0，t）， 则
＝2，
或2﹣
t＝2+
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣且OA＜OB），与y轴交于点C． （1）求C点坐标，并判断b的正负性；
）、Q2（0，2）．
20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4）， ∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；
（2）①过点D作DM⊥Oy，
53
则∴
，
，
设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m ∵OC＝4，∴CM＝2，
∴D（m，﹣6），B（4m，0）， 则∴OE＝8，
，
S△BEF＝×4×4m＝8，
∴m＝1，
∴A（﹣2，0），B（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 即y＝ax2﹣2ax﹣8a， 令x＝0，则y＝﹣8a， ∴C（0，﹣8a）， ∴﹣8a＝﹣4，a＝∴
； ，
②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，
CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，
当∠CDB为锐角时，
CD2+DB2＞CB2，
m2+4+9m2+36＞16m2+16，
解得﹣2＜m＜2； 当∠BCD为锐角时，
CD2+CB2＞DB2，
m2+4+16m2+16＞9m2+36，
解得
，
54
综上：故：
，．
；
21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，
OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝
MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．
【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3） ∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3 ∵二次函数图象过点A（6，0） ∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣∴二次函数的关系式为y＝﹣
（2）设B（b，﹣
（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x
b2+2b）（b＞3）
b+2）x
∴直线OB解析式为：y＝（﹣∵OB交对称轴l于点M ∴当xM＝3时，yM＝（﹣∴M（3，﹣b+6） ∵点M、N关于点P对称
b+2）×3＝﹣b+6
∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3， ∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b） ①∵OP＝∴OP＝MP ∴
＝b﹣3
MN
55
解得：b＝3+3∴﹣
×（3+3
）2+2×（3+3
）
，ON2＝32+（3+3
，﹣3）．
）2＝36+18
，BN2＝（3+3
）＝﹣3
b2+2b＝﹣
∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3
）2＝72+36
∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18
﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣
b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d ∴
解得：
∴直线BN：y＝﹣当y＝0时，﹣∴D（6，0）
bx+2b
bx+2b＝0，解得：x＝6
∵C（3，0），NC⊥x轴 ∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM
22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”． （2）设b＝
c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别
相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若
＝
，求二
56
次函数的表达式．
【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）
②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x 整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0 ∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根 即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．
（2）把b＝
c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0） 即x1、x2为方程ax2+
c3x+c＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2＝﹣
∵当x＝0时，y＝ax2+∴C（0，c） ∵E（1，0） ∴CE＝
，x1x2＝
c3x+c＝c
，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y轴，OC＝OD ∴DF∥x轴 ∴
∴EF＝CE＝
，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB ∴△AEF∽△CEB
57
∴，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2 展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1 1+c2＝﹣
﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0 （c2+2）（c+2a）＝0 ∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a ∴x1+x2＝﹣
＝4a2，x1x2＝
＝﹣2，CF＝2
＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8 ∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P ∴△PFC∽△PBA ∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去） ∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝
c3＝﹣4
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线
x＝﹣1．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且PE＝
OD，求△PBE的面积．
58
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0）， 则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝故抛物线的表达式为：y＝
，
x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣设点D（x，0），则点P（x，∵PE＝∴PE＝（
x﹣2，则tan∠ABC＝x2+
，则sin∠ABC＝，
x﹣2），点E（x，x﹣2），
OD， x2+
x﹣2﹣
x+2）＝
（﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0）， 即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，
①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，
BD＝1＝BM，
则MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×则xM＝故点M（﹣
，
，﹣
）；
＝
，
②当BD＝DM（M′）时， 同理可得：点M′（﹣
，
）；
59
故点M坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．
24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6． （1）求a的值；
（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0 ∴A（a，0），B（1，0） ∵s△ABC＝6 ∴
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去） （2）设直线AC：y＝kx+b， 由A（﹣3，0），C（0，3）， 可得﹣3k+b＝0，且b＝3 ∴k＝1
即直线AC：y＝x+3，
60
A、C的中点D坐标为（﹣，）
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x， 线段AB的垂直平分线为x＝﹣1 代入y＝﹣x， 解得：y＝1
∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）
（3）
作PM⊥x轴，则
＝
∵
∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB 设直线PB解析式为：y＝x+b ∵直线经过点B（1，0）
所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1 联立
解得：
∴点P坐标为（﹣4，﹣5） 又∵∠PAQ＝∠AQB
可得：△PBQ≌△ABP（AAS） ∴PQ＝AB＝4 设Q（m，m+3） 由PQ＝4得：
解得：m＝﹣4，m＝﹣8（舍去） ∴Q坐标为（﹣4，﹣1）
61
25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线∴
解得：
y＝x2+bx+c
经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点
F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1 ∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3） ∴OA＝1，OC＝3，AC＝∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝∵AB＝AH，G为BH中点 ∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG ∵∠PAB＝2∠ACO ∴∠BAG＝∠ACO
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝∴BG＝
，AB＝4 ，cos∠ACO＝
AB＝
∴BH＝2BG＝
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°
62
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝∴HI＝∴xH＝﹣3+
，cos∠HBI＝
，﹣
）
BH＝
＝﹣
，BI＝，yH＝﹣
BH＝
，即H（﹣
设直线AH解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线AH：y＝x﹣
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，﹣）
②若点P在x轴上方，如图2，
在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称 ∴H'（﹣
，
）
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'
∴ 解得：
∴直线AH'：y＝﹣x+
∵ 解得：（即点A），
∴P（﹣，）
，﹣
）或（﹣
，
）．
综上所述，点P的坐标为（﹣
（3）DM+DN为定值
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1 ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1 设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）
63
设直线AQ解析式为y＝dx+e ∴
解得：
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6 ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6 设直线BQ解析式为y＝mx+n ∴
解得：
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2 ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+
PA的最小值．
64
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2， ∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0， ∴
，
，即y＝
．
∴抛物线的解析式为y＝
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵△ABD的面积为5， ∴∴yD＝
＝5，
，代入抛物线解析式得，
，
解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴D（4，
），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝．
），则M（a，
），
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，
65
∴
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝∴当a＝
，
时，△ACE的面积有最大值，最大值是
，此时E点坐标为（
）．
＝
＝
，
＝
，
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，
∵E（∴AG＝1+
＝
），OA＝1， ，EG＝
，
∴，
∵∠AGE＝∠AHP＝90° ∴sin∴
，
，
∵E、F关于x轴对称， ∴PE＝PF，
66
∴PE+∵EF＝∴∴∴PE+
AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，
，∠AEG＝∠HEF，
＝
．
，
PA的最小值是3．
27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时
PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣则抛物线的表达式为y＝﹣（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC＝5，AB＝7，BC＝4
，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：y＝设直线AC的中点为K（﹣
，
x2+x+4；
x+4，
，
，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣
67
同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣①当AC＝AQ时，如图1，
x+…②，
则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4
则QM＝MB＝故点Q（
，
， ）；
﹣5，
③当CQ＝AQ时， 联立①②并解得：x＝
（舍去）；
，
）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（（3）设点P（m，﹣
m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝
∵﹣
（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
＜0，∴PN有最大值，
．
当m＝2时，PN的最大值为：
28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
68
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0） ∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3） 把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3 ∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3 ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称 ∴PA＝PB
∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小 ∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3） ∴AC＝
∴C△PAC＝AC+CB＝
设直线BC解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1 ∴直线BC：y＝﹣x+3 ∴yP＝﹣1+3＝2
∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为
（3）存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC． ∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高 ∴点C和点M到直线PA距离相等 ①若点M在点P上方，如图2， ∴CM∥PA
∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d ∴
解得：
．
，BC＝
最小
∴直线AP：y＝x+1
∴直线CM解析式为：y＝x+3
69
∵ 解得：（即点C），
∴点M坐标为（1，4）
②若点M在点P下方，如图3，
则点M所在的直线l∥PA，且直线l到PA的距离等于直线y＝x+3到PA的距离 ∴直线AP：y＝x+1向下平移2个单位得y＝x﹣1即为直线l的解析式
∵ 解得：
∵点M在x轴上方 ∴y＞0
∴点M坐标为（
，
）
，
）时，S△PAM＝S△PAC．
综上所述，点M坐标为（1，4）或（
70
29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）． （1）求b，c的值；
（2）直线1与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．
【解答】解：（1）由题意得：∴b＝2，c＝3，
（2）①如图1，∵点C关于直线x＝1的对称点为点D， ∴CD∥OA， ∴3＝﹣x2+2x+3， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴D（2，3），
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（﹣1，0），A（3，0），
，
71
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 设F（a，﹣a2+2a+3），E（a，﹣a+3）， ∴EF＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a， 四边形CEDF的面积＝S△EFC+S△EFD＝
，
∴当a＝
时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为
．
＝
＝﹣a2+3a＝
②当△PCQ∽△CAP时，
∴∠PCA＝∠CPQ，∠PAC＝∠PCQ， ∴PQ∥AC，
∵C（0，3），A（3，0）， ∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠PCQ＝45°，∴∠BCO＝∠PCA，
如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M， ∴
设PM＝b，则CM＝3b，AM＝b，
，
72
∵∴∴∴∴∴
， ，
，
，
，
，
设直线l的解析式为y＝﹣x+n， ∴∴
．
．
，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+
30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）． （1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y＝
x2﹣x﹣2
（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
73
设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3） t2﹣
t﹣2
∴OD＝t，PD＝
设直线BP解析式为y＝kx﹣2 把点P代入得：kt﹣2＝∴k＝
t2﹣t﹣2
t﹣
∴直线BP：y＝（当y＝0时，（∴C（∵t＞3 ∴t﹣2＞1 ∴∴AC＝3﹣
t﹣）x﹣2
t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
，0）
，即点C一定在点A左侧
∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝∴
AC•OB+AC•PD＝
＝4
AC（OB+PD）＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去） ∴
t2﹣t﹣2＝
）
∴点P的坐标为（4，
（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F ∴AB垂直平分OE ∴BE＝OB，OG＝GE ∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90° ∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝∵S△AOB＝
，cos∠OAB＝
OA•OB＝AB•OG
74
∴OG＝∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90° ∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝∴EF＝∴E（
，﹣
，cos∠BOG＝
OE＝
）
，OF＝OE＝
设直线BE解析式为y＝ex﹣2 把点E代入得：∴直线BE：y＝﹣当﹣
e﹣2＝﹣x﹣2 x2﹣
，解得：e＝﹣
x﹣2＝x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
．
∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为
31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
75
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c
经过A（﹣1，0），B（3，0）， ，
把A、B两点坐标代入上式，解得：
，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°， ∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB， 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴
，
设OP＝x，则PB＝3﹣x， ∴∴OE＝∵0＜x＜3， ∴
时，线段OE长有最大值，最大值为时，线段OE有最大值．最大值是
． ．
，
，
即OP＝
（3）存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
76
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3， ∴N点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN的解析式为y＝kx+b， ∴∴
， ，
∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝∵∴a＝
，
时，△MBN的面积有最大值，最大值是
，此时M点的坐标为（
）．
＝
＝
，
32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝﹣
x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），
77
将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得
∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3）， 将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣﹣2x﹣3＝﹣
（x+2）2﹣
，
x2﹣x+2，得
（x+2）+2，
解得，x＝0或x＝﹣1，
因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3）， 将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣
x2﹣x+2，得
y＝﹣x2﹣x+2，得
（x﹣2）2﹣
，
，
）；
（x﹣2）+2，
x2﹣2x﹣3＝﹣
解得，x＝3，或x＝﹣
此时点P的坐标为（3，0）或（﹣
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3）， 故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）， 将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣﹣x2+2x﹣3═﹣
（2﹣x）2﹣
x2﹣x+2，得
（2﹣x）+2，
解得，x＝0或x＝﹣3，
因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣3，12），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，
，
）或（﹣3，12）；
78
由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴
，
），点R坐标为（x2，
），
设点P坐标为（x1，
所以有
整理得，x1+x2＝4，
，
在Rt△PRH中，tan∠PRH＝
＝
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2， 所以2m＝解得，m＝所以点Q坐标为（
，
，﹣7+
）或（
，
），
，﹣7﹣）．
33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
79
【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3， 即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：
x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2， 同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），
S△PMN＝2＝
|x2﹣x1|＝解得：k＝±2
PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，
，
；
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4）， 则直线PM表达式中的k1值为：
，直线PN表达式中的k2值为：
，
为：k1k2＝故PM⊥PN，
＝＝﹣1，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，
80
设点H坐标为（x，y）， 则x＝
＝1﹣
k，
y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、
B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2， 解得：x＝1或2，
故点A、B的坐标分别为（1，2）、（2，k+2）； （2）OA＝①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）； ②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3； 故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3； （3）存在，理由： ①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
＝
，
81
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1， 设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m， 则AN＝AH＝﹣k，AB＝
，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2， 即：（1﹣m）2＝m2+（解得：m＝﹣k2﹣k在△AHM中，tanα＝解得：k＝故k＝﹣
；
＝，
＝k+
＝tan∠BEC＝
＝k+2，
+k）2，
（舍去正值），
②当点B在x轴下方时， 同理可得：tanα＝解得：k＝故k的值为：﹣
或或＝
＝k+（舍去）； ．
＝tan∠BEC＝
＝﹣（k+2），
35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点
N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°， 即：则PE＝PE，
，解得：
，
82
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值， 当x＝2时，其最大值为18； （3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1）， 由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5， 解得：x＝2则点M坐标为（2+
或0或4（舍去0），
，﹣3﹣
）或（2﹣
，﹣3+
）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为（0，
），
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：0＝
，
＝
，
解得：n＝0或﹣4（舍去0）， 故点M（﹣4，3）； 故点P的坐标为：（2+
，﹣3﹣
）或（2﹣
，﹣3+
）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过
A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
83
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴∴
，
，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴
，解得：
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4）， ∵CE∥y轴， ∴E（1，﹣2）， ∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN， 设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去）， ∴M（2，﹣1），
84
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3）， ∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a， ∴a2﹣3a＝2， 解得：a＝∴M（
，
，a＝
），
）．
（舍去），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝∴当m＝
时，△PAB面积的最大值是
＝
，此时P点坐标为（
＝﹣）．
，
37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段
OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+
PC的最小值；
个单位得到
PC取得最小值时，把点P向上平移
点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′
Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有
满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
85
【解答】解：（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3） ∵点D为抛物线的顶点，且∴点D的坐标为D（1，﹣4） ∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6） ∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3 ∴当m＝
＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
＝
＝1，
＝
＝﹣4
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0） 在x轴上找一点K（∴sin∠OCK＝
，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
，且点F（2，﹣2），
，直线KC的解析式为：y＝
86
∴PJ＝∴点J（∴FP+
PC，直线FJ的解析式为：y＝
，
）
PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝
PC|min＝
；
），
∴|HF+FP+
（2）由（1）知，点P（0，∵把点P向上平移∴点Q（0，﹣2）
个单位得到点Q
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝此时，∠AQO＝∠GOQ
，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G ①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ， ∵sin∠OAQ＝∴sin∠IOQ'＝
＝＝
＝
＝
），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝∴点Q'的坐标为Q'（
，﹣
）；
87
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（③如图4
，
）
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣④如图5
，
）
88
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（（﹣
，﹣
）
，﹣
，﹣
），（
）
，
），（﹣
，
），
38（．2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．
（1）求a、b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围． （3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2， 故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2， 则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大， 则函数对称轴x＝﹣即：﹣
≥0，而b＝2a+1，
，
≥0，解得：a 89
故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，
则yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1， 故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2）， 即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1， 解得：x＝﹣1或﹣1故点P（﹣1，2）或（﹣1
，
，1）或（﹣1﹣
，﹣
）．
39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝
，∠CAE＝∠OBE时，求
﹣
的值．
【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，
ax（x+6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
90
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点， ∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDP＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠COE， ∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，即E（m，0）， 由切割线定理得：CE2＝OE•AE， ∴（m﹣t）2＝m•（m+6）， ∴
①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO， 由角平分线定理：
，
即：，
∴由①②得
②，
，
整理得：t2+18t+36＝0， ∴t2＝﹣18t﹣36， ∴
40．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
．
91
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 （1，2） ． （2）函数y＝
（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴解得：
， ，
∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数根据题意，得∵x＞0， ∴∴
，，
，
的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
，
∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
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∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿
，
y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥
l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．
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