函数点对称线对称及周期总结

函数对称性、周期性全解析

函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点,现在全部解析如下： 一、 同一函数的周期性、对称性问题（即函数自身)

1、 周期性：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当ｘ取定义域内的每一个值时,都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义(略),请用图形来理解。

3、 对称性：

我们知道:偶函数关于ｙ(即x=0)轴对称，偶函数有关系式 f(x)f(x)

奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)f(x)0

上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的

探讨：(１)函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax)

简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知，y1f(x1)f(2ax1),即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

(ax)(bx)ab22 对称

若写成:f(ax)f(bx),函数yf(x)关于直线

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x--

(2)函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b

简证:设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1),通过f(2ax)f(x)2b可知，

f(2ax1)f(x1)2b,所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。

abc,)f(ax)f(bx)cyf(x) 若写成:，函数关于点22 对称

( （3）函数yf(x)关于点yb对称：假设函数关于yb对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x，

22c(x,y)xy40它会关于y=０对称。 yby)=0，则有可能会出现关于对称,比如圆

4、 周期性:

（1)函数yf(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为2T

A、f(xT)f(x) B、

f(xT)11或f(xT)f(x)f(x)

C、

f(xT1f(x)T1f(x))f(x)41f(x)或41f(x)(等式右边加负号亦成立)

D、其他情形

(2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),则可推出

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f(x)f(2ax)f[b(2axb)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即可以得到yf(x)的周期为２（ｂ

－ａ)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于ｘ轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”

（３）如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为

xT2kT(kz)，根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为(kT，0)(kz)（以上T0） 2 如果偶函数满足f(xT)f(x)则亦可以推出周期是２T,且可以推出对称

T2kT,0)(kz),根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为xT2kT(kz) （以上T0) 2中心为

( （4)如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)(T0)，则函数yf(x)是以４T为周期的周期性函数。如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0）,则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。

二、 两个函数的图象对称性

1、 yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

换种说法:yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、 yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

3、 yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法:yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax),即它们关于xa对称。

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4、 yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法:yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、 yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a，b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b,即它们关于点(a,b)对称。

ab2对称。

6、 yf(ax)与y(xb)关于直线

x4 / 4