思考的学校，学习的国家
―新加坡的数学课程
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范良火 朱雁
自1990年代中期以来，新加坡的中小学数学教育经验，由于其学生在第三次国际数学和科学研究（TIMSS）的杰出表现，而引起了全世界尤其是西方国家的高度关注。与此同时，新加坡的中小学数学课程和教材质量在国际上也倍受推崇，其中数学教材更被不少国家的中小学直接作为教科书使用。在本章里，我们将试图比较全面地介绍与新加坡的数学课程相关的情况，并提出一些有关的认识。
一、背景和课程的基本理念
同许多国家一样，新加坡在形成其特有的教育体系之前，经历了相当长时间的探索和实践。新加坡在独立前是英国的殖民地，因此深受英国教育体制的影响。直至今日，新加坡中学高年级的许多学科的教学仍旧是依据英国剑桥考试标准而展开的。而且，学生在完成了前四年或是五年的中学课程后要参加剑桥普通教育证书“O”或“N”水准会考（后者程度较低）。在新加坡，“O”水准会考的成绩被认为是一项基本的学历资格；“O”水准成绩良好者可以继续修读两年的初级学院（Junior College）课程，然后参加剑桥普通教育证书“A”水准考试；“A”水准成绩良好者可进入大学继续深造。
在过去，这两种水准的会考完全是由英国剑桥大学考试局负责的。剑桥考试局不仅负责制定两种水准各科考试的纲要，还全权负责考题的拟定、试卷的批改以及成绩等级评分标准的制定。不过近年来，新加坡教育部已开始逐步介入这两种会考的有关工作，并在2001年时取得了“A”水准考试的主导权。在2002年，新加坡教育部首次和英国剑桥大学考试局共同拟题和批阅了该年的新加坡“A”水准会考。根据新加坡教育部官员的说法，争取“A”水准会考主导权是为了让高中教学课程以及考试系统更好地配合新加坡教育制度发展的重点，符合本国教育的目标，以便更加适应新经济时代的需求（潘，2002）。目前新加坡“O”水准会考仍由英国剑桥方面全权负责，但可以预计，新加坡教育部在今后会承担更多的主导作用。
从某种意义上说，新加坡中学高年级及初级学院的教学与考试更多地是沿袭了英国的教育体系而很少有新加坡本土的特征。因此，本章对新加坡数学教育的介绍将着重于新加坡小学及中学低年级数学的教与学的情况上。
众所周知，新加坡是一个多种族国家，其中华人约占总人口的77%，马来人约 14%，印度人约7%，其他约为2%。四大官方语言是马来语、华语、淡米尔语和英语。在新加坡独立以前，使用这四大语种作为教学用语的学校都有各自的课程学制体系，遵循不同的教学大纲，使用不同的教学材料。英校采用的是6-5-1学制（六年小学—五年中学—一年预科），主要由英国传教士管理，使用自英国引进的教学大纲和教材，用英语进行教学；华校则实施6-3-3学制（六年小学—三年初中—三年高中），由华人委员会管理，使用中国方面的教学大纲和教材，教学用语是华语；类似地，马来和淡米尔学校也都有自己的一套教育体系。以中学数学教学为例。华文学校一般都采用分科式的教法，即初一教算术，初二教代数，初三教几何，高一教三角和平面几何，高二教大代数，高三教解析几何；课本多为中华版和商务版，如初三几何采用新三S平面几何，高二代数采用范氏大代数，高三解析几何采用斯、盖、尼三氏的解析几何（李，1959），而这些正是当时中国大陆所普遍使用的数学教材（张，2000）。相反，当时大部分的英文学校在数学上采用综合式的教学，课本包含了代数、几何和三角等多种内容，例如Durrell的《初等数学》（Elementary Mathematics）。这种“各自为政”的状况直到1959年才开始有了改观。在那一年，新加坡取得了完全的内部自治权，成立了自己的教育咨询理事会，并下设了一 12
新加坡南洋理工大学国立教育学院。 新加坡南洋理工大学国立教育学院。
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个教材和大纲委员会，旨在为新加坡所有学校编制一套内容统一的教学大纲。
自1959年起，教材和大纲委员会开始对本地各语种学校所使用的教学大纲进行修订，于1961年公布了一套完整的包括所有传统科目在内的教学大纲。与此同时，该委员会还对当时部分使用中的教材进行了审阅，并首次颁布了学校用书推荐列表。至此，新加坡开始进入自行设计教学大纲和教学用书的新阶段，并逐步将原有四大语种不同的教学体系统一化。这一过程经历了相当长的时间，其中1960年为四大语种的学生设立了小学离校考试（Primary School Leaving Examination，PSLE），现俗称“小六会考”，1971年所有四大语种的中学四年级学生首次参加了统一的剑桥普通教育证书“O”水准会考，四大语种的教学体系才算是真正得到了统一。英语成为所有学校的教学用语，其他三种语种则作为不同种族学生相应的必修母语科目。目前新加坡统一的教育体系是6年小学，4年中学，2年初级学院，以及3至4年大学（详见图一）。
（（（此处左右排版时插入图一、新 加 坡 教 育 体 制）））
四大语种在教学上的统一是新加坡教育史上的一个里程碑。之后，新加坡决策者开始更多地考虑教育如何适应学生学习能力差异的问题。因此，在1976年和1978年，新加坡教育部先后公布实行了修订后的小学和中学教育体制。新体制的一个主要特征就是将学生根据他们不同的学习能力进行分流。最初，小学阶段的分流是安排在三年级末进行，从1995年后，分流时间被推迟至小学四年级末，现俗称“小四分流”。分流前，所有学生都学习相同的科目，目的是使学生能在英语、母语和数学上打下扎实的基础，因此从小学一至四年级称为基础阶段。根据分流结果，每一学生在小学五和六年级修读三种课程即EM1、EM2和EM3的其中之一。总的来说，EM1和EM2的学生在英语、数学和科学课程上的学习除了在规定的学时上有一定差别外，在教学内容上没有分别；但在母语方面，EM1学生所学的内容程度较EM2学生要高。由于EM3学生的学习基础较前两种课程的学生要差，因此，他们在小学最后两年的课程要求要低不少。该阶段被称之为定向阶段。
中学阶段的分流则在学生刚进入中学时就开始。学校会依据学生在小六会考中的成绩将他们分入不同的课程类别（新加坡称为“源流”，对应英文“stream”）中。起初，在中学阶段共有三种课程源流供学生选读，即特别课程（Special course），快捷课程（Express course）和普通课程（Normal course）；1994年起原有的普通课程又被进一步化分为普通学术（Normal Academic）和普通工艺（Normal Technical）两类课程，这也就形成了现在中学里所设的四大源流。中学阶段各课程源流之间的差异较小学定向阶段各课程间的差异要更大一些，有关这方面的内容将在本章的第二部分做进一步的介绍。
最近几年来，新加坡在教育上推出了不少重大举措。其中最宏观层面的是1997年新加坡教育部提出的“思考的学校，学习的国家”（Thinking Schools, Learning Nation）的总目标。更具体地，包括三个重要方面：思考技能（Thinking Skills），信息技术（Information Technology，简称IT）和国民教育（National Education）。它们直接影响新加坡教育的各个方面，包括数学课程和教学。
在教学中强调思考技能的重要性在新加坡其实并非是一个新课题。早在1987年，新加坡就开始在部分学校尝试引进波诺（Bono）的思维训练课程。1995年，作为试点又在五所中学引入以马札诺的《学习的维度》（Dimensions of Learning）为蓝本的新的思维课程，并逐步推广到全体中学中。新课程的目标是让学生能够（a）认识和理解核心思维技能和过程；（b）运用这些技能于学科学习、实际生活的决策过程以及问题解决中；并且（c）培养起积极的态度以帮助他们成为具有批判性、创造性和有自律能力的学习者（CPDD，1999）。该课程主要是为中学低年级（即中学一、二年级）的学生设计的，为期两年，共有两个组成部分：其一是在非学科教学中进行专门的思考技能的教学；其二是将思考技能融入核心课程的教学中，如英语、科学、数学、地理和历史。课程建议，有关这方面的教学最终应达到总课程的30%，而且在教学过程中要明确教授思考技能以使学生对核心课程能有更深入的理解。
在数学学科方面，最新的新加坡中小学数学教学大纲体现了这种理念。根据最新的中学（低
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年级）数学教学大纲：“思考技能的培养应当有意识地融入数学概念和问题解决的学习中。应当创造条件让学生描述、使用和解释他们在进行数学思考和问题解交流过程中所用到的思考技能。”（ Ministry of Education， Singapore， 2000a，p.15）。事实上，中学大纲明确列出了九种具体的思考技能，如分类和比较；而小学数学大纲则列出了八种具体的思考技能（详细见下文）。
在新加坡教育部的教育发展蓝图中，有一项结合信息技术（IT）进行学科教育的规划，称为资讯科技教育总计划（The Masterplan for IT in Education)。该规划认为未来技能的焦点将集中于思考、学习和交流等方面，而基于信息技术的教与学则是获取上述技能的关键途径。该总计划共包括四个主要目标：1、加强学校与外部世界的联系，拓展和丰富学习环境；2、鼓励创造性思维、终生学习的习惯和社会责任感；3、通过信息技术与教育的结合为教育改革带来创新的生机；4、发挥信息技术在教育系统行政管理方面的优势。
在硬件建设方面，新加坡政府在1997至2002年间共投资20亿新元为全国各中小学和50%的教师配置计算机/笔记本电脑，其目标是到2002年时学生与计算机的比例基本达到2∶1，相应地，学生基于信息技术的学习达到总课程时间的30%。另外，该总计划还为每一所学校提供遍布校园的网络设施，为小学四年级及以上的教师和学生配置电子信箱帐号。
在软件开发方面，教育部在1998年时推出了一个以教师和家长为主要服务对象的“教育电子坊”网站（有兴趣的读者可查阅网址http://www.moe.edu.sg/edumall）。其中包括有电子图书馆（含有大量的软件资料介绍，网站链接、电子录像片等）、电子咨询台（提供与教育信息技术有关的协作性研究项目的信息，为教师创建一个相互交流的平台）和电子展厅（介绍与教育信息技术有关的革新项目的相关信息以及提供信息技术在教育中的最新发展动态）。此外，该总计划提出，在软件和课程目标实现匹配之后，信息技术应当被引入所有的学科科目中。根据现有可用软件的情况，在小学阶段，英语、数学、科学和中文等科目可引入信息技术；相对而言，可引入信息技术的科目在中学阶段则更为广泛，除上述提到的科目外，还包括有地理、历史、英国文学以及公民和道德教育。
人力资源的开发是总计划的另一个重要内容。该总计划指出每一名教师都应该具备有运用信息技术设备和在学生中推广新的学习策略的能力。为此新加坡教育部制定了有关的教师培训计划。国立教育学院也增加了这方面的培训内容，以确保所有的毕业生具备有基本的使用信息技术和资源进行教学的能力。
在数学教学方面，新加坡数学教学大纲作了如下的说明：“信息技术的介入能够帮助培养学生对数学的兴趣，丰富他们的学习体验，有助于他们成为独立的思考者和学习者。”（Ministry of Education，Singapore，2000a，p.16；2000b，p.18）对于如何在教学中结合信息技术，大纲也做了具体的说明。例如，大纲要求在中学低年级几何教学中，只要可能，教师应当创造机会让学生运用相关的信息技术工具进行几何性质的探究。
第一个总计划已在2002年完成，接下去的从2003年至2007年是第二个该总计划。在这第二个总计划中，信息技术将融入学科内容以创造一个动态而灵活的课程；同时，信息技术的使用也将扩展教育评定的范围和性质。在教师专业培训方面，将开发一个综合而持久的教育信息技术专业培训模式；推动一个网上学习的环境；并创设有效的组织以鉴别和评定教师。在学校建设方面，将积极推动信息技术在教育中的运用；支持和建立有效的学校组织；并通过对领导层的建设让学校享有更多的自主权。在基础设施和援助上，将提供可靠、灵活而又安全的网络途径；提供多用途、多功能和范围极广的信息技术氛围；并提供信息技术支持服务。最终，通过第二个总计划的推行，教育部希望达到以下六个成果：
1、学生能够有效地使用信息技术进行积极的学习； 2、通过使用信息技术提高课程、教学与评定的联系；
3、教师能够有效地使用信息技术进行专业和个人的发展； 4、学校能够利用信息技术改善学校质量； 5、在教育信息技术方面形成积极的研究氛围；
6、拥有一个良好的基础设施以支持信息技术广泛而有效的使用。
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国民教育是“思考的学校，学习的国家”计划中的最后一项内容。新加坡政府认为，当国家经济逐步迈向全球化的时候，全体公民必须具有强烈的国家意识，并时刻牢记自己是新加坡的一员。因此在各学科教学中，就要求能充分体现这一理念。以数学为例，有关如何将国民教育与数学教学相结合的问题，新加坡中小学数学大纲作了如下的说明：“国民教育是总体教育的一个组成部分；因此每个教师应当起到他应有的作用。在数学授课中，国民教育应当通过在课堂上列举与国情相符的实例来实现。这些实例可以用在问题解决中也可以是在实际操作题中。”（Ministry of Education，Singapore，2000a，p.17；2000b，p.18）
二、2000年数学教学大纲
在评述新加坡最新2000年数学教学大纲前，我们先对有关背景作一简单的回顾。
如前文所言，在独立前，新加坡的教育处在一个各语种体系“各自为政”的状态。即，各语种都有各自独立的教学体系，使用着互不相同的教学大纲、教科书以及教学用语。直到1961年，新加坡教材和大纲委员会颁布了一套完整的适用于各语种涵盖所有传统教学科目的教学大纲才统一了这种局面。在这套大纲中，数学大纲是在1959年时完成的，传统上该大纲称为大纲B。在这个大纲中，数学是不分科的，并采用螺旋式方式编排数学教学内容。即，数学不特别划分为算术、代数或是几何等，而作为一个整体进行教授，并且对于各内容的教学采取的是循环往复的方式。此外，大纲B还有另一个重要特征，那就是它同时包括小学六年和中学四年两个阶段的数学教学,而以后的教学大纲都将两者分开。
1971年，一套修订后的小学数学教学大纲出台；两年后，即1973年，修订后的中学数学教学大纲也推出。至此，新加坡数学大纲开始分小学和中学两套进行编订并一直延续至今。由于受新数学运动的影响，当时的中学数学大纲编入了不少现代数学的内容，例如，集合和群域。不过在1981年所出的更新一版的数学大纲中，很多新数内容又被撤了出来。习惯上，1973年出版的这套中学数学大纲称为大纲C。
考虑到学生在学习能力上的差异并为了能更好地发挥学生的学习潜能，新加坡从1979年开始引入了学生分流的体制。针对这一新的体制，新的小学和中学数学大纲（称为大纲D），从1981年开始逐步取代了原有的中小学大纲。新的大纲体现了分流的特征。在小学阶段，低年级（一到三年级）的数学课程是统一的，而到了高年级，课程则分为延续性课程（Extended Course，四至八年级，为期5年）和普通课程（Normal Course，四至六年级，为期3年）两种。延续性课程在内容要求上较低。除了这两种课程以外，还有一种课程是专为单语学生开设的，为期5年，不过这种课程只出现在1981年的大纲中，之后便取消了。中学阶段的课程共有三类：特别课程，快捷课程和普通课程。这三种课程当时在教学内容上并没有大的差异，只是特别课程和快捷课程要求四年完成，而普通课程则为五年。
1990年，新加坡教育部再次对数学大纲进行了修订。与1981年的大纲相比，1990年的大纲更注重对学生在数学概念、基本技能及数学过程方面的培养。大纲首次提出将发展学生的数学问题解决能力作为数学课程的基本目标，而且数学问题解决也被定位为新加坡数学课程框架的核心。以下是2000年公布的最新大纲的数学课程框架，与1990年的框架基本相同（见图二）。
欣赏 兴趣 监控个人
自信 自身的思维 元 度 毅力
认
知 态 数 学
估计和近似 问 题 过
心算 技 思考技能 解 决 交流 程 解题策略 能 使用数学工具
算术运算 代数运算 数据处理
概 念
4 数的概念
几何概念 代数概念
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图二、新加坡数学课程框架
除此之外，从1990年起还有一个重大变化，即教育部不再为中学三年级及以上的数学课程编写教学大纲。至今中学高年级的数学教学仍是依照剑桥普通教育证书会考大纲而展开的。
在1990至2000年间，新加坡教育部课程规划署又先后两次分别对中学低年级和小学的分流作出调整。这对数学教学大纲也产生了一定的影响。1994年中学分流课程中的普通课程被进一步划分为普通学术课程以及普通工艺课程，这两种课程内容的学术程度变得比特别课程和快捷课程要低很多。其中普通工艺课程是专为学生中学毕业后的技术职业培训而开设的。1995年，小学的分流在时间上被作了调整：由原来的小三分流改为小四分流，共设三种课程：EM1、EM2和EM3。前两种课程除了在教学时间上有一定的差异外，在教学内容上是统一的；而EM3的数学大纲在数学内容要求上程度较低。
如前提到，新加坡政府在1997年提出了“思考的学校，学习的国家”的教育总目标。为响应这一宏观的理念，1998年新加坡教育部推出了试行的小学及中学数学教学大纲。这两个大纲都力求贯彻“思考技能”、“国民教育”和“资讯科技教育总计划”的精神，而且都对1990年大纲在内容的量上做了大幅度的删减。在此基础上，教育部于2000年又分别颁布了修订后的正式的小学及中学数学教学大纲，从 2001年起实行，这也就是下文中将着重介绍的内容。
最新的小学及中学数学教学大纲虽然在教学内容上自然不同，但在总体理念上两份大纲贯彻的是同一个数学教育目的和数学课程框架。根据大纲，新加坡中小学数学教育的目的是要使学生能够：
1、获得并使用他们在生活中将遇到的数学情境中与数、测量和空间有关的技能和
知识；
2、获得进一步学习数学和其它学科所必需的数学概念和技能； 3、通过解决数学问题发展逻辑演绎和归纳及清楚表达他们的数学思维和推理技能
的能力；
4、运用数学语言准确、简略而有条理地表达数学思想和论证； 5、发展对数学的积极态度，包括自信、喜爱和毅力；
6、欣赏数学的力量和结构（包括模式和关系）以增强他们的求知欲。
在数学课程的框架上，2000年大纲与1990年大纲大致相同，数学课程的基本目标仍是培养学生的数学问题解决能力。大纲明确指出，所谓的数学问题解决是指在实际任务、现实生活问题和纯数学问题中使用和应用数学。在这里，“问题”一词包含了广泛的情况，从常规数学问题到需要用到有关数学及思考过程的情景不熟悉的问题和开放性探究问题。如图二所显示，围绕着数学问题解决有五大紧密相关的要素：概念、技能、过程、态度和元认知。对这五大要素的具体内容，大纲作了以下说明：
1、概念：指解决数学问题所要用到的基本的数学知识，包括数的概念、几何概念、
代数概念和统计概念；
2、技能：指要求学生在进行解决问题时运用与内容有关的运作技能，包括估计与
近似、心算、交流、使用数学工具、算术运算、代数运算和数据处理； 3、过程：指数学问题解决中所涉及的思考和解题策略（Heuristics）。（对于具体
的思维及解题策略内容，大纲对小学和中学阶段的数学教学作了不同的说明，见表一）；
4、态度：指数学学习的情感方面，如喜欢做数学、欣赏数学的美和力量、具有运
用数学的自信心、以及有解决问题的毅力；
5、元认知：指监控自身在问题解决中的思考过程的能力，包括持续而有意识地监
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控执行任务中所用到的策略和思考过程、灵活运用不同的方法，以及检验答案的正确性和合理性。
表一、新加坡中小学数学大纲所列的思考技能及问题解决策略
小学 分类 比较 排序 分析部分与整体 思考技能 识别模式与关系 归纳 演绎 空间想象 实际演示 使用图/模型 系统地枚举 寻找模式 逆向作业 使用前后概念问题解决策略 猜想和检验 作假设 重新表述问题 简化问题 分部分解题 中学 （低年级） 分类 比较 识别属性和部分 排序 归纳 演绎 一般化 验证 空间想象 实际演示 使用图/模型 猜想和检验 系统地枚举 寻找模式 逆向作业 使用前后概念 作假设 重新表述问题 简化问题 分部分解题 联想相关问题 使用方程 新加坡中学（低年级）和小学的数学大纲是分开出版的，这样在一定意义上有利于教师使用，但联系十分紧密。这不仅体现在前面提到过的宏观的数学教育的目的和课程框架相同，而且更多反映在中小学具体教学目标及内容的联系和衔接上。大纲试图按学生认知发展的不同水平安排中小学的教学内容和要求。例如，小学的数学课程要求学生能够认识两维和三维系统中的空间关系，而中学的数学课程则进一步要求学生能够运用这些关系。对于数学中的模式和关系，小学阶段的数学只作认识的要求，而到了中学阶段，学生就不仅要能够识别这些模式和关系而且要能够运用它们。在对数学语言、符号和图式的使用上，小学阶段要求学生能够运用它们表达和交流数学思想，而对中学生来说，不仅要能够运用还要能够理解。同样地，对于所学的数学概念，小学阶段的要求是让学生能够使用这些概念进行问题求解，而对中学生来说，则要求他们能对在熟悉和不熟悉的情况中，包括日常生活，所遇到的数学概念进行解释。在问题解决的学习上，小学数学课程要求学生能够运用恰当的策略进行解题，而中学的数学课程则要求学生能分析问题、将问题数学化并使用恰当的策略进行解题、验证和解释所得到的解，并能清晰地有条理地解说他们的结论和解法。此外，中学阶段的数学课程还要求学生能够学会使用计算器、收集和分析数据、认识大纲中涉及的不同数学内容间的关系、以及认识到数学在其他学科中的运用，这些都是小学数学课程所不曾提及的。表二简略地列出了大纲所规定的各年级数学教学内容的范围。
表二、新加坡中小学各年级数学教学内容表
小一 整数 钱与 度量 小二 小三 小四 小五 小六 EM1 EM1 特//EM2 EM3 /EM2 EM3 快 中一 普-学 中二 普-特/普-普-工 快 学 工 6 ©范良火，朱雁。高教社《世界数学课程发展》稿件，请勿他用
分数 小数 比、 算 比例、 比率 百分数 根数 实数 近似与术 估算 计算器的使用 数列 简单金融问题 测量 几何 统计 代数 图形 三角学 注：1、小四分流后的小学课程共分三种课程：EM1、EM2、EM3； 2、中学阶段的分流课程共有四种：特别课程、快捷课程、普通（学术）课程和普通
（工艺）课程。
就象表二反映的，在小学阶段，EM1和EM2的数学课程在内容上是统一的。这两种课程在数学上使用的是同一个教学大纲，只是在教学时间上，EM1每周数学授课为4.5小时，但EM2为每周5小时。而EM3与这两种课程的差异较大，不仅EM3课程每周数学授课时间为6.5小时，在教学内容上，有相当一部分EM1/EM2的教学内容没有或是被推迟列入在EM3的课程中。例如，EM1和EM2的课程在小六引入了代数学的内容，而EM3却没有；又如，EM1和EM2的课程在小五时就引入了百分数的概念，而EM3的课程到六年级才介绍这一概念。
类似地，中学阶段的各类课程在数学教学上也有不同程度的差异。特别课程和快捷课程使用的是同一个教学大纲，普通（学术）课程所涵盖的数学内容大致上是前者的一个子集，而普通（工艺）课程则是普通（学术）课程的一个子集。在教学时间的安排上，前三种课程都是每周2.5至3个小时，而普通（工艺）课程的每周数学授课时间被设为4至5个小时。
除了教学目标和教学内容，大纲还对教学评定工作提出了一定的建议。大纲指出，评定是教学过程的一个有机组成部分。数学评定的主要目的应当是改进数学的教与学。在评定中，教师应当考察学生思维、学习和行为的不同侧面。另外，大纲还建议了两种评定方式：连续性评定（这种评定强调的是评定的持续性，可采用的形式有课堂观察、口头交流、书面作业和测验，以及实践性探索任务）和学期性评定（这种评定强调的是学生阶段性的总体表现，可采用的形式有年中和年末考试）。无论是哪种形式的评定，大纲指出，评定任务中都应当适当地反映心算、数学交流、数学的实际应用、探究、问题解决、批判性思维、创造性工作以及使用信息技术等方面大纲所体现的特色。
值得注意的是，新加坡教育部于2002年拟定了小学和中学（低年级）的数学评定指导纲要，初稿正在征求意见过程中。正式稿将于2003底或前后出版。该指导纲要突出了评定在教学过程中的重要性，及多元评定方法在整个评定工作中的意义。
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三、数学教材情况和实录
在第三届国际数学和科学研究中，新加坡参加该研究的四年级和八年级学生在数学上按平均成绩均为第一，其卓越表现受到了全世界的普遍关注。而美国学生在该项研究中的表现却差强人意。有不少学者认为，美国学生的数学成绩不好的主要原因之一是所学的教材质量不好。为此，美国的一些教授和数学专家甚至鼓励美国的学校采用新加坡的数学教材，特别是小学的数学教科书，以提高美国的数学教学质量。例如，伊利诺大学的塞杰（Sagher）教授就认为新加坡数学教科书中的内容训练了新加坡学生的数学能力，而这些教科书对于教师的影响之一就是使他们有勇气教授学生难度较高的题目（Dizon，2000）。根据2001年的数据，全美大约有140多所学校正在使用着新加坡的教材（Davie，2001），而美国教育部也正在进行着一个为期两年的研究，考察使用新加坡的数学教材是否能提高美国学生的学习成绩。此外，印度、芬兰、以色列等近十个国家也有学校使用新加坡的中小学数学教材（ Quek，2002）。
新加坡国内的教育人士在总结本国学生为何能在国际比较研究中取得优异成绩时也指出良好的数学课程和教材是新加坡学生成功的可能原因之一。作为课程的一个重要组成部分，教材在新加坡学生的学习中所起到的作用是不容忽视的。
从发展的角度看，新加坡的中小学数学教材经历了一个相当长的历程。如前文所提到，在国家独立前，新加坡四大语种的教育体系采用的大多是泊来的教科书。如华语学校，他们使用的是源自中国大陆的美国教材的中译本；英语学校使用的则是来自英国的教材。直到1959年，教材和大纲委员会开始着手审阅部分当时各语种体系使用的教材，而后提出了第一个学校推荐用书表。
到了1970年代，一些商业性出版社开始自行设计和出版本地教材。小学数学课本一时共有七套，其中有两套使用得较为广泛，它们是联邦出版社的《活动数学》（Active Mathematics）和麦克米伦出版公司的《发现数学》（Discovery Math）。 1980年新加坡教育部成立了课程发展署(Curriculum Development Institute of Singapore，CDIS），全面负责小学课本的编写工作，供全国通用。自那时起，在很长的一段时间里，新加坡的小学教材就完全是由CDIS统一编写提供的。CDIS共完成三个版本的小学数学教材系列。第一版在1980年代初完成，其编写工作是以对前七套课本的审核为基础的；在1990年代初出版了第二版，该版主要是对第一版中的一部分陈旧内容作了修改；以后又出版了第三版，对第二版中的失误作了修正，并在内容的量上作了30%的削减，其目的在于给教师和学生留出更多的时间和空间去学习新的知识和技术。
1996年，新加坡教育部将原有的课程发展署和课程规划署(Curriculum Planning Division，CPD)合并，成立了课程规划与发展署(Curriculum Planning and Development Division，CPDD）。从2000年起，小学教材的编写与发行全面下放给私人出版商。不过所有的教材都必须通过教育部的审核才能进入课堂，而各学校的学科部主任及教师则是根据教育部每年发布的核准教材表决定本校学生当年的学科用书。目前，总共七套核准可供小学一至三年级选用的数学教材，而小学四至六年级的课本仍只有CPDD出的一套在使用，但将逐年被新教材替代。
不同于小学教材，中学教材基本上一直是由私人出版商组织编写提供，当然那些课本必须通过教育部的审定。可见，在2000年前，关于中小学的教材新加坡教育部采取了相当不同的政策。其中的主要原因可能是，新加坡的中学教学，尤其是中学高年级，一直以来遵循的是英国剑桥提供的课程标准，因此教育部对中学的教学的监控并不象小学教育那样严格。相对而言，小学教育的基础性更强，因此和其他很多国家一样，新加坡在过去对小学阶段的教育控制得较为严格。目前，通过教育部审定的中学数学教材，供特殊/快捷课程学生选用共有两套，供普通（学术）课程学生使用也有两套，供普通（工艺）课程的教材有一套。
有不少研究显示，教科书对教师的课堂实践和学生的学习都有着显著的影响。研究发现，使用不同教材进行授课的教师在教学中所体现出的差异与他们所使用的教材的特点有着紧密联系（例如见Fan & Kaeley，2000；Krammer，1985）；而对于学生的学习来说，研究者们普遍发现，教师教什么学生就学什么（Fraser，Walberg，Welch，& Hattie，1987；McLeod，& Ki
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lpatrick，1969），而在这一过程中，教材对学生的影响较之教师对他们的影响要来得更为直接（Begle，1973）。
新加坡的数学教材主要由学生课本及其相配套的练习册组成。为了帮助读者对新加坡的数学教材有一个更实际的了解，下面我们介绍课本的一些具体的情况和几页内容样本。这里的课本是由胜利出版集团出版的小学数学课本《思考数学》教材系列和中学数学课本《新大纲D数学》教材系列。
先考察《思考数学》教材系列。目前这套教材中，小学一至三年级的课本（6本）已经通过教育部的审核并投入使用；两册为小学四年级编写的课本正在审核当中；另外，小学五和六年级的课本也正在准备当中。事实上，前面提到的另外几套由私人出版商出版的小学教材的编写工作也大致处在这样一个状态。这主要是因为，新加坡的小学课本的市场化是在2000年才全面开放的。
《思考数学》课本每一册的前言有一个对该课本编写体例结构的简单介绍。根据这一结构，每一章都会使用一个源自日常生活的相关情景作为引子，接着正文是由标题为“你知道吗？”、“让我们学习”、“让我们试一试”、“练习”、“课内活动”和“有趣的数学”等内容组成。此外，编写者还指出，课本力求体现新加坡政府所提倡的国民教育的思想。
图三所给出的三页课文取自《思考数学》教材系列的第一册（1A）。该册供小学一年级第一学期使用。
（（（此处排版时插入图三、小学数学课本的样页）））
与其他许多课本一样，在进入正文之前，《思考数学1A》也为学习者提供了一张内容列表，这可以使学习者对这整个学期的学习内容有一个宏观上的认识。在这本书中，共有包括“20以内的数”、“加法”、“减法”、“20以内的加减法”、“形状”、“模式”、“时间”等九章。每章分若干课节。比如，在“减法”一章中，课本共设置了三个节：编减法故事、大于与小于、加法与减法。在每一个节后，课本一般都会安排一些练习题以供学生巩固知识之用；而在若干节之后，课本还编制了一定量的复习题。如课本前言所指，这些复习题是为帮助学生准备阶段考试而设计的。
新加坡的小学数学教材自前CDIS编写的全国通用课本起就明确强调遵循学习上“具体—图示—抽象”的过程模式。很多教材的编写者都指出他们编写的课本遵循了这一模式（例如胜利出版社的《思考数学》、联邦出版社（现时报出版集团）的《活动的小学数学》和CPDD的《小学数学》）。图三中的课文片段就反映了这一思想。在“课内活动”中，学生被要求借助对筹码的操作进行加法运算（具体阶段）；在“让我们试一试”中，问题提供了一些图片信息以辅助学生进行加法运算（图示阶段）；而“练习5A-2”则要求学生直接对算术表达式进行计算（抽象阶段）。
从这三页课文，我们可以在一定程度上看出，新加坡小学数学课本在形式上较生动活泼，采用了多彩的色调和较多的插图。此外，课文所表达内容的方式也相当贴近学生的日常生活。每个单元的开篇就是一个很好的例子。比如，“20以内的数”单元的第一页就呈现给学生们一张他们相当熟悉的社区场景的图片，其中包括有附有楼号的组屋群、矗立着汽车牌的等车棚、按数字编号的公交汽车、以数字命名的街牌和编了号的停车场地。这样的编排很自然地就能将学生引入一个充满数字的世界，而这个世界正是他们每天所面对的。
新加坡的小学数学课本还很注重学生的主动参与。比如，《思考数学》系列就设计了大量的“课内活动”，其中含有不少的动手题；《活动的小学数学》系列设计了很多的操作题；《小学数学》中有相当数量的题目要求学生和教师在课堂内一起参与讨论。此外，最新系列的小学数学教材（指2000年后由私人出版商开发的教材）还较好地体现了合作学习的思想，如明确要求学生与同桌一起合作或开展小组讨论。相对而言，原有CPDD的《小学数学》系列在这方面就做得比较少。
为贯彻教育部和数学教学大纲中提出的将信息技术结合到各年级学科教学中的精神，新加
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坡最新系列的小学数学教材在这方面做了不少努力。由于现阶段教学大纲在小学未明确引入使用计算器和计算机，故新教材对信息技术的使用主要表现在非计算方面，而试图将其作为一种教学辅助和丰富学生学习的手段结合于教和学中，这也正是新加坡教育部所积极倡导的。例如，《活动的小学数学》系列为配合教学内容，专门为小学一二年级的学生设计了名为《彩虹石》的教学软件，为三四年级和五六年级也分别设计了专门的软件。在该系列教材中，课文经常引导学生使用这些软件进行学习。除了使用这些特殊的软件外，教材也鼓励学生使用计算机进行数学问题解决。比如，在《活动的小学数学1A》第79页上，课文就要求学生借助计算机绘出两种不同的图形。在《思考数学》教材系列中也不乏这样的例子，如在“有趣的数学”部分要求学生应用微软Word和Powerpoint软件作图和制表（见《思考数学2B》，pp.37，82）。
前文有关新加坡数学大纲的介绍曾经提到过“培养学生的数学问题解决能力”是新加坡数学课程的基本目标，这一目标贯穿于中小学的整个数学教学过程。就新加坡小学数学课本是如何体现问题解决教学这一课题，黄銮英在本章第一作者的指导下，做了专门的硕士论文研究（Ng，2002）。在该项研究开始时，新加坡的小学数学教材市场还尚未向私人出版商开放，因此研究用的是当时全国小学生还在广泛使用的由CPDD编写的数学课本—《小学数学》，这套教材在国际上曾得到极佳评价。但黄的研究结果发现，这套教材的作者主要是将问题解决用于对所教数学内容和技巧的应用上，而很少通过问题解决教授学生解题策略。分析还显示，对波利亚的解题四步骤模式，除了第三步“执行计划”外，该套教材较为注重 “理解问题”和“制定计划”这两个步骤的解说，而对于“回顾”这一步却提得很少。该研究也发现这套小学教材对相当数量的问题解决的策略（11个）做了专门的介绍，但也有一些大纲中提到的策略（3个）没有反映在教材中。另外，黄的研究还对教材中的问题类型做了专门的分析。结果发现，几乎所有的问题都是常规性问题而且绝大多数都是单步骤问题。从问题的应用性来讲，多数问题是非应用性问题。所有问题所含的条件信息都不多不少，这在某种程度上也说明课本所提出的问题的常规性。所以说，虽然这套小学数学教材较好地贯彻了问题解决这一宗旨，但也有不少明显需要改进之处。就我们的了解，最新系列的小学数学课本在这方面尤其是贴近生活和更好地体现波利亚解题模式的思想上有不少改进，相信这与最新教学大纲对问题解决的重视及课程开发者对有关问题认识的加深是有关系的。
新加坡的中学数学教材与小学数学教材在编排形式上有着一定差异。最明显的是，小学教材按学期编写，一学期一本，并用A册和B册区分学期的不同；而中学课本则按学年编写，一学年一本。另外，与小学课本相比较，中学生的数学课本没有那么多丰富的色彩和构图，只是使用双色调以强调课文中的某些内容，如章节标题等。
现在让我们考察中学数学教材系列—《新大纲D数学》。该套教材专为特殊/快捷课程学生所设计，共有五册。根据我们所作的一项调查，该套教材为大约70%的新加坡中学使用。
图四所给出的两页课文样本取自《新大纲D数学1》，这一课本是该套教材的第一册，供中学一年级修读特殊/快捷课程的学生使用。
（（（此处排版时插入图四：中学数学课本的样页）））
《新大纲D数学》各册的内容安排基本遵循教学大纲。第一册内容包括“整数”、“因数和倍数”、“数列和问题解决”、“分数和小数”、“实数”、“估计和近似”、“代数初步”、“代数方程”、“简单几何图形的周长与面积”、“体积与表面积”、“比、比率与比例”、“算术问题”、“几何思想与性质初步”、“多边形角的性质”、“相似与全等”、“量纲与地图”和“对称”等各章。
在《新大纲D数学》的每一章中，课本一般会安排若干个课节以逐步展开教学内容。比如，《新大纲D数学1》的第八章“代数方程”就安排了六课节的内容：“一元方程”、“解简单方程”、“公式”、“建立公式”、“代数表达式”和“有关代数的问题解决”。该章在内容结构上的安排在该系列教材中是颇为典型的，即在介绍本章主要内容后，专门安排一节有关问题解决的内容。一般在这些特殊的课节中，课本会对一些特定的问题解决策略作专题介绍。例如，这一节专门介绍的是“使用方程”的策略及用法。另外，该册课本的第三章整个章都是用来介绍问题解决
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的，共包括七种不同的解题策略。注重问题解决教学可以说是该系列教材的主要特色之一。
针对该系列教材如何体现问题解决的思想这一问题，我们曾对这套教材中的前两册，即《新大纲D数学1》和《新大纲D数学2》，做了较全面的研究（参看Fan & Zhu，2000）。分析主要从教材所提供的问题类型和问题解题过程这两个方面入手。结果发现，这两本教材共设有近九千道数学问题，其中课后练习及复习题占到83%以上。在这些问题中，96%的题目是常规题，97%属于传统题型。从非常规题和非传统题在课文部分的分布来看，绝大部分（90%）被编在页边部分（也见图四提供的样页）。可是，根据笔者的另一项研究（Zhu & Fan，2002），教师们在他们日常的教学中并不经常使用这些页边题。数据显示，只有34%的页边题被用到。这从某一意义上表明，非常规题和非传统题在新加坡学生的日常数学学习中可能仅占到极小的一个部分。此外，在为数不多的非传统题中，几乎所有的问题都是谜题，只有四个是设计题和一个要求学生自己提出问题的问题。仅有2%的问题是开放型问题。
当然，这些结果并不意味着新加坡中学数学教材设置的数学题都简单易解而不具备挑战性。研究发现，在这两本新加坡教材中，有近60%的问题是多步骤问题。另外，在问题的表述上，新加坡课本采用了相当丰富多变的形式。
另外，研究也发现在所有的这些数学题中，应用题只占到五分之一强。而且，多数应用题所叙述的问题情景可以说是教材编写者们“编造”出来的，真正取自现实生活的问题不到2%。这两本中学数学教材也提供了一些条件信息过多或是不足的问题，可是这类题目在全书的比例不到1%，似乎给予的注意力还不够。这些可以说是该套教材在编写上还有待改进的方面。
在该项研究中，我们还对书中给出的例题及解答过程做了分析（Fan & Zhu， 2000）。结果发现，多数的例题解答过程只是提供了具体的解题步骤，即波利亚问题解决模式中的第三步：执行计划。与前面提到过黄的研究结果不同的是，这两本中学教材中的例题解在“回顾”这一步上给出了不少的说明。而且，有不少新概念、新定理和新算法正是在对例题及其题解进行回顾时提出来的，这在一定程度上反映了教材的编写者将问题解决作为学生数学学习的一种手段的理念。除了分析一般的问题解决过程以外，这两本数学课本还对14种不同的特定的解题策略做了介绍。但研究也显示，这些特定策略在课本中的分布过于集中。
除了例题以外，习题也是教材编写的一个重要环节。一般来说，在课文的每一章或节后面，教材的编写者都会编排一些练习题，比如，《思考数学》中的“练习”（Practice）和《新大纲D数学》中的“习题”(Exercise)、“杂题”（Miscellaneous Exercise）和“挑战你自己”（Challenge Yourself）等。另外，每本教材都设计有配套的练习册。根据我们的一项关于教师使用教材的情况的问卷调查显示，教师们通常会选用课后的练习题作为学生的作业，同时配套的练习册也是他们布置作业的一个重要来源。
以上介绍的主要是新加坡小学及中学低年级数学教材的情况。而对于中学高年级（即中学三、四或五年级），新加坡教育部并没有专门的教学大纲。该阶段的数学教与学是依照英国剑桥普通教育证书“O”或“N”水准会考大纲而展开的，因此这两个年级的数学教材的编写工作也是围绕会考大纲而进行的。类似地，教育部也没有为初级学院的数学教学制定专门的大纲，该阶段的教学依据主要是英国剑桥普通教育证书“A”水准会考大纲。与中学高年级不同的是，这一阶段的数学学习多数是以教师的大型讲座配合小规模的辅导课而展开的，所使用的教材大多是各学校自行编写或指定的英国出版的用书，没有统一的新加坡本地正式出版的教材。
四、课堂教学情况
根据课程理论，我们可分三类不同的课程，即目标课程（intended curriculum）、实施课程（implemented curriculum）和达成课程（attained curriculum）。在本章的第二及第三节中介绍的教学大纲及教材就是目标课程中的两个十分重要的组成部分。有了良好的目标课程，必须配合以优质的实施课程才可能达到预先设定的教学目标，从而使学生在达成课程中有好的表现。在这一节中，我们将介绍新加坡数学实施课程的情况。其中的资料主要来自国际教育成就调查委员会（ International Association for the Evaluation of Educational Achievement，IEA）在1995年公布的“第三次国际数学与科学研究”（TIMSS：Mullis，Martin，B
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eaton，Gonzalez，Kelly，& Smith，1996；Beaton，Mullis，Martin，Gonzalez，Kelly，& Smith，1997）及1999年的“第三次国际数学与科学研究后续调查”（TIMSS-R：Mullis，et al.，2000）和我们自己于2002年对新加坡八所中学的28名低年级数学教师所做的一项问卷调查研究（Zhu & Fan，2002）。
新加坡中小学标准的班级规模为40名学生。依据教学大纲的规定，新加坡小学四年级数学每周规定的课时是5.5个小时，在TIMSS的调查中，有98%的新加坡四年级学生每周在校接受了5小时或以上的数学教学。由于学习科目的增加，中学的数学授课时间较小学的要减少一些，大纲规定中学低年级的数学课可依据不同的课程流进行2.5至5个小时的教学。从IEA在1995年和1999年公布的调查结果来看，新加坡八年级（即中二）数学授课情况与这一教学建议非常相符。另外，比较两次调查的结果不难发现中学数学授课时间有增加的趋势。
在TIMSS-R中，研究者们对数学教师在课堂上所进行的各项教学活动作了调查。结果发现，在新加坡八年级的数学课上，有6%的授课时间用于课堂管理，13%的时间用于对家庭作业的讲评，28%的时间用于演讲似的授课，20%的时间用于指导学生做练习，9%的时间用于澄清或是重新教授某些概念/过程，12%的时间让学生进行独立练习，8%的时间用于测试和评估，还有其它的一些教学活动占到总授课时间的3%。从学生对教师是如何向他们授课的调查反映，有61%的学生指出他们的老师经常和他们一起讨论家庭作业的情况，97%说他们的老师经常向他们演示如何做数学，75%报告说他们的老师经常让他们自己做练习卷或是教科书上的题目，60%说他们的教师让他们做家庭作业，而只有15%的学生提到他们的老师经常让他们做数学课题。
1995年的研究对教师在数学课上指导学生所进行的各类数学活动作了调查。结果发现，小学数学较中学数学更注重对计算能力的训练，三分之二强的四年级学生经常被要求演练计算技能，而这一比例到了八年级水平则降至为二分之一左右。在数学推理方面，新加坡的中小学数学教师都给予了相当程度的重视。这里所谓的数学证明包括以下这些内容：解释某观念的内在推理过程；使用图表呈现和分析某种关联；对一些无法立即得到很明显的解题方法的题目进行求解；以及列方程以表示某种关联。调查显示有69%的新加坡四年级学生和65%的八年级学生在很多甚至是每堂课上在教师的指导下进行这种数学推理活动。对于家庭作业，同其它许多亚洲国家一样，新加坡的数学教师布置频繁。在被调查的两个年级的新加坡数学教师中，没有一个宣称自己从不向学生布置家庭作业，而且有85%左右的学生每周会布置有三次或是更多次的数学家庭作业。
在授课方式上，IEA的研究显示，新加坡的数学教育较多地采用的还是传统的教学方式，即以书写板为主要的教学工具。在TIMSS-R中，有90%的学生报告说他们的教师通常会使用书写板进行授课，75%的学生说他们的教师还会经常用到投影仪。相对而言，只有11%的学生说他们的教师常常借助计算机进行数学教学。虽然这与新加坡教育部所大力提倡的要加强信息技术在学科教育中的使用还有一定的距离，但比较1995年的研究结果，信息技术在数学教学中的含量已经有了提高。
此外，TIMSS还对数学教师是如何确定授课内容及教学手段做了调查。结果发现，多数的新加坡数学教师在选择教学内容时是将教学大纲作为他们最主要的参考依据的（四年级：82%；八年级：77%），只有五分之一不到的教师以教科书作为他们的选择根据。而在设计教学手段时，即教学内容的表述方式，多数教师主要参考的是教科书中的叙述（四年级：89%；八年级：98%）而并非是教学大纲。
TIMSS的上述这些研究结果为我们在宏观上描述了新加坡数学课堂的教与学的情况，然而由于该研究涉及到的国家有近50个左右，因此对于单个国家的具体情况很难再做更为深入细致的调查。就新加坡的数学课堂教学情况，我们对教师在教学实践中对教科书的使用情况做了一次问卷调查（参看Zhu & Fan，2002）。
该调查的主要研究对象是新加坡中学低年级（即中一和中二）的数学教师，所涉及到的课本就是前文介绍过的《新数学大纲D数学1》和《新数学大纲D数学2》。该研究针对教师使用教材的几个方面设计了专门的问卷，其中包括对课本的一般使用，对课文前言中问题的使用，对课文例题的使用与讲解，对页边问题的使用，对课堂活动题的使用，对课后练习题的使用，以
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及教师如何在课堂上教学问题解决。
研究发现，从总体上说，对于这些受访的新加坡数学教师来说，课本仍是他们进行教学实践的最为重要的参考资源，特别是在布置家庭作业时。其他所用到的参考资源包括练习卷、习题册和信息技术资源，如CD-ROM和网络资源。可以相信，这些资源（特别是信息技术）的使用比重在教师今后的教学会有所增加，但没有理由认为，这些资源将取代课本在教学实践中所起的作用。
另一方面，问卷调查也显示，课本在这些数学教师的教学实践中所起的作用并不像我们预想的那样重要。比如，从教师对课文中所列的例题的使用上看，有一半以上的例题没有被用到，虽然在教师所列举的课内例题中有一半以上是选自教科书。在讲解这些课本上的例题时，多数教师也并不完全按照课本所写的进行授课，而通常会做一些改动。还有不少教师会经常选用一些不同于教材所列的方法进行讲课。又如，在对页边题的使用上，多数教师只是“有时”会用一些这类题，而有三名教师报告说他们从不使用页边上的这些题目。事实上，如前指出，只有约三分之一的页边题被用在了这些数学教师的教学中。
同样的情况也发生在对课堂活动题的使用中。在新加坡的这两本教材中，编写者们共设计了两类不同的课堂活动题：课内活动题和课外活动题。根据我们的分析，这类题目较该教材其它部分的题目更贴近学生的日常生活。然而，相比较而言，这类题目需要学生更多的参与，因此在教学管理和时间的使用上，在课堂上选用这些题目对教师来说是具有相当的挑战性的。问卷调查的结果也显示，教师在他们的教学实践中使用这些课堂活动题的频率不是很高，尤其是那些课外活动题，有近三分之一的教师报告说他们从不使用这类题目。从活动题被选用的比例来看，只有不足三分之一的课内活动题和不足五分之一的课外活动题被使用在受访教师的课堂教学中。
比较教科书中各部分的题目，练习题是教师们使用最频繁和最多的一类题，特别是紧接在每小节后的“习题”（见图四中的Exercise 2F）。调查发现，在教师所布置的家庭作业中，有82%以上的题目是来自课后的“习题”和“杂题”。相比之下，另一组练习题“挑战你自己”被选用的比例就要低得多。我们认为其中的主要原因是这组题目的挑战性较高。另外，分析发现，来自排名最好前50名学校的教师在他们的教学中比起那些来自排名在50名之外的学校的教师会更多地选用这组题目。
除了对教师是如何选用教科书中的各类题目的情况作了调查外，问卷也还考察了教师是如何进行问题解决教学的，因为培养学生的数学问题解决能力是新加坡中小学数学教学的基本目标。结果发现，在这两本教材所介绍的解题策略中，受访的教师只是对其中60%的策略做了讲解。针对这一结果，我们认为，这可能是因为有不少的策略实际上已经在小学阶段的数学学习中出现过。另一方面，问卷也发现除了课本上介绍的那些解题策略外，每个教师大致还会补充二到六个其它解题策略。此外，在问题解决策略的教学方面，新教师（教龄小于四年）的教学较老教师（教龄四年以上）的教学更接近于教材上的描述。从数据来看，新教师在课堂上讲解了课本中四分之三的问题解决策略，而老教师只介绍了书中一半左右的策略，并且两组教师在这方面的教学上在统计上达到显著差异。
从上述的这个问卷调查来看，教科书在新加坡的中学数学教学中是起着相当重要的作用的，虽然与此同时教师的教学实践也显现出一定的灵活性和变通性。另外，调查结果也说明，目标课程和实施课程间存在着明显的差异。
五、启示与思考
考察和比较新加坡课程和数学课程发展和改革的有关经验和做法，给我们有以下几点主要的启示。
第一，新加坡数学课程的改革和发展由它的政治、经济、历史等因素所制约，基本上与这些社会背景因素相适应，并且明确地反映了国家发展的需要和总的教育理念。
就如我们从前述可以看到的，新加坡数学课程的改革和发展先后是新加坡在统一四大语种教育体制、在中小学阶段引入分流制度、提倡思考技能的培养、推动信息技术在学科教学中的
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使用和强调国民教育等国家和社会发展的需要和宏观教育政策理念的结果和体现。新加坡从中学高年级起的数学课程和教学状况则深刻反映了它在传统上是英国殖民地的历史及对其根深蒂固的影响。
我国和新加坡在文化传统、社会价值观念等有不少共同之处，特别是两国的教育宏观上均由中央政府负责和管理，不过我们认为新加坡在教育管理上的中央集权性更强些，这当然与新加坡是单一的城市化国家有关。回顾新加坡的课程发展经验对我们的一个强烈印象就是，对教育和数学教育工作者来说，不可能也不应该就教育论教育和就数学论数学；教育作为国家和社会发展的基础，无论是宏观的大政方针的制订还是具体的数学课程改革，都应该服从于国家发展的需要和总的教育理念。这一点虽然显而易见，但常被人们忽视有时甚至抵触，这尤其是在各个行业和领域越来越专门化和相对独立化的现代社会。记得1980年代中期，我国的中小学课程被尖锐地批评为内容“陈腐、落后”，不能适应国家和社会发展的需要。我们希望新的课程改革能很好地克服这一问题。另一方面，传统上的东西往往有着根深蒂固的影响，因此过份脱离传统和实际的改革当然是很难成功的。
第二，新加坡强调关于学生“思考技能”和“问题解决”能力的培养对中国的数学课程改革和发展有直接的借鉴意义。
一直以来，不少人认为东方国家的学生在数学上擅长于基本运算和解决常规问题，而在解决开放题和创造性方面，就不如西方国家的学生（例如见“ICMI东西方比较研究讨论文件”，《国际数学教育委员会通报》第49期）。虽然新加坡学生在TIMSS研究中数学成绩在各参加国中排名第一，但政府觉得国民的创造性能力还不够。就如前面提到的，针对这一不足，新加坡教育部不仅积极推动“思考课程”的实施，在最新的中小学数学教学大纲中也明确指出培养学生思考技能的重要性，并列出了具体的思考技能。另外，数学大纲还对这些思考技能给出具体的例题说明，使教师在执行时有据可循。比较我国最新版的数学课程标准（中华人民共和国教育部，2001，下称《标准》），其中也强调了对学生思考能力的培养，并且对各学段制定了不同的教学目标。然而，《标准》却没有能再进一步对思考技能给出更为明确的说明，我们觉得这方面有进一步改进的必要和可能，以增强可操作性。
同样地，在我国问题解决的教学中也存在着类似的可进一步改进之处。虽然在《标准》中有提到学生应当通过义务教育阶段的数学学习，“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性”（p.7），然而对于各学段的学生，究竟有哪些策略是他们可以学到的，这些策略的具体表现形式又有哪些，还可进一步明确。我们曾对人教社1990年代出版的中学数学教材做过专题研究，发现该教材对于解题策略的教学采取的是与《标准》同样的风格。分析显示，在对例题求解的过程中，我们的教材实际上是选用了不少的问题解决策略的，而且有些还是新加坡中学数学教材未有提及的。然而，我们的教材却没有对这些策略给出明确的指出，当然更缺少做进一步的说明，限于就题论题。我们认为，对尚处在学习起步阶段的中小学生，根据他们的认知特点，给予他们明确的问题解决策略上的指导比完全让他们通过“熟能生巧”的方法摸索要好。在这一点上，新加坡的做法是值得我们借鉴的。对于问题解决策略的教学，新加坡不仅在教学大纲中有明确的说明并给出具体的例题演示，在教科书中更是有专门的篇幅对这些策略进行解说，并设计专门的习题让学生有机会实践这些策略。当然，究竟哪些问题解决的策略适合中小学各阶段的教学，我们认为这方面需要更进一步的研究，新加坡大纲的分类虽然其研究依据还不够强，仍有参考意义。
第三，信息技术在教育中的作用和影响在新加坡受到高度的重视，已开始全面地、快速地融入数学课程和教学中。
现代信息技术尤其计算机和计算器给数学教学带来了多方面的影响，也给我们带来了创造一个更灵活生动的学习氛围的途径。比如，计算机可以为我们呈现数学知识形成的动态过程，它所取得的效果很多时候是课本和教师的讲解所无法达到的。又如，利用计算机的模拟功能，某些由于客观条件限制原先无法完成的学科活动就可以通过计算机来实现。另外，利用现代计算机的计算速度快及存储大的特点，学习者可以在计算机上对问题的各种可能解进行尝试，从而得出正确的解甚至是推导出更具普遍意义的规律性结论，真正做到对学习的主动参与。因特
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网更是极大地丰富了教学的资源。
应该指出的是，在将信息技术运用于学科教学方面，在1997年前，新加坡还是比较落后的。但是最近几年时间新加坡在这方面的发展速度可谓惊人，例如，新加坡教育部给全国的中小学及其教师配备了必要的硬件设施和网络连通。这当然与他们的国情和国力有密切的关系，更与新加坡政府要保持技术方面的领先地位和竞争力有关。在数学课程方面，以前的教材这方面反映很少，但就如前面提到的，最新的数学教材大力地结合了信息技术在数学教学中的应用。目前在新加坡中小学数学课堂中最常用的数学教学软件，除了教育部有关部门专门设计的外，商业性的软件有“Graph Club”，“Tesselmania”，“Geometer’s Sketchpad”（几何画板），“ Graphmatica”，“Maple”等，这些软件均由英语作为介体。相比之下，我国有必要大力开发以中文作为介体的数学教学软件。目前正在进行的我国数学课程和教材改革为此提供了一个有利的契机，我们希望在将信息技术融入数学课程和教学方面能取得良好的突破。
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