防灾科技学院陈发家孙存波韩亚辉
混凝土是土木工程中重要的材料，其破坏过程是微裂纹萌生、扩展、贯通的过程。扩展有限元法(XFEM)是近年来发展起来［摘要］
的分析断裂问题的一种有效方法。本文介绍了扩展有限元法的基本原理,给出了扩展有限元进行混凝土开裂及裂纹扩展的分析方法，并采用扩展有限元法模拟了混凝土试件开裂扩展过程及破坏形态，数值模拟结果与实验现象相符。研究结果表明：扩展有限元法能有效地模拟混凝土材料断裂破坏过程。
［关键词］
混凝土裂缝扩展有限元数值模拟0.前言
混凝土是典型的非均匀材料，其内部有宏观的缺陷如裂纹、夹渣、气泡、孔穴等。混凝土的强度、变形和破坏性能等都与其内部结构及裂缝的扩展有关。混凝土破坏是由于体系中潜在的各种缺陷引起的，其破坏过程实际上就是微裂纹萌生、扩展、贯通，直到宏观裂纹产生导致
混凝土失稳破裂的过程[1]
。研究混凝土材料的断裂过程及其宏观力学性能有利于认识混凝土断裂破坏机理，为混凝土结构体系的数值仿真分析提供力学依据。国内外学者提出了很多研究混凝土断裂破坏的数值方法，包括流形元法[2]、边界元法[3]、分形几何法[4]、无网格法[5]、有限
元法[6]
等等。这些非连续介质数值计算方法由于其各自的缺陷，
如网格重划分问题，计算效率问题等因素限制了其发展。1999年，美国西北大学以Belytschko教授为代表的研究组提出了一种在常规有限元框架内求解不连续问题的扩展有限元法，该方法在短短的十年内得到广泛的
应用。TedBelytschko等[7]
采用XFEM和水平集模拟了弹塑性介质中的动态裂纹扩展问题，数值模拟和试验结果一致。Moes等[8]利用XFEM进行细观结构的多尺度分析，他们认为，虽然计算中网格不需要与物理表面一致，但仍需要细到足以捕捉这些表面的几何特征。张晓东[9]用扩展有限元法结合虚拟裂缝模型对单向拉伸混凝土板和三点弯曲混凝土梁进行开裂过程模拟，重点考察初始裂纹长度、混凝土断裂对混凝土板和
梁开裂特性的影响。应宗权[10]
等为了简化颗粒增强复合材料的单元划分问题，利用水平集函数来表征夹杂材料的几何界面，从而使得有限元网格的划分无需与材料细观结构的内部边界相协调。
本文首先介绍扩展有限元法的基本原理，给出了扩展有限元进行混凝土开裂及裂纹扩展的分析方法，最后采用扩展有限元模拟了混凝土单轴拉伸的细观断裂破坏过程，展示扩展有限元在混凝土断裂问题研究中的独特优势。
1.扩展有限元基本原理扩展有限元（XFEM）是基于单位分解的思想在常规有限元位移模式中加进一些特殊的函数，即跳跃函数和裂尖渐近位移场，从而反映裂纹的存在。扩展有限单元法将结点位移分为常规位移和加强位移两部分，加强位移是由于裂纹的存在而产生的，采用跳跃函数和渐近裂尖位移函数来模拟。在XFEM中，不连续裂纹面与计算网格是相互独立的，划分单元时不依赖于裂纹的几何界面，在裂纹扩展后也不要重新划分网格，因此能方便地分析不连续力学问题。
1.1单元非连续位移场的建立为实现断裂分析，扩展函数通常包括裂纹尖端附近渐进函数，用于模拟裂纹尖端附近应力奇异性，间断函数用于表示裂纹面处位移跳跃，整体划分特性的位移向量函数为：
u=∑nNé4I(x)êuI+H(x)aI+∑Fα(x)bIα
ùú
(1)I=1ë
α=1û式中，
NI(x)为常用的节点位移形函数；uI为有限元位移求解对应的连续部分；aI，bα
I为节点扩展自由度向量；H(x)为沿裂纹面的间断跳跃函数；Fα(x)为裂纹尖端应力渐进函数。右端第一项可用于模型中所有节点；第二项只对形函数被裂纹内部切开的单元节点有效；第三项对形函数被裂纹尖端切开单元节点有效，裂纹面的间断跳跃函数为：
H(x)={+1if(x-x
∗)⋅n≥0
-1otherwise
(2)式中，x是所考察的点，x*是离x最近的裂纹面上的点，且n是x*
处裂纹的单位外法向矢量。对于各向同性的弹性体，裂纹尖端附加的
改进函数为：
Fα(x)=[rsinθ2,rcosθ2,rsinθsinθ2,rsinθcosθ
2](3)基金项目：本文系防灾科技学院大学生创新创业训练项目。
式中r、
θ为局部裂尖场坐标系统中的极坐标。1.2断裂准则及裂纹扩展方向确定开裂准则采用最大主应力准则，在平面应变状态下，对于I-II复合型裂纹，最大主应力为：
σmax=KI2πrcosθ2-KIIθ2πrsin2+
8πK(4)
I2rsin2θ+2πK2IIr(1-34sin2θ)+K2πIKrIIcosθsinθ式中，
KI、KII为I、II型裂纹的应力强度因子。当σmax达到允许应力σt时，
裂纹失稳扩展。裂纹沿着垂直于最大拉应力方向开展，开裂角θc为：
θæ3K2+Kc=cos-1çIII4+8KI2K2IIöçK2I+9K2÷(5)II
÷式中θèøc方向从前段裂纹延伸线逆时针量起。2.混凝土断裂实例分析将混凝土看作由骨料、砂浆和界面组成的三相复合材料，建立二级配混凝土的细观随机骨料模型，如图1所示，平面尺寸为150mm×150mm。
图1混凝土随机骨料模型图2混凝土细观组分本构行为
混凝土细观各相材料采用如图2所示的本构关系曲线，即细观组分(骨料、砂浆和界面相)在达到各自的峰值应力前，应力-应变关系是线弹性的；当达到峰值应力后，采用线性应力-裂缝宽度关系来表征混凝土材料的软化力学行为。图中，ft为混凝土细观材料的极限拉伸强
度；
Gf为断裂能；W为张开位移，WS为极限张开位移。各细观组分的力学参数如表1所示。对混凝土数值模型施加位移荷载，进行拉伸数值试验，图3为混凝土裂纹扩展过程。
图3混凝土断裂破坏过程
从图3中可以看出，在外荷载作用下，混凝土试件首先在内部薄弱区（即界面区）达到其抗拉强度，产生断裂破坏，随着外荷载增大，内部裂纹向砂浆基质中扩展延伸。由于裂纹在试件中扩展演化，使得混凝土试件整体刚度下降，最终内部宏观裂纹产生直至贯穿整个试件，数值模拟的混凝土断裂破坏过程与实际混凝土单轴拉伸（下转第76页）
科技信息进一步提高数据处理质量和速度，开拓新的应用领域。
2.2创设教学情境，改善教学手段
启发式教学是教师在教学活动中创造条件、启发调动学生学习主动性并开拓学生思维，从而提高教学质量的一种教学方式。在“GPS数据处理”课程的教学中，设置问题情景，采取启发式教学可以取得事半
[7]
功倍的效果。
首先，创设问题情景。将GPS数据处理中的具体问题情景呈现给学生，使他们形成一定的问题表征；在此基础上，通过讲解分析或板书、多媒体等教学手段对问题进行深入的分析和阐释，引导学生使其进一步明确问题。其次，分析引导示范。要把自己对相关问题的解决过程和结果展示给学生，为他们提供发现问题、分析问题和解决问题的示范。最后，指导实践，体验式教学。美国华盛顿图书馆挂着一条标语为“我听见了就忘记了，我看见了就记住了，我做了就理解了”，由此可见学生实践教学的必要性。对于软件操作的教学主要在3S机房进行，以教师讲解演示、学生上机操作的模式，快速帮助学生了解软件功能和数据处理基本过程。例如，教师设置问题情景“恶劣观测环境下进行GPS观测，数据处理时需要注意哪些因素的影响？”，最后结合GPS测量数据，引导学生领会不同高度角、不同采样间隔、不同误差改正模型的选择等因素对基线解算的影响，丰富学生数据处理分析的实战经验。
通过对GPS处理软件应用过程的掌握，使学生意识到：只要掌握了GPS数据处理过程，加以模块实现便可获得GPS定位解，从而消除学生对软件开发的畏惧心理，塑造学生的成就感，最后达到激发学生对软件设计的兴趣的目的。采用高级语言如VC#.NET或数学语言如MAT-LAB，对GPS定位理论和模型进行算法实现。在程序设计和调试过程中提高学生对数学模型、处理流程的掌握程度和编程能力，为学生后续软件二次开发打下良好的基础。该部分内容的强化工作主要以课后作业（如对某一模块采用编程语言实现）、兴趣小组讨论以及参与教师科研项目的方式，培养学生科学的思维方式、激发科学研究的创新意识。
3、培养科研兴趣，激发创新意识
科学研究是一种创造性的活动,通过参与一系列的研究性学习活动,既让学生充满新鲜感，又提高其学习研究兴趣，从而加深对科学概
[8]
念、规律的理解，符合学生的思维认知特征。时的破坏现象相符合。混凝土数值模型在划分单（上接第73页）
元时不需要考虑裂纹的几何界面，在裂纹扩展后也不需要重新划分网格，方便分析混凝土的断裂问题。
表1各细观组分的力学参数材料骨料砂浆界面
弹性模量/GPa
503020
泊松比0.160.220.22
抗拉强度/MPa
5.473.372.0
断裂能N.m-1
26316296
教师要充分利用各种创新训练项目、学科竞赛以及自己的科研项目等活动，为学生营造良好的科研环境，使学生尽早进入专业科研领域，接触和了解本学科前沿知识和发展动态，培养学生敏锐、批判的科研思维，激发学生学习的主动性、积极性和创造性。通过科研实践，不仅可以改善学生的知识结构、提高解决实际问题的能力，还可以培养学生的团队合作精神、交流能力，这种学习效果是课堂教学无法做到的。
4、结论
全球卫星导航定位技术作为测绘新技术，理论深、实践性强，应用领域非常广泛。随着科技的进步、多学科交叉的发展，定位技术也日新月异，GPS定位理论及其应用范围不断更新。为更好地适应国家经济社会发展对测绘专业人才的需求，在制定“GPS数据处理”课程的教学内容与教学目标时，既要强调课程的基础性，又要与时俱进紧跟学科前沿；既要提高学生工程应用中分析问题、解决问题的能力，又要培养学生敏锐性、批判性、创新性的科研思维，激发创新潜能，以满足社会对不同层次人才的需求。
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3.结束语
本文介绍了扩展有限元法的基本原理，给出了扩展有限元进行混凝土开裂及裂纹扩展的分析方法，最后采用扩展有限元模拟了混凝土单轴拉伸的细观断裂破坏过程，计算结果与实验结果对比良好，展示扩展有限元在混凝土断裂问题研究中的独特优势。
参考文献［1］杜效鹄,段云岭,王光纶.混凝土断裂的连续—非连续方法［J］.固体力学学报,2005,26(4):405-411.
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