普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1. Wien 公式

从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且EEvdv，既单位体0积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密是ET，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 振荡；

（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到：

4度

的分辐v 发那

8h31dd该式称为 Planck 辐射定律 exp(h/kT)1C3h为普朗克常数，h=6.626104，普朗克的推导过程：

i(K.rwt)把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为k(r,t)Cke，

34j.s

1,2表示两个互相垂直的偏振方向，Ck为常系数

,d内的自由度数为gd， 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在 ——仅供参考

则（0，v）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为G借助几何方法求出Ggd。

08V38V2，取微分得gdd 333cc令E代表体积为V的空窖内热平衡辐射的总内能，u,Td代表单位体积,频率间隔在,d内的能量，

~~18E于是u,Tdg()d，代表频率为的振子的平均能量，gdg32d代

VV0c0表单位体积内频率间隔在,d内的振动自由度数。

应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT与振子的频率无关，代入uv,Tdgd可以得到

~8kT2d，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。 3c~18普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，gdg32d依旧认为他正确，但是能量均分定理不Vcuv,Td适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck 假定：黑体只能以 E =

hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即nnh，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即an()eennnn代表频率为v对的振子处于能级nv的平均数，于是振子的平均能量为ennennnenn， 即lnZ 其中Zen0n代表频率为v的振子的配分函数，可以得到Zenhn01。 1ehhlnZhe1~hehkT由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能量均分定理不成立。

1d得到： 把上式代入uv,Tdg8h3duv,Td3h/kT这就是普朗克辐射公式。

ce1 ——仅供参考

此

时

辐射场

4的内能为

8Eu,Td3cn0h3d8kT,令xhv/kT得E3h/kT1ch3n0ex385k4,5，4对 Planck 辐射定dxaT,其中ax3315hcn0e18h31律的讨论：dd exp(h/kT)1C3（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是

Planck 定律 化为 Wien 公

式。

8h3dC31exp(h/kT)1d变为8h3dC3exp(h/kT)d 2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)，变为 Rayleigh-Jeans 公式。 3）

——仅供参考

则 Planck 定律