四川省成都市中考数学试卷

2020年四川省成都市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡

1．（3分）（2020•成都）比3大5的数是( ) A．15

B．8

C．2

D．8

2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是( )

A． B．

C． D．

3．（3分）（2020•成都）2020年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为( )

A．5500104 B．55106 C．5.5107 D．5.5108

4．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点(2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为( ) A．(2,3)

B．(6,3)

C．(2,7)

D．(2．1)

5．（3分）（2020•成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130，则2的度数为( )

A．10

B．15

C．20

D．30

6．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是( ) A．5ab3a2b

B．(3a2b)26a4b2

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C．(a1)2a21

7．（3分）（2020•成都）分式方程A．x1

D．2a2bb2a2

x521的解为( ) x1xB．x1 C．x2 D．x2

8．（3分）（2020•成都）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是( ) A．42件

B．45件

C．46件

D．50件

9．（3分）（2020•成都）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点D重命），则CPD的度数为( )

A．30

B．36

C．60

D．72

10．（3分）（2020•成都）如图，二次函数yax2bxc的图象经过点A(1,0)，B(5,0)，下列说法正确的是( )

A．c0 C．abc0

B．b24ac0

D．图象的对称轴是直线x3

二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）（2020•成都）若m1与2互为相反数，则m的值为 ．

ABAC，BADCAE，12．（4分）（2020•成都）如图，在ABC中，点D，E都在边BC上，

若BD9，则CE的长为 ．

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13．（4分）（2020•成都）已知一次函数y(k3)x1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．

14．（4分）（2020•成都）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M；③以点M为圆心，以MN长为半径作弧，在COB内部交前面的弧于点N；④过点N作射线ON交BC于点E．若AB8，则线段OE的长为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 15．（12分）（2020•成都）（1）计算：(2)02cos3016|13|． 3x24x5,①（2）解不等式组：5x2 11x②424x22x116．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：(1，其中x21． )x32x617．（8分）（2020•成都）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

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根据图中信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

18．（8分）（2020•成都）2020年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35，底部D的俯角为45，如果A处离地面的高度AB20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70)

19．（10分）（2020•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y的图象相交于点A，反比例函数y（1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y求ABO的面积．

1k连接OB，x5的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，

2xk

的图象经过点A． x

1x5和y2x2第4页 共31页

20．（10分）（2020•成都）如图，AB为O的直径，C，D为圆上的两点，OC//BD，弦

AD，BC相交于点E．

（1）求证：ACCD；

（2）若CE1，EB3，求O的半径；

（3）在（2）的条件下，过点C作O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ//CB交O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．

一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2020•成都）估算：37.7 （结果精确到1)

22．（4分）（2020•成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x22xk10的两个实数

2x1x213，则k的值为 ． 根，且x12x223．（4分）（2020•成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为则盒子中原有的白球的个数为

24．（4分）（2020•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将ABD沿射

BC，线BD的方向平移得到△ABD，分别连接AC，则ACBC的最小值为 ． AD，

5，7第5页 共31页

25．（4分）（2020•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为(5,0)，点B在x轴的上方，OAB的面积为内部（不含边界）的整点的个数为 ．

15，则OAB2

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．（8分）（2020•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x(x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的关系式；

（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p11x22来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

27．（10分）（2020•成都）如图1，在ABC中，ABAC20，tanB3，点D为BC边4C重合）上的动点（点D不与点B，．以D为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，

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过点A作AFAD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：ABD∽DCE；

（2）当DE//AB时（如图2)，求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

28．（12分）（2020•成都）如图，抛物线yax2bxc经过点A(2,5)，与x轴相交于B(1,0)，C(3,0)两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到△BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；

（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

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2020年四川省成都市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡 1．（3分）比3大5的数是( ) A．15

B．8

C．2

D．8

【考点】19：有理数的加法

【分析】比3大5的数是35，根据有理数的加法法则即可求解． 【解答】解：352． 故选：C．

2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是( )

A． B．

C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：

故选：B．

3．（3分）2020年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为( ) A．5500104

B．55106

C．5.5107

D．5.5108

【考点】1I：科学记数法表示较大的数 【分析】根据科学记数法的表示形式即可

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【解答】解：

科学记数法表示：5500万550000005.5107 故选：C．

4．（3分）在平面直角坐标系中，将点(2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为( )

A．(2,3) B．(6,3) C．(2,7) D．(2．1)

【考点】Q3：坐标与图形变化平移

【分析】把点(2,3)的横坐标减去2，纵坐标不变得到点(2,3)平移后的对应点的坐标． 【解答】解：点(2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为(2,3)． 故选：A．

5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130，则2的度数为( )

A．10

B．15

C．20

D．30

【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形

【分析】根据平行线的性质，即可得出1ADC30，再根据等腰直角三角形ADE中，

ADE45，即可得到1453015．

【解答】解：AB//CD，

1ADC30，

又等腰直角三角形ADE中，ADE45，

1453015，

故选：B．

6．（3分）下列计算正确的是( ) A．5ab3a2b

B．(3a2b)26a4b2

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C．(a1)2a21 【考点】4I：整式的混合运算

D．2a2bb2a2

【分析】注意到A选项中，5ab与3b不属于同类项，不能合并；B选项为积的乘方，C选项为完全平方公式，D选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可． 【解答】解：

A选项，5ab与3b不属于同类项，不能合并，选项错误， B选项，积的乘方(3a2b)2(3)2a4b29a4b2，选项错误，

C选项，完全平方公式(a1)2a22a1，选项错误

D选项，单项式除法，计算正确

故选：D． 7．（3分）分式方程A．x1

x521的解为( ) x1xB．x1 C．x2 D．x2

【考点】B3：解分式方程

【分析】先把整式方程化为分式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可． 【解答】解：方程两边同时乘以x(x1)得，x(x5)2(x1)x(x1)， 解得x1，

把x1代入原方程的分母均不为0， 故x1是原方程的解． 故选：A．

8．（3分）某校开展了主题为“青春梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是( ) A．42件

【考点】W4：中位数

【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50， 中位数为46，

B．45件 C．46件 D．50件

故选：C．

9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点D重命），

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则CPD的度数为( )

A．30

B．36

C．60

D．72

【考点】MM：正多边形和圆；M5：圆周角定理

【分析】连接OC，OD．求出COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接OC，OD．

ABCDE是正五边形，

COD36072， 51CPDCOD36，

2故选：B．

10．（3分）如图，二次函数yax2bxc的图象经过点A(1,0)，B(5,0)，下列说法正确的是( )

A．c0 C．abc0

B．b24ac0

D．图象的对称轴是直线x3

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征

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【分析】二次函数yax2bxc(a0)

①常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于(0,c)． ②抛物线与x轴交点个数．

△b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；△b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；△b24ac0时，抛物线与x轴没有交点．

【解答】解：A．由于二次函数yax2bxc的图象与y轴交于正半轴，所以c0，故A错误；

B．二次函数yax2bxc的图象与x轴由2个交点，所以b24ac0，故B错误；

C．当x1时，y0，即abc0，故C错误；

D．因为A(1,0)，B(5,0)，所以对称轴为直线x故选：D．

153，故D正确． 2二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）若m1与2互为相反数，则m的值为 1 ． 【考点】14：相反数；86：解一元一次方程

【分析】根据“m1与2互为相反数”，得到关于m的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：根据题意得：

m120，

解得：m1， 故答案为：1．

ABAC，BADCAE，12．（4分）如图，在ABC中，点D，若BD9，E都在边BC上，

则CE的长为 9 ．

【考点】KH：等腰三角形的性质

【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得BADCAE后即可求得CE的长． 【解答】解：

BC，

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ABAC，

在BAD和CAE中， BADCAE， ABACBCBADCAE， BDCE9，

故答案为：9．

13．（4分）已知一次函数y(k3)x1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是

k3 ．

【考点】F7：一次函数图象与系数的关系

【分析】根据ykxb，k0，b0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k30即可求解；

【解答】解：y(k3)x1的图象经过第一、二、四象限，

k30， k3；

故答案为k3；

14．（4分）如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M；③以点M为圆心，以MN长为半径作弧，在COB内部交前面的弧于点N；④过点N作射线ON交BC于点E．若AB8，则线段OE的长为 4 ．

【考点】L5：平行四边形的性质；N3：作图复杂作图

【分析】利用作法得到COEOAB，则OE//AB，利用平行四边形的性质判断OE为

ABC的中位线，从而得到OE的长．

【解答】解：由作法得COEOAB，

OE//AB，

四边形ABCD为平行四边形，

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OCOA， CEBE，

OE为ABC的中位线，

OE11AB84． 22故答案为4．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 15．（12分）（1）计算：(2)02cos3016|13|． 3x24x5,①（2）解不等式组：5x2 11x②42【考点】T5：特殊角的三角函数值；CB：解一元一次不等式组；6E：零指数幂；2C：实数的运算

【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：（1）原式1213431，

3431， 24．

3x24x5,①（2）5x2 11x②42由①得，x1， 由②得，x2，

所以，不等式组的解集是1x2．

4x22x116．（6分）先化简，再求值：(1，其中x21． )x32x6【考点】6D：分式的化简求值

(x1)2x22x14【分析】可先对1进行通分，可化为，再利用除法法则进行计算即

2(x3)x32x6可

【解答】解：

第14页 共31页

原式(x342(x3)) x3x3(x1)2x12(x3) x3(x1)22 x1将x21代入原式22112 17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图

【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；

（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：1820%90， 在线听课的人数为：9024181236， 补全的条形统计图如右图所示；

（2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48；

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1248， 90

（3）210024560（人)， 90答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．

18．（8分）2020年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35，底部D的俯角为45，如果A处离地面的高度AB20米，求起点拱门

CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70)

【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题

【分析】作CEAB于E，根据矩形的性质得到CEAB20，CDBE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可． 【解答】解：作CEAB于E， 则四边形CDBE为矩形，

CEAB20，CDBE，

在RtADB中，ADB45，

ABDB20，

在RtACE中，tanACEAE， CEAECEtanACE200.7014，

第16页 共31页

CDBEABAE6，

答：起点拱门CD的高度约为6米．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y点A，反比例函数y

k

的图象经过点A． x

1x5和y2x的图象相交于2（1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数y求ABO的面积．

1k连接OB，x5的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，

2x

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．

1yx5x2【解答】解：（1）由得， 2y4y2xA(2,4)，

反比例函数y

k

的图象经过点A， x

k248，

第17页 共31页

反比例函数的表达式是y8； x8yx2x8x（2）解得或，

y4y11yx52B(8,1)，

由直线AB的解析式为y1x5得到直线与x轴的交点为(10,0)， 211SAOB10410115．

2220．（10分）如图，AB为O的直径，C，D为圆上的两点，OC//BD，弦AD，BC相交于点E．

（1）求证：ACCD；

（2）若CE1，EB3，求O的半径；

（3）在（2）的条件下，过点C作O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ//CB交O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．

【考点】MC：切线的性质

【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得OBCCBD，即可证ACCD； （2）通过证明ACE∽BCA，可得即可求O的半径；

（3）过点O作OHFQ于点H，连接OQ，通过证明APC∽CPB，可得25PAPCAC21，即可求PO的长，通过证明PHO∽BCA， ，可求PA3PCPBBC42ACCB，可得AC2，由勾股定理可求AB的长，CEAC可求PH，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求PQ的长． 【解答】证明：（1）OCOB

OBCOCB

第18页 共31页

OC//BD OCBCBD OBCCBD

ACCD

（2）连接AC，

CE1，EB3， BC4

ACCD

CADABC，且ACBACB ACE∽BCA



ACCB CEACAC2CBCE41

AC2，

AB是直径

ACB90

ABAC2BC225 O的半径为5

（3）如图，过点O作OHFQ于点H，连接OQ，

第19页 共31页

PC是

O切线，

PCO90，且ACB90

PCABCOCBO，且CPBCPA APC∽CPB



PAPCAC21 PCPBBC42PC2PA，PC2PAPB

4PA2PA(PA25) PAPO25 355 3PQ//BC

CBABPQ，且PHOACB90

PHO∽BCA



ACBCAB OHPHPO即

24256 OHPH5553105PH，OH

33HQOQ2OH2PQPHHQ25 31025 3一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）估算：37.7 6 （结果精确到1) 【考点】22：算术平方根；1H：近似数和有效数字

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【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：

3637.749，

637.77， 37.76．

故答案为：6

22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x22xk10的两个实数根，且

2x12x2x1x213，则k的值为 2 ．

【考点】AB：根与系数的关系

【分析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x22xk10的两个实数根，且

2x12x2x1x213”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．

【解答】解：根据题意得：x1x22，x1x2k1，

x12x22x1x2 (x1x2)23x1x2

43(k1)

13， k2，

故答案为：2．

23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为原有的白球的个数为 20 【考点】X4：概率公式

【分析】设盒子中原有的白球的个数为x个，根据题意列出分式方程，解此分式方程即可求得答案．

【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为x个， 根据题意得：

x55，

10x575，则盒子中7解得：x20，

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经检验：x20是原分式方程的解； 盒子中原有的白球的个数为20个．

故答案为：20；

24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将ABD沿射线BD的方向平移得到△ABD，分别连接AC，AD，BC，则ACBC的最小值为 3 ．

【考点】PA：轴对称最短路线问题；KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；Q2：平移的性质

【分析】根据菱形的性质得到AB1，ABD30，根据平移的性质得到ABAB1，

ABD30，当BCAB时，ACBC的值最小，推出四边形ABCD是矩形，BAC30，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，

AB1，ABD30，

将ABD沿射线BD的方向平移得到△ABD，

ABAB1，ABD30，

当BCAB时，ACBC的值最小，

AB//AB，ABAB，ABCD，AB//CD， ABCD，AB//CD，

四边形ABCD是矩形，

BAC30，

BC323，AC， 33ACBC的最小值为3，

故答案为：3．

25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为(5,0)，点B在x轴的上方，OAB的面积为

15，则OAB内部（不含边2第22页 共31页

界）的整点的个数为 4或5或6 ．

【考点】K3：三角形的面积；D5：坐标与图形性质

【分析】根据面积求出B点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况；

【解答】解：设B(m,n)， 点A的坐标为(5,0)，

OA5， OAB的面积n3，

1155n， 22结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例） 当2m3时，有6个整数点； 当3m9时，有5个整数点； 2当m3时，有4个整数点； 可知有6个或5个或4个整数点； 故答案为4或5或6；

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．（8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x(x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p11x22来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

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【考点】HE：二次函数的应用

【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可； （2）设销售收入为w万元，根据销售收入销售单价销售数量和p的函数关系式，再根据函数性质求得结果．

【解答】解：（1）设函数的解析式为：ykxb(k0)，由图象可得， kb7000， 5kb5000k500解得，，

b7500y与x之间的关系式：y500x7500；

11列出w与xx，

22（2）设销售收入为w万元，根据题意得， 11wyp(500x7500)(x)，

22即w250(x7)216000， 当x7时，w有最大值为16000，

此时y500775004000（元)

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元． 27．（10分）如图1，在ABC中，ABAC20，tanB3，点D为BC边上的动点（点D4不与点B，C重合）．以D为顶点作ADEB，射线DE交AC边于点E，过点A作

AFAD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：ABD∽DCE；

（2）当DE//AB时（如图2)，求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，求出此

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时BD的长；若不存在，请说明理由．

【考点】SO：相似形综合题

【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

AB220225ABDB（2）解直角三角形求出BC，由ABD∽CBA，推出，可得DB，CBABCB322AEBD由DE//AB，推出，求出AE即可． ACBC（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF．作FHBC于H，

AMBC于M，ANFH于N．则NHMAMHANH90，由AFN∽ADM，

可得

ANAF333，推出ANAM129，推出tanADFtanBAMAD444CHCMMHCMAN1697，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．

【解答】（1）证明：

BACB，

ABAC，

ADECDEBBAD，ADEB， BADCDE， BAD∽DCE．

（2）解：如图2中，作AMBC于M．

在RtABM中，设BM4k，则AMBMtanB4k由勾股定理，得到AB2AM2BM2，

33k， 4202(3k)2(4k)2，

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k4或4（舍弃）， ABAC，AMBC， BC2BM24k32， DE//AB，

BADADE，

ADEB，BACB，

BADACB， ABDCBA， ABD∽CBA，



ABCBDBAB， DBAB220225CB322，

DE//AB，



AEBDACBC， AEACBD20252125BC3216． （3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF． 理由：作FHBC于H，AMBC于M，ANFHNHMAMHANH90，

四边形AMHN为矩形，

MAN90，MHAN， ABAC，AMBC，

BMCM12BC123216， 在RtABM中，由勾股定理，得AMAB2BM220216212，

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于N．则

ANFH，AMBC， ANF90AMD， DAF90MAN， NAFMAD， AFN∽ADM，



ANAF3tanADFtanB， AMAD433AM129， 44ANCHCMMHCMAN1697，

当DFCF时，由点D不与点C重合，可知DFC为等腰三角形，

FHDC， CD2CH14，

BDBCCD321418，

点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DFCF，此时BD18．

28．（12分）如图，抛物线yax2bxc经过点A(2,5)，与x轴相交于B(1,0)，C(3,0)两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到△BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；

（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．

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【考点】HF：二次函数综合题

【分析】（1）根据待定系数法，把点A(2,5)，B(1,0)，C(3,0)的坐标代入yax2bxc得到方程组求解即可；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1,0)，BH2，由翻折得

CBCB4，求出CH的长，可得CBH60，求出DH的长，则D坐标可求；

（3）由题意可知△CCB为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，CP．证出BCQ△CCP，可得BP垂直平分CC，则D点在直线BP上，可求出直线BP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．

4a2bc5,【解答】解：（1）由题意得：abc0

9a3bc0,a1解得b2，

c3抛物线的函数表达式为yx22x3．

（2）抛物线与x轴交于B(1,0)，C(3,0)，

BC4，抛物线的对称轴为直线x1，

如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为(1,0)，BH2， 由翻折得CBCB4，

在RtBHC中，由勾股定理，得CHCB2BH2422223，

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点C的坐标为(1，23)，tanCBHCBH60，

CH233， BH21由翻折得DBHCBH30，

2在RtBHD中，DHBHtanDBH2tan30点D的坐标为(1,23)． 323， 3（3）取（2）中的点C，D，连接CC，

BCBC，CBC60，

△CCB为等边三角形．分类讨论如下：

①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，CP． PCQ，△CCB为等边三角形，

CQCP，BCCC，PCQCCB60，BCQCCP，

BCQ△CCP(SAS)， BQCP．

点Q在抛物线的对称轴上， BQCQ， CPCQCP，

又BCBC，

BP垂直平分CC，

由翻折可知BD垂直平分CC， 点D在直线BP上，

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设直线BP的函数表达式为ykxb，

0kbk则23，解得kbb333， 3333x． 33直线BP的函数表达式为y②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方． PCQ，△CCB为等边三角形，

CPCQ，BCCC，CCBQCPCCB60．BCPCCQ，

BCP△CCQ(SAS)，

CBPCCQ，

BCCC，CHBC，

1CCQCCB30．

2CBP30，

设BP与y轴相交于点E，

在RtBOE中，OEOBtanCBPOBtan301点E的坐标为(0,3)． 333， 33设直线BP的函数表达式为ymxn，

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0mnm则3，解得nn333， 3333x． 333333xx或y． 3333直线BP的函数表达式为y综上所述，直线BP的函数表达式为y

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