二次分式函数值域的求法

甘肃 王新宏

一 定义域为R的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x的二次方程

2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域

2x2x2例 1：求y =2的值域

xx2解：∵x2+x+2>0恒成立

2x2x2由y =2得，

xx2（y -2）x2+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R ②当y-2≠0时，即y≠2时, ∵xR

∴方程（y -2）x2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2-(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y2-18y+15≤0 ∴1≤y≤5 ∴函数值域为1,5 练习1：求y =

3x的值域 2x433, 44二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等

式”来做。

先来学习“√”函数。

形如y =x+ (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像

kxy 2kk0 x

单调性：在x∈0,k时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。 值域：2k,

解题步骤：①令分母为t,求出t的范围 ②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2 求y =（x3）的值域

2x12解 令2x-1=t,得

t1 2t111∴y=2

2t22t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。

2t1∴y2

20∴值域为：2,

(sinx)23cosx47练习2 求y=的值域 1,

cosx2312三 分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=

axb(ac0) 2cxdxe解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数 ②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数 ③根据复和函数的单调性得出原函数值域 例3 y =

x1 x1, 2x3x3解令x+1=t,得 t0,且x=t-1 ∴y=

1t= 21tt11tt∵1+t+3 (t=1时取“=”) ∴y且y>0 ∴值域为0,

3练习3:求y =

x10, 的值域 ？ 2x1211t13四 分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x26x12(x22x2)2x12x1例如： y=2==2+ 2x2x2x22x2x2x2注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。