2020—2021学年度上学期九年级数学期末测试试题
一、单鞋选择题（每小题3分，满分30分） 1．下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．已知关于x的方程2x2﹣9x+n=0的一个根是2，则n的值是（ ） A．n=2 B．n=10 C．n=﹣10 D．n=10或n=2
3．在一个不透明的口袋中有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装有4个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有球的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．9个 D．12个
4．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．0.3米 D．0.9米
5．如图，两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分的面积为（ ）
A．sinα B． C． D．
6．如图所示，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B坐标为（10，8），点D是OC上一动点，将矩形OABC沿直线BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，3） D．（3，0）
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7．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣ B．k≥﹣
C．k＜﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
8．用配方法解方程：x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（ ） A．
B．
C．
D．
9．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（ ）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是AC的中点，过点P的直线L截下的三角形与△ABC相似，这样的直线L的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，满分30分） 11．函数
的自变量的取值范围是 ．
12．已知，则= ．
13．在△ABC中，D、E是AB上的点，且AD=DE=EB，DF∥EG∥BC，则△ABC被分成的三部分的面积比S△ADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG等于 ．
14．直角△ABC中，斜边AB=5，直角边BC、AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，则m的值为 ． 15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x
+6x+8=0的解为 ．
16．已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为0和﹣3，则p= ．q= ． 17．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+
=0，则△ABC的形状为 ．
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18．现有五张外观一样的卡片，背面朝上，正面分别由一个二次根式：，，，，，从中任取一张卡片，再从剩下的卡片中又抽取一张，则两次所取卡片上的二次根式是同类二次根式的概率是 ．
19．如图，表示△AOB为O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2），B（3，0），D（4，0），则点C坐标为 ．
20．如图，正三角形△A1B1C1的边长为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形△A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形△A3B3C3，…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形△A10B10C10的面积是 ．
三、解答下列各题 21．解方程： （1）（x﹣5）2=2（x﹣5） （2）2x（x﹣1）=3x+1．
22．计算 （1）（（2）|﹣|﹣
﹣）+
+（π﹣4）0﹣sin30°．
23．完全相同的四张卡片，上面分别标有数字1，2，﹣1，﹣2，将其背面朝上，从中任意抽出两张（不放回），把第一张的数字记为a，第二张的数字记为b，以a、b分别作为一个点的横坐标与纵坐标；求点（a，b）在第四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
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24．先阅读理解下列例题，再按例题解一元二次不等式． 例：解二元一次不等式6x2﹣x﹣2＞0
解：把6x2﹣x﹣2分解因式，得6x2﹣x﹣2=（3x﹣2）（2x+1） 又6x2﹣x﹣2＞0，所以（3x﹣2）（2x+1）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）
或（2）
解不等式组（1）得x＞；解不等式组（2）得x＜﹣，所以6x2﹣x﹣2＞0 的解集为x＞或x＜﹣， 求一元二次不等式2x2﹣14x﹣16＜0的解集．
25．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，求AB边上的中线长．
26．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．
①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？
②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积．
27．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？
28．如图，在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD于点E，交AD于点F，连接BF． （1）试找出图中与△DEC相似的三角形，并选一个进行证明． （2）当点F是AD的中点时，求BC边的长及sin∠FBD的值．
29．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
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30．如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，A（0，6），C（8，0），动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形AOQP的面积为S． （1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，能否使以C、P、Q为顶点的三角形与A、O、C为顶点的三角形相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
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四川省巴中市南江县2016届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单鞋选择题（每小题3分，满分30分） 1．下列计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、•==，故本选项正确； C、=2，故本选项错误； D、
=3，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
2．已知关于x的方程2x2﹣9x+n=0的一个根是2，则n的值是（ ） A．n=2 B．n=10 C．n=﹣10 D．n=10或n=2 【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=2代入已知方程，列出关于n的新方程，通过解新方程即可求得n的值． 【解答】解：根据题意，得 2×22﹣2×9+n=0， 解得，n=10； 故选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．在一个不透明的口袋中有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装有4个黄球，且摸出黄球的概率为，那么袋中共有球的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．9个 D．12个 【考点】概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中共有球数为x，根据概率的公式列出方程：=， 解得：x=12． 故选D．
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【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）
A．0.5米
C．0.3米 D．0.9米
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
【解答】解：如图： ∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF， ∴AD：DE=AB：EF， ∴0.6：1=0.3：EF， ∴EF=0.5（米）．
∴捣头点E上升了0.5米． 故选A．
B．0.6米
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比得出比例式是解决问题的关键．
5．如图，两条宽为1的带子，相交成α角，那么重叠部分的面积即阴影部分的面积为（ ）
A．sinα B． C． D．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形为ABCD，由已知得∠ABE=α，重叠部分的面积即阴影部分的面积，过A作AE⊥BC于E，由三角函数求出AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出结果．
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【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形， 设菱形为ABCD，则∠ABE=α， 过A作AE⊥BC于E，则AE=1， ∴BC=AB=
，
．
∴重叠部分的面积即阴影部分的面积=BC•AE=故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，三角函数，菱形的面积公式等知识点；把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
6．如图所示，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B坐标为（10，8），点D是OC上一动点，将矩形OABC沿直线BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（0，5） C．（0，3） D．（3，0） 【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【分析】先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DCE中，由DE=CD及勾股定理可求出CD的长，再求得OD，进而得出D点坐标． 【解答】解：∵折痕BD是四边形DEBC的对称轴， ∴在Rt△ABE中，BE=BC=10，AB=8，AE=∴0E=4，
在Rt△DOE中，DO2+OE2=DE2， ∵DE=CD，
∴（8﹣CD）2+42=CD2， ∴CD=5，
则OD=OC﹣CD=8﹣5=3， ∴D（0，3）． 故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
7．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
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==6，
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】因为方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零，由此得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围． 【解答】解：∵△=b2﹣4ac =（2k+1）2﹣4k2≥0， 解得k≥﹣， 且二次项系数k≠0， ∴k≥﹣且k≠0．
故选D．
【点评】根据一元二次方程的根的判别式来确定k的取值范围，还要注意二次项系数不为零．
8．用配方法解方程：x2+x﹣1=0，配方后所得方程是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】解一元二次方程-配方法． 【专题】配方法．
【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵x2+x﹣1=0 ∴x2+x=1 ∴x2+x+=1+ ∴（x+）2=
故选C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（ ）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10% 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降低的百分率为x，则降低一次后的成本为100（1﹣x）元，降低两次后的成本为100（1﹣x）2元，而此时成本又是81元，根据这个等量关系列出方程． 【解答】解：设平均每次降低的百分率为x， 根据题意，得 100（1﹣x）2=81
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解得：x=0.1，x=1.9（舍去）． 故选D．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．掌握求增长率的等量关系：增长后的量=（1+增长率）增长的次数
×增长前的量．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是AC的中点，过点P的直线L截下的三角形与△ABC相似，这样的直线L的条数是（ ）
A．1
D．4
【考点】相似三角形的判定． 【分析】由于△ABC是直角三角形，所以必须保证直线L与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件； ①当L∥AB时，可得三角形相似； ②当L∥AC时，亦可得三角形相似； ③当L⊥BC时，三角形也相似， 故满足题中的直线L共有3条． 故选：C．
B．2 C．3
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分30分） 11．函数
的自变量的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故答案为x≥1且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
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（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．已知
，则
=
．
【考点】比例的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换． 【解答】解：设a=5k，b=2k，则
=；故填．
【点评】注意解法的灵活性．方法一是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
13．在△ABC中，D、E是AB上的点，且AD=DE=EB，DF∥EG∥BC，则△ABC被分成的三部分的面积比S△ADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG等于 1：3：5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
【分析】由题可知△ADF∽△AEG∽△ABC，因而得到相似比，从而推出面积比． 【解答】解：∵DF∥EG∥BC ∴△ADF∽△AEG∽△ABC ∵AD=DE=EB
∴得到三角形的相似比是1：2：3，因而面积的比是1：4：9
设△ADF的面积是x，则△AEG，△ABC的面积分别是4x，9x，则S四边形DEGF=3x，S四边形EBCG=5x ∴S△ADF：S四边形DEGF：S四边形EBCG=1：3：5．
【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方．
14．直角△ABC中，斜边AB=5，直角边BC、AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，则m的值为 4 ． 【考点】一元二次方程的应用．
【分析】先利用勾股定理表示出方程两根之间的数量关系，即两根的平方和是25，再根据根与系数的关系把有关字母的系数代入其中得到关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【解答】解：如图．设BC=a，AC=b． 根据题意得a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1）． 由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=4m2﹣12m+9=25， ∴4m2﹣12m﹣16=0， 即m2﹣3m﹣4=0， 解得m1=﹣1，m2=4．
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∵a+b=2m﹣1＞0， 即m＞， ∴m=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，要注意的是三角形的边长都是正数，所以最后要把解得的根代入到实际问题的条件中检验，将不合题意的解舍去．
15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x
+6x+8=0的解为 x1=4，x2=﹣1 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的定义． 【专题】计算题．
【分析】根据已知得出k2+1=2，k﹣1≠0，求出k，得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵方程是一元二次方程， ∴k2+1=2，k﹣1≠0， 解得：k=﹣1，
∴方程为：﹣2x2+6x+8=0， 即x2﹣3x﹣4=0， （x﹣4）（x+1）=0， ∴x﹣4=0，x+1=0， 解得：x1=4，x2=﹣1，
故答案为：x1=4，x2=﹣1．
【点评】本题主要考查对解一元二次方程，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，能求出k的值是解此题的关键．
16．已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为0和﹣3，则p= ﹣3 ．q= 0 ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系（x1+x2=﹣，x1•x2=）解答． 【解答】解：设关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根为x1、x2．则 x1+x2=﹣3=p，即p=﹣3； x1•x2=0=q，即q=0； 故答案是：﹣3、0．
【点评】本题考查了根与系数的关系．解答此题需要牢记根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．
17．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+
=0，则△ABC的形状为 直角三角形 ．
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【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状． 【解答】解：∵（2sinA﹣1）2+∴2sinA﹣1=0，cosB﹣=0， ∴sinA=，∠A=30°； cosB=，∠B=60°．
∴∠C=90°．
∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值；（2）非负数的性质；（3）三角形的内角和定理．
18．现有五张外观一样的卡片，背面朝上，正面分别由一个二次根式：，，，，，从中任取一张卡片，再从剩下的卡片中又抽取一张，则两次所取卡片上的二次根式是同类二次根式的概率是
．
=0，
【考点】列表法与树状图法；同类二次根式． 【分析】首先化简给出的二次根式，设，分别为红1，红2，，分别为黄1，黄2，为黄3，通过列表即可求出两次所取卡片上的二次根式是同类二次根式的概率． 【解答】解：
=2，=5，=3， ∵
∴，5是同类二次根式；2，3是同类二次根式， 设，分别为红1，红2，，分别为黄1，黄2，为黄3，列表为： 红1 红2 黄1 黄2 黄3
红1 红1红2 红1黄1 红1黄1 红1黄3
红2 红1红2 红2黄1 红2黄1 红2黄3
黄1 红1黄1 红2黄1 黄1黄2 黄1黄3
黄2 红1黄2 红2黄2 黄1黄2 黄2黄3
黄3 红1黄3 红2黄3 黄1黄3 黄2黄3
∵共20种等可能的情况，两次所取卡片上的二次根式是同类二次根式有4种情况， 所以其概率为故答案为．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记同类二次根式的概念是解题关键．
19．如图，表示△AOB为O为位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2），B（3，0），D（4，0），则点C坐标为 （，） ．
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=，
【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】由图中数据可得两个三角形的位似比，进而由点A的坐标，结合位似比即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵△AOB与△COD是位似图形， OB=3，OD=4，所以其位似比为3：4． ∵点A的坐标为A（1，2）， 所以点C的坐标为（，）． 故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够利用位似比求解一些简单的计算问题．
20．如图，正三角形△A1B1C1的边长为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形△A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形△A3B3C3，…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形△A10B10C10的面积是
•
．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理． 【专题】规律型．
【分析】先求前几个三角形的面积，找出其中的规律，再求解． 【解答】解：第一个三角形的面积S=第二个三角形的面积S=
×，
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，
第三个三角形的面积S=…
×（）2，
所以第十个三角形的面积S=
×（）9=
．
故答案为：•．
【点评】熟练掌握等边三角形的性质，会求解等边三角形的面积问题．
三、解答下列各题 21．解方程：
（1）（x﹣5）2=2（x﹣5） （2）2x（x﹣1）=3x+1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【专题】计算题．
【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程． 【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0， （x﹣5）（x﹣5﹣2）=0， x﹣5=0或x﹣5﹣2=0， 所以x1=5，x2=7； （2）2x2﹣5x﹣1=0，
2×△=（﹣5）2﹣4×（﹣1）=33， x=所以x1=
，
，x2=
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分
解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
22．计算
（1）（﹣）+ （2）|﹣|﹣
+（π﹣4）0﹣sin30°．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题． 【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（2）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式=﹣3+1﹣，然后进行加减运算． 【解答】解：（1）原式=2﹣=2；
+
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（2）原式=﹣3+1﹣ =﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
23．完全相同的四张卡片，上面分别标有数字1，2，﹣1，﹣2，将其背面朝上，从中任意抽出两张（不放回），把第一张的数字记为a，第二张的数字记为b，以a、b分别作为一个点的横坐标与纵坐标；求点（a，b）在第四象限的概率．（用树状图或列表法求解） 【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【分析】列举出所有情况，看横坐标为正，纵坐标为负的情况占所有情况的多少即可． 【解答】解：共有12种情况
在第四象限的有4种情况，所以概率是．
【点评】用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；第四象限内点的符号特点是（正，负）．
24．先阅读理解下列例题，再按例题解一元二次不等式． 例：解二元一次不等式6x2﹣x﹣2＞0
解：把6x2﹣x﹣2分解因式，得6x2﹣x﹣2=（3x﹣2）（2x+1） 又6x2﹣x﹣2＞0，所以（3x﹣2）（2x+1）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）
或（2）
解不等式组（1）得x＞；解不等式组（2）得x＜﹣，所以6x2﹣x﹣2＞0 的解集为x＞或x＜﹣
求一元二次不等式2x2﹣14x﹣16＜0的解集． 【考点】解一元一次不等式组． 【专题】阅读型．
【分析】把2x2﹣14x﹣16分解因式，得2x2﹣14x﹣16=2（x﹣8）（x+1），由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有
或
，解得两个不等式组的解集分别为﹣1＜x
＜8和无解，即可求得一元二次不等式2x2﹣14x﹣16＜0的解集．
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【解答】解：由题意得或，
解得两个不等式组的解集分别为﹣1＜x＜8和无解， 所以，此不等式组的解集为﹣1＜x＜8．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
25．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，求AB边上的中线长．
【考点】一元二次方程的应用；根与系数的关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】由于a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，由根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7；由勾股定理可知：a2+b2=c2，则（a+b）2﹣2ab=c2，即49﹣2（c+7）=c2，由此求出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
【解答】解：∵a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根， ∴根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7； 由直角三角形的三边关系可知：a2+b2=c2， 则（a+b）2﹣2ab=c2， 即49﹣2（c+7）=c2， 解得：c=5或﹣7（舍去）， 再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为． 答：AB边上的中线长是．
【点评】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键．
26．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．
①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？
②若等腰三角形的一边a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长和面积． 【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【分析】（1）计算方程的根的判别式即可说明其根的情况；
c的值后，（2）已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，再求出△ABC的周长．注
意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
1×2k=k2+4k+4﹣8k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0， 【解答】解：（1）∵△=（k+2）2﹣4×
∴方程无论k取何值，总有实数根， ∴小明同学的说法合理； （2）①当b=c时，则△=0， 即（k﹣2）2=0， ∴k=2，
方程可化为x2﹣4x+4=0， ∴x1=x2=2， 而b=c=2，
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∴C△ABC=5，S△ABC=；
②当b=a=1，
∵x2﹣（k+2）x+2k=0． ∴（x﹣2）（x﹣k）=0， ∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴k=1， ∴c=2， ∵a+b=c，
∴不满足三角形三边的关系，舍去； 综上所述，△ABC的周长为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
27．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据利润=销售价﹣进价列关系式； （2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍； （3）利用函数的性质求最值． 【解答】解：由题意得： （1）50+x﹣40=x+10（元） （2）设每个定价增加x元． 列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000 解得：x1=10 x2=20
要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个． （3）设每个定价增加x元，获得利润为y元． y=（x+10）（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=﹣10（x﹣15）2+6250 当x=15时，y有最大值为6250．
所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
【点评】应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解．此题的关键在列式表示销售价格和销售量．
28．如图，在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD于点E，交AD于点F，连接BF． （1）试找出图中与△DEC相似的三角形，并选一个进行证明． （2）当点F是AD的中点时，求BC边的长及sin∠FBD的值．
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【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质． 【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC． 【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC．
所以△DEC相似的三角形是△FED，△FDC，△DCB，△CEB，△BAD； （2）∵F为AD的中点，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=； 设EF=x，则FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴解得：x=则CF=
，即可得：6x2=4， ， ，
=
，
在Rt△CFD中，DF=
∴BC=2DF=2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
29．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
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【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直
AF、DE的长，角三角形求出BF、进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，
由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度． 【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． Rt△ABF中，i=tan∠BAF=∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=5，AF=5
．
=
，
∴BG=AF+AE=5+15． Rt△BGC中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=5+15． Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15， ∴DE=AE=15．
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10答：宣传牌CD高约2.7米．
≈2.7m．
【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，A（0，6），C（8，0），动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形AOQP的面积为S． （1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，能否使以C、P、Q为顶点的三角形与A、O、C为顶点的三角形相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；数形结合；分类讨论；函数思想；三角形；图形的相似． 【分析】（1）过点P作PE⊥CO，可得△CPE∽△CAO，根据相似性质可表示出PE的长，然后可由四边形面积=S△AOC﹣S△PQC列出函数关系式；
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（2）△AOC与△CPQ相似，则有以下两种情况： ①当∠QPC=∠AOC=90°时，△AOC∽△QPC，由相似性质得到t的值； ②当∠PQC=∠AOC=90°时，△AOC∽△PQC，由相似性质得到t的值，进而得到P点坐标． 【解答】解：（1）如图，过点P作PE⊥CO，垂足为E，
根据题意可知，AP=2t，CQ=t， ∵A（0，6），C（8，0）， ∴AC=
=10，则CP=10﹣2t，
∵PE⊥CO，AO⊥CO，∴PE∥AO， ∴△CPE∽△CAO， ∴
=
，即
=
，解得：PE=（10﹣2t），CE=
=
； ；
故四边形AOQP的面积S=
（2）若△AOC与△CPQ相似，则有以下两种情况：
①如图所示，
当∠QPC=∠AOC=90°时，△AOC∽△QPC， 可得：解得：t=
，即：，
，
过点P作PD⊥OC，垂足为D，由（1）可知， PD=（10﹣2t）=∴点P坐标为（②如图，
，OD=8﹣，
）；
=
，
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当∠PQC=∠AOC=90°时，△AOC∽△PQC， 可得：解得：t=PQ=
∴点P的坐标为（
，
，OQ=8﹣t=，
）；
，
）或（
，
）．
，
，即：
，
综上，存在这样的点P，其坐标为（
【点评】本题主要考查相似三角形性质的应用能力，第二题中两三角形相似时分类讨论是关键．
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