移动机器人平台的运动学分析

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国　机■人技术　方程的正问题），并采用代数法解逆运动学方程（即运动　人的各个运动机构之间的移动和旋转关系。　学方程的逆问题），得出影响机器人位姿的臂架的各关节　３．１．１　Ｄ—Ｈ参数及坐标系间的齐次变换矩阵　变量的表达式。　本文所讨论的移动机器人的摇臂关节主要是单自由　２机器人平台的运动分析假设　度的转动（圆柱）关节，因此这里给出用Ｄ一日方法建立起　移动机器人平台位姿由与平台相连的机器人行走机　各杆件坐标系后，系ｉ－１和系ｉ间的相对位置和指向，可　构臂架来控制，这里机器人的臂架可以认为是一系列用　以用以下４个参数来表述：　旋转关节连在一起的杆件组成，本文以与轮１相连的摇　（１）杆件长度哦定义为从　轴到　轴的距离，沿置　臂作为研究的对象，由于轮１始终与地面保持接触，因此　轴的指向为正。　在研究移动机器人平台静态位姿调整时，可以将轮１的　（２）杆件扭角Ｏｔ　定义为从　。轴到　轴的转角，绕置　轴心作为固定坐标系的原点。由此，机器人摇臂的各个杆　轴正向转动为正，且规定Ｏｔ　Ｅ（一竹，竹］。　件上固连坐标系，利用齐次变换描述这些坐标之间的相　（３）关节距离ｄ　定义为从　“轴到置轴的距离，沿　一　对位置和姿态。描述一杆和下一杆件之间关系的齐次变　轴的指向为正。　换矩阵称为Ａ　矩阵，由于本文中摇臂关节都是转动关　（４）关节转角Ｏｉ定义为从　。轴到置轴的转角，绕　一　节，因此Ａ　矩阵单纯是描述杆件坐标系间相对转动的齐　轴正向转动为正，且规定ＯｉＥ（一竹，竹］。　次变换。Ａ。描述第一杆件相对于基坐标系的位置和姿态，　参数｛哦，ｔＯ　，ｄｉ，　Ａ　描述第二杆件相对于第一杆件的位置和姿态，第二连　０１｝的意义见图２，这　杆在基坐标系里的位姿可用矩阵　给出：Ｔ２＝Ａ１Ａ　ｚ。这些　些参数被称为Ｄ一日　矩阵的乘积成为　矩阵，相对本文中研究的移动机器人　参数，又常被称为　摇臂机构，可以得到移动机器人平台相对于基点位姿描述。　机器人的运动参数　图１所示为六　或几何参数。由图２　轮移动机器人行走　可以明显看出，要　系统结构示意图。　得到坐标系ｉ－１相　本文在推导移动机　对于坐标系ｉ的位　器人平台运动学模　置和姿态，就能够　型时，做如下两点　按照下列两个旋转变换和两个平移变换来建立相邻两关　假设：（１）考虑机器　节ｉ－１与ｉ之间的相对关系。　人各运动部件皆为　第１步：沿　一。轴平移距离　，把第ｉ坐标系的原点　刚体，即摇臂不发　移到　。轴与置轴的交点。　生形变；（２）考虑车　第２步：绕　。轴旋转　角，使　“轴转到与置轴在　轮为刚性轮与地面无形变，即车轮与地面没有弹性变形，　同一平面内。　且轮ｉ（ｉ＝１，２，５，６，）始终与地面接触。其车轮的编号依次　第３步：沿置轴平移距离哦，把　一。轴与置轴的交点　为：轮１（右前轮）、轮３（右中轮）、轮５（右后轮）；左侧与之　移到第ｉ－１坐标系的原点。　对应，编号为２、４、６。　第４步：绕置轴旋转Ｏｔ　角，使　一　轴转到与　轴在　３机器人平台位姿的运动学建模　同一直线上。　在机器人的运动过程中，经常关心的是机器人相对　由连续相对运动时齐次变换矩阵的求法知　于地球表面的位置和姿态以及机器人车载传感器相对于　ＩＡｉ＝Ｔｒａｎｓ（ｚｆ＿ｌ，ｄｉ）Ｒｏｔ￣（ｚｆ＿ｌ，Ｏｉ）Ｔｒａｎｓ　（　ｆ＿ｌ，ａｉ）Ｒｏｔ￣（ｘｆ＿ｌ，ｔＯｉ）　机器人车体的姿态，特别是在已知传感器测得车体当前　１　０　０　０　ｌ　ｌｃＯｉ　０　０　ｌ　　ｌ１　０　０　哦　的姿态的情况下，如何控制驱动机构使运动车体具有所　０　１　０　０　ｓＯ，　ＣＯｌ　０　０　０　１　０　０　期望的姿态？例如，机器人在非平整地面上运动，由于地　０　０　１　ｄｎ　０　０　１　０　０　０　１　０　面的凹凸性，因此就需要对机器人平台进行伺服控制（包　０　０　０　１　０　０　０　０　０　０　０　１　括偏航和俯仰）以保证平台的平稳性。为此，下面主要研　１　０　０　０　ＣＯｌ—ｃ　ｓ　ａｔｃＯｉ　究机器人在非平整地面上运动时车体姿态的正运动学、　０　ＣＯｔｉ　—ｓ　ｉ　０　ｓ　ＣＯｔｔｃＯｉ　－ｓＯｔ，ＣＯｌ　ａｔｃＯｉ　逆运动学模型，给出了用于理论分析和实时计算的具体　０　ＳＯｔ１　ＣＯｔ１　０　０　ＳＯｔｌ　Ｃ　公式，并分析了相关的运动特性。　０　０　０　１　０　０　０　１　３．Ｊ坐标系建立　式中，ｓ　Ｆｓｉｎ　，ｃＯｉ：ｃｏｓＯｉ，ｓＯｔｉ＝ｓｉｎＯｔ　，ＣＯｔｉ＝ＣＯＳｔＯ　（１）　机器人平台的位姿由６个自由度表示，即沿　、ｙ、ｚ　３．１．２机器人臂架坐标系的建立　方向的移动和绕　轴的横滚（ｒｏｌ１）、Ｙ轴的俯仰（ｐｉｔｃｈ）与　本文中移动机器人平台的位姿由６个自由度表示，　绕ｚ轴的偏转（ｙａｗ）。为了建立位姿运动学模型，本文引　即沿　、ｙ、ｚ轴方向的移动和绕　轴的横滚、ｙ轴的俯仰　入Ｄ一日矩阵＿Ｉ］，用来建立一系列的坐标系表示移动机器　和ｚ轴的偏航。为建立机器人平台的运动学模型，首先利　４２　ｉ机械工程师２００７年第６期　维普资讯 http://www.cqvip.com

翟　圆雹■■墨墨墨团一　圆　用上述的Ｄ一日　。’ＴＢ＝。‘Ｖ＾　Ｖ口１。’Ｖ　Ｖ　Ｖ　（２）　方法建立一个　其中等式右边的各个坐标变换矩阵可由式（１）和表１的　坐标系来表示　参数计算得到，如下所示：　１　０　０　０　１　０　０　——移动机器人各　运动部件间的　平动和旋转关　系。本文中建　立机器人坐标　系的准则为：　ＣＯ）　ＳＯ）一０　０　０　０　ｓ（ｔＪ　ＣＯ）０　０　０　０　Ｖ　＝　１　０——ｄｏ　１　－１　一　２　０　１　０　０　ｌ　ｓ／３ｌ　０　１２ｃａ２ｃｌｌｆ　一将旋转轴作为　ｚ轴，　轴在两　ｚ轴的公垂线　Ｖ　＝　ｓ／３，ｃ口１　０　１２ｃａ２ｓｆｌｌ　０　０　０　０　１　０　一０　１　Ｚ４ｃｐｌ　ｃｐｌ　０一—　ｐ１　上，ｙ轴与　轴和Ｚ轴构成　ｓｐｌ　０　ｃｐｌ　１４ｓｐ￣　０　—１　０　０　０　０　０　１　Ｐ｜ＶＱ＝　右手法则。建　立机器人各关节坐标系如图３所示。由于机器人采用的　ｃ８ｌ　０　ｓ８１　一是左右对称式结构，因此其左侧坐标系与右侧相同。　根据上述规则，本论文中建立的坐标系如下：Ｂ表示　的是机器人平台的质心坐标系；　表示横轴中心坐标系；　ｓ８ｌ　０　ｃ８ｌ　０　—１　０　０　０　０　Ｖ　＝　（３）　Ⅳ，表示右主摇臂坐标系；Ｑ，表示的是右副摇臂坐标系；尸ｆ　将式（３）代入式（２）可得：　（ｉ＝１，５）表示的是转向车轮ｉ的转向轴中心坐标系；０　（　＝　１，３，５）表示的是驱动车轮ｉ的转动轴中心坐标系。各坐标　系的位置及各坐标轴的具体指向见图３，则各坐标系所对　应的Ｄ一日参数值见表１。　表１用于描述坐标系间相对位置和姿态的Ｄ一日参数　Ｂ—Ｈ参数　坐标系　Ｐｌ　Ｑ－　Ⅳｌ　Ｍ　日　。’　＝＝Ｄ’　　，　，，　ｎ　１　０　１　ｌ　Ｐ　１　ｌｉＢ＝　ｎｙｌ　Ｏｙｌ　ａｙｌ　Ｐｒｌ　ｎｚｌ　ｏ＝１　ａｚｌ　Ｐ：１　（４）　０　０　０　１　上式中矩阵各元素分别可表示为：　１＝（　ｌｑ口ｌ印ｌ朽艿１　１　一ｃ艿１ｑ口ｌ　ｌ—　艿ｌ　ｌ　∞　ｎ　ｌ＝（一ｓ６ｌｃｐｌｃ卢ｌ＋ｓ８ｌｓｌ３１）ｃ（ｔＪ＋（ｓ６ｌｃｐｌｓｌ３ｌ＋ｃ８ｌｃ卢１）ｓ（ｔＪ　，　ｌ　一ｓｐｌｃＢｔｃｗ＋ｓｐｌｓｌ￣ｆｓｗ　Ｏｘｌ＝Ｃ￣ｌｓｐ１　Ｄｖｌ　一ＳＳｌＳｐｌ　Ｏｚｌ￣Ｃｐｌ　’　ｄＩｍｉｌｌ　（ｏ）　ａ／ｍｍ　０　ｏ）　Ｏ　一　—ｌ￣ｏｓｕ２　Ｏ　Ｏ　一９０　９０　Ｏ　Ｏ　－９０　ｆ５　Ｏ　Ｏ　－１／２　一如　。（变量）　－－ｐ－（变量）　。（变量）　（变量）　Ｏ　移动机器人横轴的转角为∞，通过横轴连接的左右　ａｘｌ＝（ｃ６ｌｃｐｌｃ　ｌ＋ｓ８ｌｓｔ３１）ｓ（ｔＪ＋（ｃ６ｌｃｐｌｓｌ３ｌ—ｓ８ｌｃｌ３１）ｃ（ｔＪ　摇臂之间的角度分别为１３：和１３，；前面两轮的转向角度用　ｌ＝６，和６：表示；后面两轮的转向角度用　和瓯表示；左右　（一ｓ６１ｃｐ１ｃｌ３ｌ＋ｃ８ｌｓｔ３１）ｓ（ｔＪ一（ｓ８１ｃｐ１ｓｌ３ｌ＋ｃ８１ｃ１３１）ｃ（ｔＪ　两侧的悬架转角用Ｐ。和Ｐ：表示；其中约束角度１３，、１３：和　们可由编码器测得；转向角度　可由装在电机上的编码　器测得。　３．２正运动学分析　观ｌ　—　ｐ１ｃ卢１８￣．０一ｓｐ，ｓ￣ｌＣ（．Ｏ　，　二　＝ｄｏｃ８１ｓｐ１＋　一ｃ６１ｓｐｌ－１２ｃ８ｌｃｐｌｃｌｌｆｃｃｔ２＋１２ｓｔ￣ｌｃ　０ｃ２ｓ卢ｌ—ｚ４ｃ６ｌｃｐｌ　左右两侧的悬架转角Ｐ。和Ｐ，是用来适应地形特征的，它　Ｐｘｌ，　ｐ　ｌ　一ｄ　６１ｓｐｌ一　一ｓ８１ｓｐｌ＋１２ｓ８ｌｃｐｌｃｆｌｌｃｃｔ２＋１２ｃｔ￣ｌｃ　０ｃ２ｓ卢ｌ＋１４ｓ８１ｃｐｌ　二　，　正运动学的任务是根据已知（给定或测量）的单个车　轮的运动参数求解车体参考点的运动，以获得车体在惯　Ｐ，ｌ＝ｄｏｃｐｌ＋　一ｃｐｌ＋１２ｓｐｌｃ　０ｃ２　ｌ—ｚ４　ｐｌ＋ｚ５　二　（５）　对于式（５）可以通过显式方程解得在摇臂１的作用　性参考坐标系中的位置和姿态。本文中将以符号一　和　下，机器人平台对于基坐标系得横滚、俯仰和偏航角，描　　表示坐标系Ｂ相对于系Ａ的坐标变换矩阵。当变换　述如下：矩阵由常量组成时，用　表示；反之，当变换矩阵中含有　变量时，用　表示。　１＝ａｒｃｔａｎ（ｎｙｌ，ｎ　１）　Ｏｌ＝ａｒｃｔａｎ（－ｎ：ｌ，ｃ　ｌｎ　ｌ＋ｓ　ｌｎｙ１）　￣ｌ＝ａｒｃｔａｎ（ｓｄｐ，ａｘ，一ｃ咖ｌ　ｌ，一ｓｒ￣ｌｏ　ｌ＋Ｃｒ￣ｌＯ　１）　由坐标变换关系，本文先以摇臂１为例，推导出以摇　臂１的运动参数求解机器人平台参考点的运动，可以得　到车轮１运动的齐次变换矩阵为：　上述变量Ｐ　－．ｐｙｌ－，ｐ小　，、０，和　。描述了机器人平台在　摇臂１作用下的结构位姿的变化，为了更准确地对机器人　机械工程师２００７年第６期ｌ　４３　维普资讯 http://www.cqvip.com

圆　机■人技术　平台在各个摇臂综合作用下位姿的估计，需要对机器人的　问题，只要给出移动机器人摇臂各个运动关节变量即可　四个摇臂进行分析，本文中所研究的移动机器人同一侧的　通过式（１　１）求得平台的位置和姿态。在机器人工作任务　前、后摇臂是通过一个四杆机构相连由单一的电机控制，　给定的情况下，就是根据平台在基座标系中的位置和姿　在机器人做位姿调整时前后摇臂的转角存在着一个固定　态，决定各关节变量，这类问题成为正运动方程的反向求　的比例关系。因此在对机器人的位姿估计时只需要综合考　解问题，即逆运动学问题。通常机器人在关节变量空间受　虑前两个摇臂运动对机器人平台位姿的影响。　到控制，为了使得移动机器人平台的位置和姿态达到其　下面仍然用Ｄ—Ｈ方法，分析摇臂２各个运动参数的　目标位置，运动学逆问题的解是更为重要的。换句话说，　变化对机器人平台位姿的影响。以轮２的轴心作为基坐　给定移动机器人摇臂关节及杆件参数以及平台的位置姿　标系，同摇臂１一样建立坐标系，各坐标系的方向不变。　态　，要求出移动机器人摇臂相应的关节角度，使得机器　各坐标系所对应的Ｄ一日参数值见表２。　表２用于描述坐标系间相对位置和姿态的Ｄ—日参数　Ｄ一日参数　坐标系　ｄ／ｉｌｌｍ　ｏ／（。）　ｎ，ｍｍ　ａ／（。）　Ｐ２　Ｏ　－９０　（变量）　Ｑｚ　—ｆｄ　９０　０　（变量）　一ｌ：ｃｏｓ￣２　０　０　－４３２（变量）　肘　Ｏ　０　一ｆ，２　（变量）　日　Ｏ　一９０　一　Ｏ　由坐标变换关系，推导出以摇臂２的运动参数求解　机器人平台参考点的运动，我们可以得到摇臂２运动的　齐次变换矩阵为：　．　。　。　Ｑ　肘　Ｑ　肼口　（７）　坐标系０　到坐标系０　的变换矩阵为　１　０　０　Ｌ（ｃｏｓＯ—ｃｏｓＯ１）＋Ｚ２（ｃｏｓ￣２一ｃｏｓ（Ｊ）　０　１　０　０　Ｖ０　＝　（８）　０　０　１　一Ｚ　０　０　０　１　Ｊ：￣ｄＰ　Ｌ＝侃，　ｌ＝ａｒｃｔａｎ（告）．ｐ　，　２＝ａｒｃｔａｎ（生１４＼］＿ｐｚ，　ｌ＝　２－１Ｂｌ　ｌ，　２＝　２－￣２－ｐ２；　摇臂２的作用下，机器人平台的位姿变换矩阵为：　ｎｘ２　Ｏｘ２　Ｐ　２　＝＝０　。　Ｖ日＝　ｎ　ｏｒ２　ａｓ２　Ｐｙ２　（９）　ｎｚ２　ｏ　２　２　Ｐ　２　０　０　０　１　根据表２中各Ｄ一日参量值可求得各个坐标变换矩　阵，将计算结果代入式（９），可以求得在摇臂２单独作用　下，机器人平台的机构位姿为Ｐ２＝［ｐ　Ｐｙ２，Ｐ　、０２，　考虑到摇臂１和摇臂２对移动机器人平台位姿的综合作　用，可求得移动机器人平台相对于基坐标系的位姿为：　）．１ｐ　ｌ　，Ｐｙｌ＋ｐｙ２，Ｐ　１＋Ｐｚ２，咖ｌ＋咖２、０１＋　，　１　妒２ＪＴ　（１０）　以上表示了摇臂式移动机器人平台的位姿矩阵。在　摇臂各个杆件尺寸确定后，机器人平台的位姿是由摇臂　各个关节的转动角决定的，即Ｐ＝ｆ（ｅｏ，６　，Ｐ　，／３　，Ｐ　，／３　），移　动机器人平台的运动解，描述了机器人平台相对于基坐　标系的位姿，是机器人平台及机器人摇臂运动综合分析　的结果。具体结果见式（１１）。　．　逆运动学分析　上文分析的移动机器人平台运动学问题是正向求解　４４　ｌ机械工程师２００７年第６期　人平台运动到预期的位姿状态。　机器人运动学逆问题可用多种方法求解，大体可以　分为三类：数值解法、代数法和几何法。数值解法是只给　出数值，是一种通用的逆问题求解方法，计算量比较大。　本文主要采用代数法中的递推逆变换法，推导出各个变　量代数表达式。　根据正运动学计算可得：　，　如６ｌ（　ｌ＋　２）＋｝ｃ６ｌ（　ｌ—　２）－ｌ：８ｌ（　ＪｃＺｌ＋ｃｐ：／３２）　二　＋Ｚ　６ｌＣＯｌ２（　ｌ＋ｓ卢２）＿２ｄｃ６ｌ（ｃｐｌ＋ｃｐ２）＋Ｌ（ｃＯｒ－ｃＯ２）＋Ｚ２（ｃ　ｒ　１）　，　Ｐｙ＝－ｄｏｃ８ｌ（ｓｐｌ＋ｓｐ２）＋　ｓ６ｌ（　ｒ　１）－ｌ：８￣（ｃｐｌｃ卢ｌ＋ｃｐ：ｆｌ２）　二　＋Ｚ２ｃ６ｌＣＯｌ２（　ｌ＋　２）＋ｌ￣８１（ｃｐｌ＋ｃｐ２）　，　＝ｄ０（ｃｐｌ＋ｃｐ２）＋　（ｃｐｌ—ｃｐ２）一ｚ２（　ｌ　ｌ＋ｓｐ：ｆｌ２）ｃ　２＋ｚ４（　ｌ＋　二　ｓｐ２）＋２Ｚ５一Ｚ　ｔｂ＝ａｒｃｔａｎ（ｒｔｙｌ，ｎ　１）＋ａｒｃｔａｎ（ｎ记，ｎｘ２）　Ｏ＝ａｒｃｔａｎ（一ｎ　ｌ，ｃ４，ｌｎ　ｌ＋ｓ咖ｌｎｙ０＋ａｒｃｔａｎ（－ｎｚ２，ｃ咖ｌｒｔｘ２＋Ｓｔ￣ｌｎ但）　Ｏ＝ａｒｃｔａｎ（ｓｒｂｌａｘｌ－ｃ＋１ａｙ１，－ｓ＋１０　１＋ｃ（ｂ１Ｏｙ１）　＋ａｒｃｔａｎ（ｓ￣ｂｌｏ￣２－ｃ４，１ａｙ２，－ｓ，ｂｌ０　２＋ｃｏｂｌ０　）　（１　１）　本文利用符号推导对机器人平台的运动学方程进行　正向演算，可得机器人摇臂各个关节与机器人平台位姿　之间的关系：　（　咖０　）。其中，０表示摇臂各个　关节的运动转角。　４结论　本文在分析移动机器人的运动学模型的基础上，建　立了六轮驱动式移动机器人平台位姿估计系统模型。如　果给出了移动机器人平台的位姿和该位姿下的速度，就　可以计算出各关节的微分运动参量，包括摇臂关节的角　度增量和角速度，由连续的位姿和速度变化可以计算出　相应的关节转动角度增量和角速度，为计算控制关节的　转动量和转动速度提供了理论依据。　［参考文献】　［１］蔡自兴．机器人学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．　［２］Ｍｕｉｒ　Ｐ　Ｆ，Ｎｅｕｍａｎｎ　Ｃ　Ｐ．Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｏｆ　ｗｈｅｅｌｅｄ　ｍｏｂｉｌｅ　ｒｏｂｏｔｓ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９８７，４（２）：２８１—３４０．　（编辑黄获）　作者简介：刘俊（１９８１一），男，博士研究生，研究方向为机电一体化、机　器人技术。　收稿日期：２００７—０２—０７